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In der [[Mathematik]] ist eine '''Teilfolge''' einer [[Folge (Mathematik)|Folge]] eine neue Folge, die entsteht, wenn Folgenglieder von der ursprünglichen Folge weggelassen werden. Es können endlich viele Glieder (insbesondere auch gar keine) oder unendlich viele weggelassen werden. Sofern nicht ausdrücklich von einer ''endlichen Teilfolge'' gesprochen wird, ist bei einer unendlichen Folge üblicherweise wieder eine unendliche Teilfolge gemeint.

Eine Teilfolge wird aus der Folge <math>(a_n)_{n \geq n_0}</math> gebildet, indem nur die Elemente <math>(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>
berücksichtigt werden, wobei <math>n_1 < n_2 < n_3 < \dotsb</math> eine streng monoton wachsende unendliche Folge in <math>\{n \in \mathbb{Z} \vert n \geq n_0\}</math> ist.

<math>(a_n)_{n \geq n_0}</math> ist selbst auch eine Teilfolge von <math>(a_n)_{n \geq n_0}</math>.

== Beispiele ==
* Folge: <math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}} = ((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}}</math>. Teilfolge mit <math>n_k=2k</math>: <math>(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (1,1,1,\dotsc)</math>
* Folge: <math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}} = (n)_{n \in \mathbb{N}}</math>. Teilfolge mit <math>n_k=k^2</math>: <math>(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (1,4,9,16,\dotsc)</math>

== Folgenkompakter Raum ==
Nach dem [[Satz von Bolzano-Weierstraß]] besitzt jede [[Beschränktheit|beschränkte]] unendliche [[reelle Zahlen|reelle]] Zahlenfolge mindestens eine [[Grenzwert (Folge)|konvergente]] Teilfolge. Allgemein heißt ein [[topologischer Raum]] [[Folgenkompaktheit|folgenkompakt]], wenn er die Eigenschaft hat, dass jede Folge mindestens eine konvergente Teilfolge hat.

== Konvergenz ==
Ist eine Folge <math>(a_n)_{n\in\N}</math> [[Konvergenz (Mathematik)|konvergent]] gegen <math>a</math>, so konvergiert auch jede Teilfolge <math>(a_{n_k})_{k\in\N}</math> gegen denselben Grenzwert <math>a</math>. Umgekehrt gilt auch, wenn jede Teilfolge <math>(a_{n_k})_{k\in\N}</math> gegen denselben Grenzwert <math>a</math> konvergiert, dass auch die Folge <math>(a_n)_{n\in\N}</math> gegen <math>a</math> konvergiert.

In jedem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] gilt sogar der Satz, dass eine Folge <math>(a_n)_{n\in\N}</math> genau dann gegen <math>a</math> konvergiert, wenn jede Teilfolge <math>(a_{n_k})_{k\in\N}</math> eine Teilteilfolge <math>(a_{n_{k_l}})_{l\in\N}</math> enthält, die gegen <math>a</math> konvergiert.
Die Bedeutung dieses Satzes liegt erstens darin, dass er bei vielen Konvergenzbeweisen in folgenkompakten Räumen hilfreich ist. Zweitens liefert dieser Satz ein Kriterium, ob ein Konvergenzbegriff durch eine Topologie beschrieben werden kann; die [[Punktweise Konvergenz μ-fast überall|punktweise Konvergenz fast überall]] einer [[Funktionenfolge]] erfüllt beispielsweise nicht diesen Satz und kann daher nicht durch eine Topologie beschrieben werden.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Teilfolge}}

== Literatur ==
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

Teilfolge - Versionsgeschichte

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