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Die '''Tensoralgebra''' ist ein [[Mathematik|mathematischer]] Begriff, der in vielen Bereichen der Mathematik wie der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]], der [[Algebra]], der [[Differentialgeometrie]] sowie in der [[Physik]] verwendet wird. Sie ist die '''freie assoziative Algebra''' (mit Einselement), das heißt, sie ist durch eine entsprechende [[universelle Eigenschaft]] charakterisiert.

== Definition ==
Es sei <math>V</math> ein [[Vektorraum]] über einem [[Körpertheorie|Körper]] <math>K</math> (oder allgemeiner ein [[Modul (Mathematik)|Modul]] über einem kommutativen [[Ringtheorie|Ring]] mit [[Einselement]]). Wir definieren die [[Tensorprodukt|Tensorprodukte]]räume
:<math>V^{\otimes n}:=\underbrace{V\otimes \cdots \otimes V}_{n\text{-mal}}</math>
für <math>n\in \mathbb{N}</math> mit der Konvention <math>V^{\otimes 0}:=K</math>.

Dann ist die Tensoralgebra (als Vektorraum) definiert durch die [[direkte Summe]] aller Tensorprodukte des Raums mit sich selbst.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Serge Lang |Titel=Algebra |Auflage=rev. 3rd ed |Verlag=Springer |Ort=New York Berlin Heidelberg [etc.] |Datum=2002 |Reihe=Graduate texts in mathematics |NummerReihe=211 |ISBN=978-0-387-95385-4 |Seiten=632 |Sprache=en}}</ref><ref name=":1">{{Literatur |Autor=Paolo Aluffi |Titel=Algebra: chapter 0 |Verlag=American mathematical society |Ort=Providence (R.I.) |Datum=2009 |Reihe=Graduate studies in mathematics |BandReihe=104 |ISBN=978-0-8218-4781-7 |Seiten=529 f. |Sprache=en}}</ref>
:<math>\mathrm T(V) := \bigoplus_{n\geq0}V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus(V\otimes V)\oplus(V\otimes V\otimes V)\oplus\ldots</math>

Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das [[Tensorprodukt]] gegeben ist, wird <math>\mathrm T(V)</math> zu einer <math>\N_0</math>-[[Graduierung (Algebra)|graduierten]] [[Unitäre Algebra|unitären]] [[Assoziative Algebra|assoziativen Algebra]].

== Universelle Eigenschaft ==
Die Tensoralgebra erfüllt die folgende [[universelle Eigenschaft]]:
Sei <math>V</math>ein <math>K</math>-Vektorraum (beziehungsweise ein [[freier Modul]] über einem kommutativen [[Ringtheorie|Ring]] mit Einselement) und <math>A</math> eine assoziative <math>K</math>-[[Algebra über einem Körper|Algebra]] mit einem [[Einselement]] <math>e</math>, sowie <math>f \colon V\to A</math> eine [[lineare Abbildung]], so existiert genau ein [[Algebrahomomorphismus|Algebrenhomomorphismus]] <math>\tilde{f} \colon \mathrm T(V)\to A</math>, sodass das Diagramm
[[Datei:TensorAlgebra-01.png|links|Universelle Eigenschaft der Tensoralgebra]]
{{Absatz}}
[[Kommutatives Diagramm|kommutiert]].<ref>{{Literatur |Autor=Daniel Bump |Titel=Lie Groups |Verlag=Springer Science & Business Media |Datum=2013-04-17 |ISBN=978-1-4757-4094-3 |Seiten=51 |Online=[https://www.google.de/books/edition/Lie_Groups/HITSBwAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=tensor+algebra+universal+property&pg=PA51&printsec=frontcover Online] |Abruf=2026-03-23 |Sprache=en}}</ref><ref name=":1" /> Diese Eigenschaft charakterisiert die Tensoralgebra bis auf Isomorphie. Der Algebrenhomomorphismus ist gegeben durch <math>\tilde{f}(v_1\otimes\dots\otimes v_r) = f(v_1)\dots f(v_r)</math> sowie <math>\tilde{f}(\lambda) = \lambda e</math>.

Aus der universellen Eigenschaft folgt, dass die Tensoralgebra <math>\mathrm T(V)</math> das [[Freies Objekt|freie Objekt]] in der Kategorie der [[Assoziative Algebra|assoziativen Algebren]] über <math>K</math> mit Einselement ist.<ref>{{Literatur |Autor=Jean-Louis Loday, Bruno Vallette |Titel=Algebraic Operads |Verlag=Springer Science & Business Media |Datum=2012-08-08 |ISBN=978-3-642-30362-3 |Seiten=4 |Online=[https://www.google.de/books/edition/Algebraic_Operads/s9Usr1BK4pwC?hl=de&gbpv=1&dq=free+associative+algebra+tensor+algebra&pg=PA3&printsec=frontcover Online] |Abruf=2026-03-24 |Sprache=en}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Günther Eisenreich |Titel=Lexikon der Algebra |Verlag=Walter de Gruyter GmbH & Co KG |Datum=2022-02-07 |ISBN=978-3-11-258282-4 |Seiten=223 |Online=[https://www.google.de/books/edition/Lexikon_der_Algebra/LJqAEQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=freie+assoziative+Algebra&pg=PA223&printsec=frontcover Online] |Abruf=2026-03-24 |Sprache=de}}</ref> Ist der zugrundeliegende Vektorraum eindimensional (beziehungsweise der Modul von Rang 1) dann ist <math>\mathrm T(V)</math> also isomorph zum [[Polynomring]] <math>K[X]</math>. Ist allgemeiner <math>X</math> eine beliebige nicht-leere Menge und ist <math>V_X</math> der über <math>X</math> erzeugte <math>K</math>-Vektorraum, das heißt der [[Freier Modul|freie ''K''-Modul]] über <math>X</math>, so ist <math>\mathrm T(V_X)</math> die frei über <math>X</math> erzeugte [[assoziative Algebra]].

== T als Funktor ==
<math>\mathrm T</math> ist ein [[Funktor (Mathematik)|Funktor]] von der Kategorie der <math>K</math>-Vektorräume in die Kategorie der <math>K</math>-Algebren.<ref name=":0" /> Für einen <math>K</math>-Vektorraumhomomorphismus (eine lineare Abbildung) <math>\varphi \colon V \to W</math> ist <math>\mathrm T(\varphi) \colon \mathrm T(V) \to \mathrm T(W)</math> durch den Algebrenhomomorphismus gegeben, der nach der universellen Eigenschaft der Tensoralgebra durch <math>i_W \circ \varphi \colon V \to \mathrm T(W)</math> induziert wird (hierbei ist <math>i_W \colon W \to \mathrm T(W)</math> die Einbettung).

Der Funktor <math>\mathrm T</math> ist [[Adjunktion (Kategorientheorie)|linksadjungiert]] zum [[Vergissfunktor]], der einer <math>K</math>-Algebra, den zugrundeliegenden <math>K</math>-Vektorraum zuordnet. Daher wird <math>\mathrm T(V)</math> auch als die freie Algebra über <math>V</math> bezeichnet.

== Quotientenräume der Tensoralgebra ==
Durch Herausteilen eines bestimmten [[Ideal (Mathematik)|Ideals]] kann man aus der Tensoralgebra beispielsweise die [[symmetrische Algebra]]<ref name=":1" />, die [[Graßmann-Algebra|äußere Algebra]]<ref name=":1" /> oder die [[Clifford-Algebra]] gewinnen. Diese Algebren sind in der [[Differentialgeometrie]] von Bedeutung.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]
[[Kategorie:Algebra]]

Tensoralgebra - Versionsgeschichte

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