imported>MathPhy42: Formatierung

2025-10-24T18:31:04Z

Formatierung

Neue Seite

Eine '''temperierte Distribution''' ist ein Objekt aus der [[Distributionentheorie]], einem mathematischen Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]]. Eine temperierte Distribution ist ein Spezialfall einer [[Distribution (Mathematik)|Distribution]]. [[Laurent Schwartz]] führte 1947 den Raum der temperierten Distributionen ein, um die [[Kontinuierliche Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]] in seine Distributionentheorie integrieren zu können.

== Schwartz-Raum ==
{{Hauptartikel|Schwartz-Raum}}

Um temperierte Distributionen definieren zu können, wird zuerst der Raum der ''schnell fallenden Funktionen'' erläutert. Schnell fallende Funktionen sind unendlich oft differenzierbar und streben im Unendlichen so schnell gegen null, dass sie und alle ihre Ableitungen schneller als jede [[Polynomfunktion]] fallen. Die Menge all dieser Funktionen wird auch als ''Schwartz-Raum'' <math> {\mathcal S}(\R^n) </math> bezeichnet und ist durch
:<math> {\mathcal S}(\R^n) = \{ \phi \in C^\infty(\R^n) \,|\, \forall \alpha \in \mathbb{N}_0^n, \beta\in \mathbb{N}_0^n \;\exists C \geq 0:\; \sup_{x\in\R^n} |x^\alpha D^\beta \phi(x) | \leq C \} </math>
definiert. Durch die [[Halbnorm]]en
:<math> \|f\|_N = \sup_{x \in \R^n} \max_{|\alpha|,\, |\beta| < N} |x^\alpha D^\beta f(x)|</math>
wird der Schwartz-Raum zu einem [[Metrisierbarer lokalkonvexer Raum|metrisierbaren lokalkonvexen Raum]]. Die Besonderheit dieses Raumes ist, dass die [[Kontinuierliche Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]] ein [[Automorphismus]] auf diesem ist. Außerdem ist der Raum in allen [[Sobolew-Raum|Sobolew-Räumen]] enthalten. Der Raum <math>\mathcal{D}(\R^n)</math> der [[Testfunktion]]en lässt sich [[Stetige Abbildung|stetig]] in den Schwartz-Raum [[Einbettung (Mathematik)|einbetten]] und liegt in diesem [[Dichte Teilmenge|dicht]].

== Definition ==
Eine temperierte Distribution ist ein stetiges, [[Lineare Abbildung|lineares]] [[Funktional]] auf dem Schwartz-Raum, also eine stetige lineare Abbildung <math>\mathcal{S}(\R^n) \to \Complex</math>. Da die Menge der temperierten Distributionen der Definition nach den topologischen [[Dualraum]] von <math>\mathcal{S}(\R^n)</math> bildet, wird dieser Raum mit <math>\mathcal{S}'(\R^n)</math> notiert. Aufgrund dieser Dualität spricht man auch von den langsam wachsenden Distributionen im Gegensatz zu den schnell fallenden Funktionen.

== Beispiele ==
* Die Klasse der Distributionen mit kompaktem Träger ist eine echte Untermenge des Raums der temperierten Distributionen. Ein Beispiel einer Distribution mit kompaktem Träger ist die [[Delta-Distribution]].
* [[Dirac-Kamm]]
* Alle Distributionen, die durch eine [[Polynomfunktion]] erzeugt werden, sind temperierte Distributionen. Ist <math>P</math> also eine Polynomfunktion, dann ist das stetige Funktional
::<math>\mathcal{S}(\R) \ni \phi \mapsto \int_{\R} P(x) \phi(x) \mathrm{d} x</math>
:eine temperierte Distribution. Diese Distributionen sind im Gegensatz zur Delta-Distribution beziehungsweise zum Dirac-Kamm [[reguläre Distribution]]en.

== Gelfandsches Raumtripel ==
{{Hauptartikel|Gelfand-Tripel}}

Der Schwartz-Raum <math>\mathcal{S}(\R^n)</math> liegt dicht im [[Hilbertraum]] <math>\mathcal{H}=L^2(\R^n)</math> der [[Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]]. Aus diesem Grund gilt für ihre Dualräume die Inklusion <math>(L^2(\R^n))' \subset \mathcal{S}'(\R^n)</math> und aus dem [[Satz von Riesz-Fischer]] folgt <math>L^2(\R^n) \cong (L^2(\R^n))'.</math> Dies führt insgesamt zu der Inklusion
:<math>\mathcal{S}(\R^n) \subset L^2(\R^n) \hookrightarrow \mathcal{S}'(\R^n).</math>
Die stetige [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] <math>i \colon L^2(\R^n) \hookrightarrow \mathcal{S}'(\R^n)</math> ist die normale Identifizierung einer Funktion mit einer Distribution. Das heißt, <math>i</math> ist die Abbildung

:<math>f \in L^2(\R^n) \mapsto \left(\phi \in \mathcal{S}(\R^n) \mapsto \int_{\R^n} f(x) \phi(x) \mathrm{d} x \right)</math>.

Das Paar <math>(\mathcal{S}(\R^n), L^2(\R^n))</math> ergibt ein Beispiel für einen [[Erweiterter Hilbertraum|erweiterten Hilbertraum]], beziehungsweise das Tripel <math>\left(\mathcal{S}(\R^n), L^2(\R^n), \mathcal{S}'(\R^n)\right)</math> ein Beispiel für ein [[gelfandsches Raumtripel]] (nach [[Israel Gelfand]]). In allen drei Räumen ist die Fourier-Transformation ein [[Automorphismus]].

Zu den Werten <math>\lambda \in \sigma_c\left(A\right)</math> im kontinuierlichen Anteil des [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrums]] eines [[Linearer Operator|Operators]] <math>A</math> auf <math>L^2</math> existieren, anders als zu den [[Eigenwert]]en <math>\lambda \in \sigma_p\left(A\right)</math> (also den Werten des Punktspektrums), keine Eigenfunktionen in <math>L^2</math>. Es können aber Distributionen <math>T \in \mathcal {S}'</math> existieren, die an deren Stelle die Eigenwertgleichung <math>\lambda T = A T</math> in <math>\mathcal{S}'</math> erfüllen. Weitere Einzelheiten finden sich in Band III der unter [[#Literatur|Literatur]] angegebenen Bücher von Gelfand.
In der Anwendung auf die [[Quantenmechanik]] bedeutet das, dass der Raum <math>\mathcal S'</math> beispielsweise „Eigenfunktionen“ des [[Ortsoperator|Orts-]] oder [[Impulsoperator]]s enthält (in der Standard-Darstellung sind dies [[Delta-Distribution|δ-Funktionen]] bzw. [[ebene Welle]]n), die nicht in <math>L^2(\mathbb{R}^3)</math> enthalten sind, weil das Integral über ihr [[Betragsquadrat]] divergiert.

== Fourier-Transformation ==
=== Definition ===
Sei <math>u \in \mathcal{S}'(\R^n)</math> eine temperierte Distribution, die [[Kontinuierliche Fourier-Transformation#Fourier-Transformation im Raum der temperierten Distributionen|Fourier-Transformierte]] <math>\mathcal{F}(u)</math> ist für alle <math>\phi \in \mathcal{S}(\R^n)</math> definiert durch
:<math>\mathcal{F}(u)(\phi) := u(\mathcal{F}(\phi))</math>.

In diesem Kontext ist die Fourier-Transformation auf Funktionen durch <math>\textstyle \mathcal{F}(\phi)(\xi) = \int_{\R^n} e^{-\mathrm i \langle x, \xi\rangle} \phi(x) \mathrm{d} x</math> definiert. Es gibt auch eine andere Konvention für die Fourier-Transformation mit dem Vorfaktor <math>\tfrac{1}{(2 \pi)^{n/2}}</math>. Diese wird in diesem Artikel aber nicht verwendet.

=== Eigenschaften ===
Man stattet die Menge <math>\mathcal{S}'(\R^n)</math> mit der [[Schwach-*-Topologie]] aus. Dann ist die Fourier-Transformation eine stetige, [[Bijektive Funktion|bijektive Abbildung]] auf <math>\mathcal{S}'(\R^n)</math>. Das Fourier-Urbild von <math>\mathcal{F}(u)</math> berechnet sich mit der Formel<br /><math style="margin-left:2em">u(\phi)(-x) = \frac{1}{(2\pi)^n}\mathcal{F}(\mathcal{F}(u))(\phi)(x).</math>

=== Beispiel ===
* Sei <math>a \in \R^n</math> und <math>\delta_a \in S'(\R^n)</math> die [[Deltadistribution]] zum Punkt <math>a</math>. Für die Fourier-Transformation gilt dann
::<math>\mathcal{F}(\delta_a)(\phi) = \delta_a(\mathcal{F}(\phi)) = \mathcal{F}(\phi)(a) = \int_{\R^n} e^{-\mathrm i a x} \phi(x) \mathrm{d} x</math>.
:Also entspricht <math>\mathcal{F}(\delta_a)</math> der von <math>x \mapsto e^{-\mathrm i a x}</math> erzeugten Distribution. Im Fall <math>a=0</math> entspricht also <math>\mathcal{F}(\delta_0)</math> der von <math>1</math> erzeugten Distribution. Verwendet man bei der Fourier-Transformation noch den Vorfaktor <math>\tfrac{1}{(2 \pi)^{n/2}}</math> dann ist das Ergebnis des Beispiels die Distribution, die von <math>\tfrac{1}{(2 \pi)^{n/2}}</math> erzeugt wird.

* Sei nun <math>\textstyle T_1(\phi) = \int_{\R^n} 1 \cdot \phi(x) \mathrm{d} x</math> die von der konstanten Eins-Funktion erzeugte Distribution. Der naheliegende Ansatz, den Ausdruck <math>\mathcal{F}(T_1)(\phi)</math> zu berechnen, scheitert, da er auf ein nicht absolut konvergentes Integral führt. Zum Lösen benötigt man obiges Beispiel und einen kleinen Trick. Es gilt
::<math>\mathcal{F}(T_1)(\phi) = \mathcal{F}(\mathcal{F}(\delta_0))(\phi) = \delta_0(\mathcal{F}(\mathcal{F}(\phi))) = (2 \pi)^{n} \delta_0(\phi)(-x) = (2 \pi)^{n} \phi(0) = (2 \pi)^{n} \delta_0(\phi)</math>
:und somit <math>\mathcal{F}(T_1) = (2\pi)^{n} \delta_0.</math>
=== Fourier-Laplace-Transformation ===
In diesem Abschnitt wird die Fourier-Transformation nur für Distributionen mit kompaktem Träger betrachtet. Da die Fourier-Transformation in diesem Kontext besondere Eigenschaften hat, nennt man sie dann Fourier-Laplace-Transformation.
Sei <math>u \in \mathcal{E}'(\R^n)</math> also eine [[Distribution mit kompaktem Träger]]. Dann ist die Laplace-Fourier-Transformation durch
:<math>\hat{u}(\xi) := u(e^{-\mathrm i \langle \cdot, \xi \rangle})</math>
definiert. Dies ist [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], denn man kann zeigen, dass <math>\hat{u}</math> eine Funktion ist, welche sogar für alle <math>\xi \in \Complex</math> [[Analytische Funktion|analytisch]] – also [[Ganze Funktion|ganz]] – ist. Außerdem stimmt diese Definition mit der obigen Definition überein, falls die Distributionen kompakten Träger haben. Welche ganzen Funktionen hier als Fourier-Laplace-Transformationen auftreten können, charakterisiert der [[Satz von Paley-Wiener]].

== Laplace-Transformation ==
Für temperierte Distributionen kann man ebenfalls eine [[Laplace-Transformation]] definieren. Diese sieht ähnlich aus wie die Fourier-Laplace-Transformation aus dem vorigen Abschnitt.
Sei <math>u \in \mathcal{S}'</math> eine temperierte Distribution mit Träger in <math>[0,\infty[</math>, dann ist die Laplace-Transformation <math>\mathcal{L}</math> von <math>u</math> durch
:<math>\mathcal{L}(u)(\xi) := u(e^{- \langle \cdot, \xi \rangle})</math>
definiert. Das Resultat der Transformation ist ebenfalls wieder eine [[holomorphe Funktion]], die für <math>\mathfrak{Re}(\xi)>0</math> definiert ist (sich aber eventuell auf eine größere Menge analytisch fortsetzen lässt). Im Gegensatz zur Fourier-Laplace-Transformation ist die Laplace-Transformation auch für temperierte Distributionen definiert, die keinen kompakten Träger haben. Dies ist möglich, da das Abklingverhalten von <math>e^{- \langle x, \xi \rangle}</math> besser ist als das des Fourier-Kerns <math>e^{- \mathrm i \langle x, \xi \rangle}</math>.

== Literatur ==
* [[Lars Hörmander]]: ''The Analysis of Linear Partial Differential Operators.'' Band 1: ''Distribution Theory and Fourier Analysis.'' Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' 256).
* [[Otto Forster]], Joachim Wehler: ''[http://www.pst.informatik.uni-muenchen.de/personen/wehler/wavelets10.PDF Fourier-Transformation und Wavelets] (PDF; 575 kB).'' 2001 (Skript).
* R. J. Beerends, H. G. ter Morsche, J. C. van den Berg, E. M. van de Vrie: ''Fourier and Laplace transforms.'' Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-53441-3.
* [[Israel Gelfand]]: ''Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen).'' VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost).
** Band 1: I. M. Gelfand, [[Georgi Jewgenjewitsch Schilow|G. E. Schilow]]: ''Verallgemeinerte Funktionen und das Rechnen mit ihnen.'' 1960 (''[[Hochschulbücher für Mathematik]]'' 47, {{ISSN|0073-2842}});
** Band 2: I. M. Gelfand, G. E. Schilow: ''Lineare topologische Räume, Räume von Grundfunktionen und verallgemeinerten Funktionen.'' 1962 (''Hochschulbücher für Mathematik'' 48);
** Band 3: I. M. Gelfand, G. E. Schilow: ''Einige Fragen zur Theorie der Differentialgleichungen.'' 1964 (''Hochschulbücher für Mathematik'' 49);
** Band 4: I. M. Gelfand, [[Naum Jakowlewitsch Wilenkin|N. J. Wilenkin]]: ''Einige Anwendungen der harmonischen Analyse. Gelfandsche Raumtripel.'' 1964 (''Hochschulbücher für Mathematik'' 50).
** Band 5: I. M. Gelfand, M. I. Graev: ''Integral geometry and representation theory'' 1966, Academic Press.
* Klaus-Heinrich Peters: ''Der Zusammenhang von Mathematik und Physik am Beispiel der Geschichte der Distributionen. Eine historische Untersuchung über die Grundlagen der Physik im Grenzbereich zu Mathematik, Philosophie und Kunst.'' 2004 (Hamburg, Univ., Diss., 2003), [http://d-nb.info/972150358/34 online (PDF; 2,72 MB)].

[[Kategorie:Distributionentheorie]]

Temperierte Distribution - Versionsgeschichte

imported>MathPhy42: Formatierung