imported>Siphonarius: Revert: Grund für Löschung?

2024-03-05T13:39:53Z

Revert: Grund für Löschung?

Neue Seite

[[Datei:Teleskop.svg|mini|Zusammenschieben eines Teleskops – Namensgeber der Teleskopsumme]]
[[Datei:Englisches Marineteleskop von Karl Friedrich Neumann, item 2.jpg|mini|Ein zusammenschiebbares Teleskop]]

Eine '''Teleskopsumme''' ist in der [[Mathematik]] eine endliche [[Summe]] von [[Subtraktion|Differenzen]], bei der je zwei Nachbarglieder (außer dem ersten und dem letzten) sich gegenseitig aufheben. Diesen Vorgang nennt man ''Teleskopieren einer Summe''. Der Begriff ist abgeleitet vom Ineinanderschieben zweier oder mehrerer [[Zylinder (Geometrie)|zylindrischer]] [[Teleskoprohr|Rohre]].

Falls <math>(a_k)_{k\in\mathbb{N}}\,</math> eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] ist, so ist
:<math>\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1})</math>
eine Teleskopsumme. Kann man eine Summe als Teleskopsumme schreiben, vereinfacht sich ihre Auswertung:
:<math>\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1}) = (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}</math>.

Eine [[Reihe (Mathematik)|Reihe]], deren Teilsummen Teleskopsummen sind, heißt '''Teleskopreihe'''. Eine Teleskopreihe
:<math>\sum_{i=1}^\infty(a_i-a_{i+1})</math>
ist genau dann konvergent, wenn <math>(a_k)_{k\in\mathbb{N}}\,</math> gegen einen Grenzwert <math>g\,</math> konvergiert. Die Summe der Reihe ist dann gleich <math>a_1-g\,</math>.

Analoges gilt für ein Produkt:
:<math>\prod_{i=1}^n \frac{a_{i+1}}{a_i}=\frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdot\frac{a_4}{a_3}\cdots
\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math>
ist sozusagen ein '''Teleskopprodukt'''.

Komplizierter ist die Situation, wenn das [[Teleskop]] über drei (oder auch mehr) aufeinanderfolgende Glieder läuft (siehe Beispiel).

In der [[Zahlentheorie]] stellen Teleskopsummen ein wichtiges Hilfsmittel dar.

== Beispiele ==
* endliche [[geometrische Reihe]]:
*:<math>(x-1)\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n(x^{k+1}-x^k)=x^{n+1} - 1.</math>
* Teleskopsummen sind oft ein wenig versteckt und lassen sich beispielsweise durch [[Partialbruchzerlegung]] erkennen. Die Partialbruchzerlegung von <math>\frac1{k(k+1)}</math> erhält man beispielsweise mittels
::<math>\frac1{k(k+1)} =\frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}</math>.
:Daraus folgt
::<math>\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1-\frac1{n+1}.</math>
* dreifache Teleskopsumme:
::<math>\begin{align}
(x-1)^2\sum_{k=1}^n kx^{k-1} &= \sum_{k=1}^n(kx^{k+1} - 2kx^k + kx^{k-1}) = \sum_{k=1}^n [kx^{k+1}-(k-1)x^k] - \sum_{k=1}^n [(k+1)x^k-kx^{k-1}] \\
&= nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1.
\end{align}</math>
:Alternativ folgt dies für <math>x\neq1</math> durch Differentiation aus dem ersten Beispiel mit Hilfe der [[Quotientenregel]]:
::<math>\sum_{k=1}^n kx^{k-1}
= \frac{\rm d}{{\rm d}x}\sum_{k=0}^n x^k
= \frac{\rm d}{{\rm d}x}\frac{x^{n+1}-1}{x-1}
= \frac{(n+1)x^n(x-1) - (x^{n+1}-1)}{(x-1)^2}
= \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2}
</math>.
:Dies ist ein wichtiges Anwendungsbeispiel der [[Differentialrechnung]] als [[Kalkül]] bei der [[Term#Algebraische Umformungen|Termumformung]].

== Literatur ==
* Rolf Walter: ''Einführung in die Analysis.'' Band 1. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-11-019539-2, S. 31–32 ({{Google Buch|BuchID=b1j0wYiIIiMC|Seite=31|Linktext=Auszug|Land=}}).
* [[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis.'' Band 1. 6. Auflage, unveränderter Nachdruck der 5. durchgesehenen Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 91, 94, 194.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Teleskopsumme und Teleskopreihe}}
* [http://planetmath.org/telescopingsum ''Telescoping Sum''] auf [[PlanetMath]]
* Po-Shen Loh: [http://www.math.cmu.edu/~ploh/docs/math/3-telescope-solns.pdf ''Telescoping Sums and Products''] (PDF; 66 kB) – Beispiele von Teleskopsummen und Teleskopprodukten
* Philippe B. Laval: [http://ksuweb.kennesaw.edu/~plaval/math2202/telescoping.pdf ''Telescoping Sums''] (PDF; 95,1 kB) – Herleitung eines allgemeinen Satzes für Teleskopsummen der Form <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot(n+k)}</math>

[[Kategorie:Addition]]
[[Kategorie:Subtraktion]]
[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

Teleskopsumme - Versionsgeschichte

imported>Siphonarius: Revert: Grund für Löschung?