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2024-12-10T08:44:12Z

Erhaltungssatz

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Das '''Tellegen-Theorem''' (entwickelt von [[Bernard Tellegen|B. D. H. Tellegen]]) wird vor allem in der digitalen [[Signalverarbeitung]] für den Entwurf von Filtern eingesetzt. In seiner Reinform handelt es sich bei dem Theorem um eine Art [[Erhaltungssatz]], es lassen sich aus ihm jedoch mehrere Beziehungen zwischen [[Signalflussgraph]]en ableiten.

== Das Theorem ==
[[Bild:Signalflussdiagramme-Tellegen.jpg|Zwei Systeme S und S', die mit dem Tellegen-Theorem verglichen werden können|thumb]]

Es sind zwei Systeme S und S', die durch [[Signalflussgraph]]en beschrieben werden, gegeben. Diese müssen zunächst nicht unbedingt linear sein, haben aber dieselbe Anzahl von Knoten, nämlich N. Die Knotensignale werden mit <math>w_k</math>, bzw. <math>w'_k</math>, die [[Signal]]e der Pfade zwischen Knoten i und j mit <math>s_{ij}</math> bzw. <math>s'_{ij}</math> und die Eingangssignale mit <math>x_k</math> bzw. <math>x'_k</math> bezeichnet.
Das Tellegen’sche Theorem besagt dann:

<math>\sum_{k=1}^N \sum_{j=1}^N (w'_k.s_{jk} - w_k.s'_{jk}) + \sum_{k=1}^N(w_k.x'_k - w'_k.x_k) = 0</math>

Die linke Summe enthält nur „interne“ Vorgänge, während die rechte Summe nur die Eingangssignale behandelt. Aus dieser Form lässt sich noch keine Aussage ableiten, es müssen konkrete Fälle betrachtet werden.

== Herleitung ==
Wir betrachten zunächst nur die Knotensignale in der vorerst sinnlos und trivial erscheinenden Identität

<math>\sum_{k=1}^N (w_k\cdot w_k'-w_k'\cdot w_k)=0</math>

Für die Knotensignale lässt sich einsetzen:

<math>w_k = \sum_{j=1}^N s_{jk} + x_k</math>
bzw.

<math>w'_k = \sum_{j=1}^N s'_{jk} + x'_k</math>

Einsetzen und Aufteilen der Summe führt genau auf obige Form.

== LTI Fall ==
Sind die [[Übertragungsfunktion]]en der Pfade in beiden Systemen linear und zeitinvariant, dann lässt sich das Theorem auf eine einfachere Form umschreiben. Es werden zunächst die Zeitsignale durch ihre z-Transformierten ersetzt. Jedes Pfadsignal ist nun als Signal des Stammknotens multipliziert mit der Übertragungsfunktion des Pfades <math>F_{ij}</math> darstellbar.

<math>w_k[n] \rightarrow W_k(z)</math>

<math>x_k[n] \rightarrow X_k(z)</math>

<math>s_{ij}[n] \rightarrow W_i(z).F_{ij}(z)</math>

Das Theorem kann nun umgeschrieben werden zu

<math>\sum_{k=1}^N \sum_{j=1}^N W'_j.W_k.(F'_{jk} - F_{kj}) + \sum_{k=1}^N(W_k.X'_k - W'_k.X_k) = 0</math>

Hieraus können nun relativ einfach Zusammenhänge zwischen den Systemen abgeleitet werden.

=== Transposition ===
Ist das zu vergleichende System S' das zu S [[transponiert]]e System <math>S^T</math>, und haben die Systeme nur jeweils einen Eingang und einen Ausgang, dann haben sie die gleiche [[Übertragungsfunktion]]. Dies soll nun mittels des Tellegen-Theorems für lineare Systeme bewiesen werden.

Das transponierte System entsteht aus S, indem die Eingangs- zu den Ausgangsknoten werden und umgekehrt. Außerdem werden alle Pfade (bei gleichbleibender Pfadübertragungsfunktion) umgedreht, d. h.

<math>F^T_{ij} = F_{ji}</math>.

Einsetzen dieser Bedingung in das Theorem
<math>\sum_{k=1}^N \sum_{j=1}^N W^T_j.W_k.(F^T_{jk} - F_{kj}) + \sum_{k=1}^N(W_k.X^T_k - W^T_k.X_k) = 0</math>
lässt die linke Summe wegfallen und es bleibt

<math>\sum_{k=1}^N(W_k.X^T_k - W^T_k.X_k) = 0</math>

stehen.
Es wird nun weiter angenommen, dass das System S einen Eingangsknoten (<math>w_a</math>) und einen Ausgangsknoten (<math>w_b</math>) besitzt. Das Transponierte System hat dann den Eingangsknoten bei <math>w^T_b</math> und den Ausgangsknoten bei <math>w^T_a</math>. Die verbliebene Summe reduziert sich dann auf

<math> W_b.X^T_b - W^T_a.X_a = 0</math>

Da <math>X^T_b = X_a = X</math> ist folgt

<math>W_b=W^T_a</math>

Was nichts anderes heißt, als dass die Ausgangssignale bei gleichem Eingangssignal übereinstimmen, die Übertragungsfunktion ist also gleich.

=== Empfindlichkeitsanalyse ===
Es soll wieder ein lineares System S betrachtet werden, das nur ein Eingangs- und ein Ausgangssignal besitzt (kann mit derselben Argumentation auf beliebig viele Ein- und Ausgänge verallgemeinert werden). Es soll nun untersucht werden, wie sich die Übertragungsfunktion <math>H(z)</math> von S ändert, wenn genau ein Pfad, z. B. der zwischen Knoten h und l, geändert wird.

Es entsteht also ein neues System

<math>S \rightarrow S^\Delta: F_{hl}(z) \rightarrow F^\Delta_{hl}(z)=F_{hl}(z)+\Delta F_{hl}(z)</math>

Auch die anderen Systemkomponenten werden in das neue System überführt

<math>W_k(z) \rightarrow W^\Delta_k(z)</math>;
<math>X(z) \rightarrow X^\Delta(z)=X(z)</math>;
<math>F_{ij}(z) \rightarrow F^\Delta_{ij}(z)=F_{ij}(z)|_{i \ne h \land j \ne l}</math>;
<math>H(z) \rightarrow H^\Delta</math>

Dieses System wird nun über das Tellegen-Theorem mit dem transponierten Ausgangssystem <math>S^T</math> verglichen.
<math>\sum_{k=1}^N \sum_{j=1}^N W^\Delta_j.W^T_k.(F^\Delta_{jk} - F^T_{kj}) + \sum_{k=1}^N(W^T_k.X^\Delta_k - W^\Delta_k.X^T_k) = 0</math>

In der linken Summe sind dann wieder alle Summanden Null, außer der für j=h und k=l. Durch die Voraussetzung eines Eingangssignals (Knoten a) und eines Ausgangssignals (Knoten b) lässt sich auch die rechte Summe wieder reduzieren.

<math>W^\Delta_h.W^T_l.(F^\Delta_{hl} - F^T_{lh}) + W^T_a.X - W^\Delta_b.X = 0</math>

Da <math>F^T_{lh}(z) = F_{hl}(z)</math> und <math>F^\Delta_{hl}=F_{hl}(z)+\Delta F_{hl}(z)</math>
lässt sich der Ausdruck weiter vereinfachen auf

<math>W^\Delta_h.W^T_l.\Delta F_{hl} + W^T_a.X - W^\Delta_b.X = 0</math>

Wobei nun <math>W^T_a(z) = H(z).X(z)</math> und <math>W^\Delta_b(z) = H^\Delta(z).X(z)</math> ist.

Auch die Knotensignale können durch (interne) Übertragungsfunktionen mit dem Eingangssignal in Verbindung gebracht werden. So wird <math>W^\Delta_h(z) = H^\Delta_{ah}(z)X(z)</math> und <math>W^T_l(z) = H^T_{bl}(z).X(z)</math>

Durch Umformung erhält man dann

<math>H^\Delta-H=\Delta H=H^\Delta_{ah}.H^T_{bl}.\Delta F_{hl} =H^\Delta_{ah}.H_{lb}.\Delta F_{hl}</math>

Die einzig verbliebene Unbekannte in dieser Gleichung ist <math>H^\Delta_{ah}</math>. Sie kann mit genau dieser Gleichung berechnet werden, indem anstatt b der Knoten h als Ausgangsknoten verwendet wird.

<math>H^\Delta_{ah}-H_{ah}=H^\Delta_{ah}.H_{lh}.\Delta F_{hl}</math>.

Dies lässt sich umformen zu

<math>H^\Delta_{ah}=\frac{H_{ah}}{1-H_{lh}.\Delta F_{hl}}</math>.

Durch Rückeinsetzen ergibt sich dann die Gleichung

<math>\Delta H=\frac{H_{ah}}{1-H_{lh}.\Delta F_{hl}}.H_{lb}.\Delta F_{hl}</math>,

die nur noch Funktionen aus dem Ursprungssystem enthält.

== Literatur ==
* Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: ''Digital Signal Processing''. Prentice-Hall, 1975, ISBN 0-13-214635-5.

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]

Tellegen-Theorem - Versionsgeschichte

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