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2024-04-02T17:52:00Z

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Als '''terminale σ-Algebra''' oder '''asymptotische σ-Algebra'''<ref>Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 85.</ref> bzw. '''σ-Algebra der terminalen/asymptotischen Ereignisse'''<ref>Kusolitsch: ''Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2014, S. 51.</ref>, englisch ''tail σ-field'', wird in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] eine spezielle [[σ-Algebra]] bezeichnet. Sie findet Anwendung bei der Untersuchung von Grenzwerten und enthält anschaulich alle Ereignisse, deren Eintreten sich nicht durch die Abänderung von endlich vielen Folgengliedern ändert. Bekannteste Anwendung der terminalen σ-Algebra ist das [[Kolmogorowsches Null-Eins-Gesetz|Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz]].

== Definition ==
Gegeben sei ein [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] <math> (\Omega, \mathcal A ) </math> sowie eine Folge <math> (\mathcal A_n)_{n \in \N} </math> von [[σ-Algebra|Unter-σ-Algebren]] von <math> \mathcal A </math>. Dann heißt
:<math> \mathcal T((\mathcal A_n)_{n \in \N})= \bigcap_{k=1}^\infty \sigma \left( \bigcup_{l=k}^\infty \mathcal A_l \right) </math>

die terminale σ-Algebra der Folge von σ-Algebren oder einfach die terminale σ-Algebra.

Die terminale σ-Algebra einer Folge von [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignissen]] <math> (A_n)_{n \in \N } </math> wird definiert als die terminale σ-Algebra der Folge von σ-Algebren <math> \mathcal A_n :=\{A_n, A^C_n, \emptyset, \Omega\} </math>.

Die terminale σ-Algebra einer Folge von [[Zufallsvariable]]n <math> (X_n)_{n \in \N } </math> wird definiert als die terminale σ-Algebra der Folge <math> (\sigma(X_n))_{n \in \N} </math> der von den Zufallsvariablen erzeugten σ-Algebren.

Die Notation für die terminale σ-Algebra ist in der Literatur nicht einheitlich. Teils wird sie mit <math> \mathcal A </math> (für "asymptotisch") bezeichnet, ebenso findet sich <math> \mathcal T_\infty, \mathcal G_\infty, \mathcal E_\infty </math> sowie <math> \sigma_\infty </math> als Notation.

== Aufbauende Begriffe ==
Jede Menge, die in der terminalen σ-Algebra enthalten ist, wird ein '''terminales Ereignis''' oder ein '''asymptotisches Ereignis''' genannt.

Eine Funktion <math> f \colon X \to \overline{ \R } </math>, die <math> \mathcal T</math>-<math>\mathcal B( \overline{ \R })</math>-[[Messbare Funktion|messbar]] ist heißt eine '''terminale Funktion'''.

== Erläuterung ==
Die Bedeutung der terminalen σ-Algebra wird durch Auftrennen der Definition klarer: Die σ-Algebra
:<math> \mathcal C_k=\sigma \left( \bigcup_{l=k}^\infty \mathcal A_l \right) </math>

enthält nach Definition alle Mengen, die in den σ-Algebren <math> \mathcal A_l </math> für <math> l \geq k </math> enthalten sind.

Die terminale σ-Algebra ist nun der Schnitt aller dieser Mengensysteme
:<math> \mathcal T = \bigcap_{k=1}^\infty \mathcal C_k</math>

und enthält demnach diejenigen Mengen, die in ''allen'' <math> \mathcal C_k </math> enthalten sind. Somit enthält die terminale σ-Algebra diejenigen Ereignisse, die nicht von den ersten <math>k</math> σ-Algebren abhängen. Eine Abänderung von endlich vielen σ-Algebren verändert die terminale σ-Algebra also nicht.

== Eigenschaften ==
* Die terminale σ-Algebra ist nichttrivial in dem Sinne, dass sie mehr Mengen als nur die Obermenge <math> \Omega </math> und die leere Menge enthält. So sind beispielsweise der [[Limes superior und Limes inferior von Mengenfolgen]] terminale Ereignisse, also in der terminalen σ-Algebra enthalten. Ebenso existieren nichttriviale terminale Funktionen. Zu ihnen gehören beispielsweise der [[Limes superior und Limes inferior]] einer Folge von Zufallsvariablen, genauso wie die Grenzwerte des [[Cesàro-Mittel]]s von Zufallsvariablen.
* Eine der wichtigsten Aussagen über die terminalen σ-Algebra ist das [[Kolmogorowsches Null-Eins-Gesetz|Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz]]. Es besagt, dass wenn <math> (\mathcal A_n)_{n \in \N} </math> [[Unabhängige Mengensysteme|stochastisch unabhängige σ-Algebren]] auf dem [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal A, P) </math> sind, die terminale σ-Algebra eine [[P-triviale σ-Algebra]] ist, also für jedes terminale Ereignis <math> A \in \mathcal T </math> entweder <math> P(A)=0 </math> oder <math> P(A)=1 </math> gilt.
* Außerdem ist die terminale σ-Algebra immer in der [[Austauschbare σ-Algebra|austauschbaren σ-Algebra]] <math> \mathcal E </math> enthalten. Ist <math> X=(X_n)_{n \in \N} </math> eine [[austauschbare Familie von Zufallsvariablen]], so gibt es auch für jedes austauschbare Ereignis <math> A \in \mathcal E </math> ein terminales Ereignis <math> B \in \mathcal T </math>, so dass <math> P(A \,\triangle\, B)=0 </math>.
* Ist <math>\mathcal{T}</math> trivial, so ist jede terminale Funktion <math>f: \Omega\to \overline{\mathbb{R}}</math> [[Fast sichere Konvergenz|fast sicher]] konstant.<ref>{{Literatur |Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler |Titel=Stochastik: Theorie und Anwendungen |Auflage=1. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2005 |ISBN=978-3-540-26707-2 |Seiten=145-146}}</ref>

== Allgemeinere Definitionen ==
Die obige Definition der terminalen σ-Algebra wird in der Literatur wie folgt verallgemeinert:
* Sie wird nicht für Folgen von σ-Algebren definiert, sondern allgemeiner für Folgen von beliebigen [[Mengensystem]]en <math> \mathcal E_n \subset \mathcal A </math>.<ref>Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 234.</ref> Die terminalen σ-Algebra ist dann immer noch eine σ-Algebra, allerdings bleiben einige Aussagen ohne Zusatzannahmen über die Mengensysteme nicht richtig. Zu diesen Aussagen gehört auch das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz.
* Sie wird für beliebige [[abzählbar unendlich]]e Indexmengen <math> I </math> definiert.<ref>Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2013, S. 64.</ref> Dabei wird die Idee der obigen Definition, dass terminale Ereignisse nicht von den ersten k Ereignissen beeinflusst werden, so angepasst, dass terminale Ereignisse nicht von der Abänderung von endlich vielen Ereignissen beeinflusst werden. Dementsprechend ist die terminale σ-Algebra dann definiert als
:<math> \mathcal T((\mathcal A_i)_{i \in I}) := \bigcap_{J \subset I \atop |J| < \infty} \sigma \left( \bigcup_{j \in I \setminus J} \mathcal A_j\right) </math>.

== Literatur ==
*{{Literatur |Autor=Achim Klenke |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Auflage=3. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
*{{Literatur |Autor=[[Christian Hesse (Mathematiker)|Christian Hesse]] |Titel=Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie |Auflage=1. |Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=3-528-03183-2 |DOI=10.1007/978-3-663-01244-3}}
*{{Literatur |Autor=Hans-Otto Georgii |Titel=Stochastik |TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik |Auflage=4. |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=2009 |ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}}
*{{Literatur |Autor=Norbert Kusolitsch |Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-45386-1 |DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}}
*{{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Auflage=2., durchgesehene |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Heidelberg Dordrecht London New York |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Σ-Algebra]]
[[Kategorie:Stochastik]]

Terminale σ-Algebra - Versionsgeschichte

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