imported>Gunnar.Kaestle: BKS aufgelöst

2024-11-30T10:58:44Z

BKS aufgelöst

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In der [[Physik]] wurde der Begriff der '''Tensordichte''' von [[Hermann Weyl]] eingeführt, um den „Unterschied zwischen ''[[Quantität]]'' und ''[[Intensität]]'', soweit er physikalische Bedeutung hat“, zu erfassen: „''die [[Tensor]]en sind die Intensitäts-, die Tensordichten die Quantitätsgrößen''“<ref name="Weyl" />. Nach Weyl ordnet eine Tensordichte einem [[Atlas (Mathematik)#Karte|Koordinatensystem]] ein [[Tensorfeld]] derart zu, dass es bei einem [[Atlas (Mathematik)#Atlas|Koordinatenwechsel]] mit dem [[Betragsfunktion|Absolutbetrag]] der [[Funktionaldeterminante]] multipliziert wird. Eine Tensordichte der [[Tensor#Definition|Stufe]] null ist demnach eine [[Skalar (Mathematik)|skalare]] [[Dichte]], deren [[Integralrechnung|Integral]] gemäß dem [[Transformationssatz]] eine [[Invariante (Mathematik)|Invariante]] liefert.

Allgemeiner definiert man eine gewichtete Tensordichte, indem man mit einer [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] des Betrages der Funktionaldeterminante multipliziert<ref name="Schmutzer" />. Das '''Gewicht''' ist der Exponent in dieser Potenz. (Dagegen verwendet Weyl den Begriff Tensor(dichte) mit Gewicht in einer anderen Bedeutung: Das Gewicht ist der Exponent in der Potenz des [[Eichtheorie|Eichverhältnisses]], mit der bei einer [[Skalar (Mathematik)|Reskalierung]] der [[Metrischer Tensor|Metrik]] multipliziert wird.<ref name="Weyl" />). Eine abweichende Definition verwendet die Funktionaldeterminante anstelle ihres Betrages<ref name="Stephani" /><ref name="Schutz" />. Für [[Parität (Mathematik)#Gerade und ungerade Zahlen|gerades]] Gewicht stimmen beide Definitionen überein. Für ungerades Gewicht werden die Begriffe Tensordichte und Pseudotensordichte vertauscht, denn [[Pseudotensor]]en<ref name="Schmutzer" /><ref name="Stephani" /> bzw. [[Pseudotensordichte]]n werden mit dem [[Signumfunktion|Signum]] der Funktionaldeterminante multipliziert. Im Folgenden wird die erste Definition verwendet. (Eine weitere Variante unterscheidet sich im [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Gewichts<ref name="Weinberg" />.)

== Definition ==
Eine Tensordichte vom Gewicht <math>G</math> ordnet Koordinaten <math>x</math> einen Tensor <math>\mathfrak{T}(x)</math> zu, wobei unter einem Koordinatenwechsel <math>x\mapsto x'</math> die Beziehung
:<math>
\mathfrak{T}(x')=\left|\det{\frac{\partial x}{\partial x'}}\right|^G \mathfrak{T}(x)
</math>
gilt. Die Tensorkomponenten bezüglich der Koordinaten <math>x</math> seien <math>\mathfrak{T}_{\mu_1 \cdots \mu_m}^{\nu_1 \cdots \nu_n}</math>. Dann gilt beim Koordinatenwechsel das folgende Transformationsgesetz:
:<math>
\mathfrak{T}{'}_{\rho_1 \cdots \rho_m}^{\sigma_1 \cdots \sigma_n} =
\left|\det{\frac{\partial x}{\partial x'}}\right|^G
\frac{\partial x^{\mu_1}}{\partial x'^{\rho_1}} \cdots \frac{\partial x^{\mu_m}}{\partial x'^{\rho_m}}
\frac{\partial x'^{\sigma_1}}{\partial x^{\nu_1}} \cdots \frac{\partial x'^{\sigma_n}}{\partial x^{\nu_n}}
\mathfrak{T}_{\mu_1 \cdots \mu_m}^{\nu_1 \cdots \nu_n}
</math>

== Beispiele ==

Eine Tensordichte mit Gewicht Null ist ein gewöhnliches Tensorfeld.

Es sei <math>g=|\det{(g_{\mu\nu})}|</math> der Betrag der [[Determinante]] der Komponentenmatrix des [[Metrischer Tensor|metrischen Tensors]] (oder allgemeiner eines zweifach kovarianten Tensors). Dann ist <math>g</math> wegen des [[Determinante#Determinantenproduktsatz|Produktsatzes]] für Determinanten eine skalare Dichte vom Gewicht 2 und <math>\sqrt{g}</math> eine skalare Dichte vom Gewicht 1. Ist <math>T</math> ein Tensor, dann ist <math>\mathfrak{T} = \sqrt{g}^G T</math> eine Tensordichte vom Gewicht <math>G</math>. Umgekehrt lässt sich eine beliebige Tensordichte vom Gewicht <math>G</math> als ein solches Produkt schreiben, indem man <math>T=\sqrt{g}^{(-G)}\mathfrak{T}</math> setzt.

Ein Beispiel für eine Pseudotensordichte vom Gewicht −1 ist der [[Levi-Civita-Symbol#Als Komponenten einer Pseudotensordichte|Levi-Civita-Tensor]].

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Weyl">{{bibISBN|3540050396|Seite=110}} (Tensordichte mit Gewicht: S. 127.)</ref>
<ref name="Schmutzer">{{Literatur |Autor=Ernst Schmutzer |Titel=Relativistische Physik |TitelErg=Klassische Theorie |Verlag=Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G. |Ort=Leipzig |Datum=1986 |Kapitel=A I. § 14. Tensordichten |Seiten=132 |LCCN=75-401751}} (Pseudotensoren: S. 121.)</ref>
<ref name="Stephani">{{bibISBN|0521811856|Seite=119}}</ref>
<ref name="Schutz">{{bibISBN|0521232716|Seite=128}}</ref>
<ref name="Weinberg">{{bibISBN|0471925675|Seite=98}}</ref>
</references>

== Literatur ==

* [[Erwin Schrödinger]]: ''Die Struktur der Raum-Zeit.'' Herausgegeben und übersetzt von Jürgen Audretsch. Reprografischer Nachdruck der Ausgabe 1987. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1993, ISBN 3-534-02282-3 (englischer Originaltitel: ''Space-Time Structure'').

[[Kategorie:Gravitation]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Tensordichte - Versionsgeschichte

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