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2022-06-16T19:44:46Z

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Ein '''Tensorfeld''' (unpräzise auch '''Tensor''' genannt) wird im mathematischen Teilgebiet der [[Differentialgeometrie]] im Besonderen in der [[Tensoranalysis]] untersucht. Es handelt sich um eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die auf spezielle Weise jedem Punkt eines zugrundeliegenden Raumes einen [[Tensor]] zuordnet.

== Definition ==
Sei <math>M</math> eine [[glatte Mannigfaltigkeit]] und <math>T^r_s(M)</math> ein (r,s)-[[Tensorbündel]]. Ein (r,s)-Tensorfeld ist ein glatter [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitt]] im Tensorbündel <math>T^r_s(M)</math>. Die Menge der Tensorfelder wird mit <math>\Gamma^\infty(T^r_s(M))</math> bezeichnet. Diese Menge ist ein [[Modul (Mathematik)|Modul]] über der Algebra <math>C^\infty(M) = \Gamma^\infty(T^0_0(M))</math> der [[Glatte Funktion|glatten Funktionen]].

== Beispiele ==
Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so ist ein Tensorfeld auf M eine Abbildung, die jedem Punkt einen Tensor zuordnet.

* [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|Riemannsche Metriken]] sind (0,2)-Tensorfelder.
* Der [[Riemannscher Krümmungstensor|riemannsche Krümmungstensor]] ist ein (1,3)-Tensorfeld, das mithilfe der riemannschen Metrik als ein (0,4)-Tensorfeld aufgefasst werden kann.
* [[Differentialform]]en vom Grad k, insbesondere das [[totales Differential|totale Differential]] einer Funktion im Fall k=1, sind Schnitte von <math>\textstyle \bigwedge^k \mathrm T^*M\subseteq(\mathrm T^*M)^{\otimes k}.</math> Hierbei bezeichnet <math>T^*M</math> das [[Kotangentialbündel]]. Für weitere Informationen siehe auch unter [[Äußere Algebra]] nach.
* Der [[Energie-Impuls-Tensor]] <math>T^{\alpha \beta}</math> und der [[Elektromagnetischer Feldstärketensor|elektromagnetische Feldstärketensor]] <math>F^{\alpha \beta}</math> (als Beispiel eines [[Feldstärketensor]]s) in der Relativitätstheorie sind Tensorfelder zweiter Stufe auf der vierdimensionalen Basis des [[Minkowski-Raum]]s.
* die [[Spin-Gruppe]], deren [[Darstellung (Lie-Gruppe)|Darstellungen]] die oft verwendeten [[Spinor]]felder sind, wird üblicherweise als Teilmenge der Tensorfelder mit Werten in der [[Clifford-Algebra]] konstruiert.

== Siehe auch ==
* [[Rekurrenter Tensor]]

== Quelle ==
* R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: ''Manifolds, Tensor Analysis, and Applications'' (= ''Applied Mathematical Sciences'' 75). 2nd Edition. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Tensor fields}}
* Hendrik van Hees: Physik-FAQ für die deutschsprachigen Physik-Newsgroups https://web.archive.org/web/20160304062557/http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/geo/node10.html
alternativ: [https://itp.uni-frankfurt.de/~hees/faq-pdf/index.html uni-frankfurt.de/~hees]

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Tensorfeld - Versionsgeschichte

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