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2025-03-22T12:32:16Z

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{{Dieser Artikel|beschreibt Kontraktion aus Sicht der Tensoranalysis. Für die Analysis siehe [[Kontraktion (Mathematik)]].}}

Die '''Tensorverjüngung''' oder '''Kontraktion'''<ref>{{Literatur |Autor=[[Heinz Schade]], Klaus Neemann |Titel=Tensor Analysis |Verlag=De Gruyter |Datum=2018-10-08 |Sprache=en |ISBN=978-3-11-040426-5 |DOI=10.1515/9783110404265 |Online=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/9783110404265/html |Abruf=2022-11-08}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Herbert Amann (Mathematiker)|Herbert Amann]], [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]] |Titel=Analysis III |Verlag=Birkhäuser Basel |Ort=Basel |Datum=2008 |ISBN=978-3-7643-8883-6 |DOI=10.1007/978-3-7643-8884-3 |Online=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-7643-8884-3 |Abruf=2022-11-08}}</ref> ist ein mathematischer Begriff aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] mit Verwendung in der [[Tensoranalysis]] und [[Tensoralgebra]]. Es ist eine Verallgemeinerung der [[Spur (Mathematik)|Spur]] einer [[Lineare Abbildung|linearen Abbildung]] auf [[Tensor]]en, die mindestens einfach [[Kovarianz (Physik)#Kovariant und Kontravariant|kovariant]] und einfach kontravariant sind. Anwendungen finden sich z. B. in der Relativitätstheorie<ref>{{Literatur |Autor=Ulrich E. Schröder |Titel=Spezielle Relativitätstheorie |Auflage=6. Auflage |Ort=Verlag [[Europa-Lehrmittel]] |Datum=2021 |ISBN=978-3-8085-5653-5}}</ref> (siehe auch [[Lorentzkontraktion|Längenkontraktion]]), Mechanik<ref>{{Literatur |Autor=[[Florian Scheck]] |Titel=Relativistic Mechanics |Sammelwerk=Mechanics |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2018 |Sprache=en |ISBN=978-3-662-55488-3 |DOI=10.1007/978-3-662-55490-6_4 |Seiten=257–303 |Online=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-55490-6_4 |Abruf=2022-11-08}}</ref> usw.<ref>{{Literatur |Autor=[[Ralph Abraham (Mathematiker)|Ralph Abraham]], [[Jerrold E. Marsden]], Tudor Ratiu |Titel=Applications |Sammelwerk=Manifolds, Tensor Analysis, and Applications |Band=75 |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Datum=1988 |ISBN=978-1-4612-6990-8 |DOI=10.1007/978-1-4612-1029-0_8 |Seiten=560–630 |Online=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-1029-0_8 |Abruf=2022-11-08}}</ref>

== Definition ==
Sei <math> V </math> ein endlichdimensionaler [[Vektorraum]] und sei
:<math>T^r_s (V) := \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{s\text{-mal}} </math>
der [[Tensorprodukt|Tensorraum]] der <math>r</math>-fach kontravarianten und <math>s</math>-fach kovarianten [[Tensor]]en (kurz: <math>(r,s)</math>-Tensoren) über <math>V</math>.

Als Verjüngung oder Kontraktion eines Tensors (genauer: <math>(k,l)</math>-Kontraktion) bezeichnet man die lineare Abbildung
:<math> C^k_l: T^{r}_{s} (V) \rightarrow T^{r-1}_{s-1}(V) </math>
mit <math> 1 \le k \le r </math> und <math>1 \le l \le s</math>, welche durch
:<math> v_1 \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{s} \mapsto</math>
:<math> \xi_l (v_k) (v_1 \otimes \cdots \otimes v_{k-1} \otimes v_{k+1} \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{l-1} \otimes \xi_{l+1} \otimes \cdots \otimes \xi_{s}) </math>
definiert werden kann. Dabei ist <math> v_1 \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{s}</math> ein Element von <math>T^r_s(V)</math>. Nicht jedes Element von <math>T^r_s(V)</math> ist von dieser Form, aber die Elemente dieser Form erzeugen den Tensorraum und die Abbildung ist wohldefiniert. Setzt man <math>n := r+s</math>, so wird also aus einem Tensor <math>n</math>-ter Stufe ein Tensor der Stufe <math>n - 2</math>.

== Beispiele ==
* Interpretiert man eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] als einen einfach ko- sowie kontravarianten Tensor, so ist die Verjüngung einer Matrix ihre Spur. Dies lässt sich sehr schnell einsehen, wenn man die Matrix <math> A \in \operatorname {End}(V) \cong V \otimes V^* </math> als Linearkombination <br /><math style="margin-left:2em">A = \sum_{i,j} \lambda_{i}^{j} \,v_{i} \otimes \xi_{j}</math><br />darstellt. Hier bilden die <math>v_i</math> eine Basis von <math>V</math> und die <math>\xi_j</math> die dazu [[duale Basis]] von <math>V^*</math>. Wendet man nun die Funktion <math>C^1_1</math> an, so erhält man<br /><math style="margin-left:2em">C^1_1(A) = C^1_1\left(\sum_{i,j} \lambda_{i}^{j} \,v_{i} \otimes \xi_{j}\right) = \sum_{i,j} \lambda_{i}^{j} \delta_{ij} = \sum_i \lambda^i_i = \operatorname {Spur}(A).</math><br />Dies lässt erkennen, dass die Tensorverjüngung eine Verallgemeinerung des aus der linearen Algebra bekannten [[Spur (Mathematik)|Spuroperators]] ist. Aus diesem Grund wird die Abbildung auch Spurbildung genannt.
* Man erhält aus dem [[Riemannscher Krümmungstensor|riemannschen Krümmungstensor]] <math>R^l_{ijk}</math> durch Verjüngung den [[Riemannscher Krümmungstensor#Ricci-Tensor|Ricci-Tensor]] <math>R_{ik} = R^j_{ijk}</math>.

== Literatur ==
Siehe die weiterführende Literatur unter [[Tensoranalysis]].

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Tensorverjungung}}
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]

Tensorverjüngung - Versionsgeschichte

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