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2025-12-08T12:23:42Z

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl: Summe eingefügt.

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Unter der '''Teilersumme''' einer [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] versteht man die Summe aller positiven [[Teilbarkeit|Teiler]] dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Jochen Ziegenbalg |Titel=Elementare Zahlentheorie |Auflage=2. |Verlag= |Ort= |Datum=2015 |ISBN= |Seiten=35}}</ref>

Beispiel:
: Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme von 6 lautet also <math>1+2+3+6 = 12</math>.

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle,
z. B. bei den [[Vollkommene Zahl|vollkommenen Zahlen]] und den [[Befreundete Zahlen|befreundeten Zahlen]].

== Definitionen ==

=== Definition 1: Summe aller Teiler ===

Sind <math>t_1, t_2, ..., t_k</math> '''alle Teiler''' der natürlichen Zahl <math>n</math>, so nennt man <math>\sigma(n) = t_1+t_2+\dotsb+t_k</math> die ''Teilersumme'' von <math>n</math>. Dabei sind 1 und <math>n</math> selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion <math>n \mapsto \sigma(n)</math> heißt ''Teilersummenfunktion'' und ist eine [[zahlentheoretische Funktion]].

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:
: <math>\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12</math>.

=== Definition 2: Summe der echten Teiler ===

Die Summe <math>\sigma^*(n)</math> der '''echten Teiler''' der natürlichen Zahl <math>n</math> ist die Summe der Teiler von <math>n</math> ohne die Zahl <math>n</math> selbst.

Beispiel:
: <math>\sigma^*(6) = 1+2+3 = 6</math>.

Es gilt die Beziehung
: <math>\sigma(n)-n = \sigma^*(n)</math>.

=== Definition 3: defizient, abundant, vollkommen ===

Eine natürliche Zahl <math>n > 1</math> heißt
: [[Defiziente Zahl|defizient]] oder ''teilerarm'', wenn <math>\sigma^*(n) < n</math>,
: [[Abundante Zahl|abundant]] oder ''teilerreich'', wenn <math>\sigma^*(n) > n</math>,
: [[Vollkommene Zahl|vollkommen]], wenn <math>\sigma^*(n) = n</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Jochen Ziegenbalg |Titel=Elementare Zahlentheorie |Auflage=2. |Datum=2015 |Seiten=37}}</ref>

Beispiele:
: <math>\sigma^*(6) = 1+2+3=6</math>, d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
: <math>\sigma^*(12) = 1+2+3+4+6 = 16 > 12</math>, d. h. 12 ist abundant.
: <math>\sigma^*(10) = 1+2+5 = 8 < 10</math>, d. h. 10 ist defizient.

== Eigenschaften der Teilersumme ==

=== Satz 1: Teilersumme einer Primzahl ===

Für jede [[Primzahl]] <math>p</math> gilt
: <math>\sigma(p) = p + 1</math>.

'''Beweis:''' Per Definition hat <math>p</math> nur die Teiler <math>1</math> und <math>p</math>. Daraus folgt die Behauptung.

=== Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl ===

Sei <math>p</math> eine Primzahl und <math>k \in \N_0</math>. Dann gilt für die [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] <math>p^k</math>:
: <math>\sigma(p^k) = \sum_{j = 0}^k p^j = \frac{p^{k+1}-1}{p-1}</math>.

'''Beweis:''' Da <math>p</math> eine Primzahl ist, hat <math>p^k</math> nur die Teiler <math>p^0,p^1,\ldots,p^k</math>. Diese Zahlen bilden eine [[geometrische Reihe|geometrische Folge]]. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.

'''Beispiel:'''
: <math>\sigma(2^3) = {{2^4-1} \over {2-1}} = {{16-1} \over 1} = 15</math>
: <math>\sigma(8) = 1+2+4+8 = 15</math>

=== Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen ===

Seien <math>a</math> und <math>b</math> verschiedene Primzahlen. Dann gilt
: <math>\sigma(a\cdot b) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)</math>.

'''Beweis:''' Die Zahl <math>ab</math> besitzt genau die Teiler <math>1, a, b</math> und <math>ab</math>. Daraus folgt
: <math>\sigma(a \cdot b) = 1 + a + b + ab = (a+1)(b+1) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)</math>.

'''Beispiel:'''
: <math>\sigma(3 \cdot 5) = \sigma(15) = 1+3+5+15 = 24</math>
: <math>\sigma(3) \cdot \sigma(5) = (1+3) \cdot (1+5) = 4 \cdot 6 = 24</math>

=== Satz 4: Teilersumme des Produkts von zwei teilerfremden Zahlen ===

Sind <math>a</math> und <math>b</math> teilerfremde Zahlen, so gilt
: <math>\sigma(a\cdot b) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Jochen Ziegenbalg |Titel=Elementare Zahlentheorie |Auflage=2. |Datum=2015 |Seiten=36}}</ref>
Die Teilersummenfunktion ist also [[Zahlentheoretische Funktion#Multiplikative Funktionen|multiplikativ]].

'''Beispiel:'''
: <math>\sigma(4 \cdot 9) = \sigma(36) = 1+2+3+4+6+9+12+18+36 = 91</math>
: <math>\sigma(4) \cdot \sigma(9) = (1+2+4) \cdot (1+3+9) = 7 \cdot 13 = 91</math>

=== Satz 5: Teilersumme einer in Primfaktoren zerlegten Zahl ===

Sei <math>n \in \mathbb{N}</math> mit der [[Primfaktorzerlegung]] <math>n =
p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot\ldots\cdot p_r^{k_r}</math>. Dann gilt
: <math>
\sigma(n) = \frac{p_1^{k_1+1}-1}{p_1-1} \cdot\ldots\cdot \frac{p_r^{k_r+1}-1}{p_r-1}
</math>.<ref>{{Literatur |Autor=[[G. H. Hardy]], E. M. Wright |Titel=An Introduction to the Theory of Numbers |Auflage=4. |Verlag=Oxford University Press |Ort=Oxford |Datum=1975 |ISBN=0-19-853310-1 |Seiten=239}}</ref>

'''Beispiel:'''
: <math>\sigma(84) = \sigma(2^2\cdot 3\cdot 7) = \frac{2^3-1}{2-1}\cdot \frac{3^2-1}{3-1}\cdot \frac{7^2-1}{7-1} = 7 \cdot 4 \cdot 8 = 224.</math>
== Satz von Thabit ==

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den '''Satz von Thabit''' (benannt nach [[Thabit ibn Qurra]]) aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine natürliche Zahl <math>n</math> seien <math>x = 3\cdot 2^n-1, y = 3\cdot 2^{n-1}-1</math> und <math>z = 9\cdot 2^{2n-1}-1</math>.

Wenn <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen <math>a=2^nxy</math> und <math>b=2^nz</math> befreundet, d. h. <math>\sigma^*(a) = b</math> und <math>\sigma^*(b) = a</math>.

; Beweis:
: <math>\begin{align}
\sigma^*(a) &= \sigma(a)-a \\
&= \sigma(2^n \cdot x \cdot y) -a \\
&= (2^{n+1}-1)(x+1)(y+1) -a \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad && \text{(Satz 4)} \\
&= (2^{n+1}-1)(3 \cdot 2^n)(3\cdot 2^{n-1}) -2^n(3\cdot 2^n-1)(3\cdot 2^{n-1}-1) \\
&= (2^{n+1}-1) \cdot 9 \cdot 2^{2n-1} -2^n(9\cdot 2^{2n-1} -6\cdot 2^{n-1} -3\cdot 2^{n-1} +1) \\
&= 2\cdot 2^n \cdot 9 \cdot 2^{2n-1} -9\cdot 2^n \cdot 2^{n-1} -2^n(9\cdot 2^{2n-1} -9\cdot 2^{n-1} +1) \\
&= 2^n (18 \cdot 2^{2n-1} -9\cdot 2^{n-1} -9\cdot 2^{2n-1} +9\cdot 2^{n-1} -1) \\
&= 2^n (9\cdot 2^{2n-1} -1) \\
&= 2^n \cdot z \\
&= b
\end{align}</math>

Analog zeigt man <math>\sigma^*(b) = a</math>.

== Teilersumme als endliche Reihe ==
Für jede natürliche Zahl <math>n</math> kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften
von <math>n</math> explizit Bezug genommen wird:

: <math>\sigma(n) =\sum_{\mu=1}^n\sum_{\nu=1}^\mu \cos{2\pi\frac{\nu n}{\mu}}</math>

'''Beweis:'''
Die Funktion

: <math>T(n,\mu) = \frac{1}{\mu}\sum_{\nu=1}^\mu\cos 2\pi \frac{\nu n}{\mu},\quad n=1,2,\dots, \quad \mu=1,2,\dots</math>

wird 1, wenn <math>\mu</math> ein Teiler von <math>n</math> ist, ansonsten bleibt sie Null.

Sei nämlich <math>\mu</math> ein Teiler von <math>n</math>. Dann ist der Quotient <math>\frac{\nu n}{\mu}</math> ganzzahlig, somit ist <math>\cos{2\pi\frac{\nu n}{\mu}}</math> gleich 1. Die Summation über <math>\nu</math> ergibt <math>\mu</math>, woraus <math>T(n,\mu)=1</math> folgt.

Sei nun <math>\mu</math> kein Teiler von <math>n</math>.
Es gilt dann

: <math>T(n,\mu) = \frac{1}{\mu}\sum_{\nu=1}^\mu\cos 2\pi \frac{\nu n}{\mu} =
\frac{1}{\mu}\frac{\sin\pi n \cos \frac{\pi(\mu+1)n}{\mu}}{\sin\frac{\pi n}{\mu}}
=0.</math>
Damit ist gezeigt, dass <math>T(n,\mu)</math> genau dann gleich 1 ist, wenn <math>\mu</math> ein Teiler von <math>n</math> ist, und ansonsten verschwindet.

Multipliziert man jetzt <math>T(n,\mu)</math> mit <math>\mu^k</math> und summiert das Produkt über alle Werte <math>\mu=1</math> bis <math>\mu=n</math>, so entsteht nur dann ein Beitrag <math>\mu^k</math> zur Summe, wenn <math>\mu</math> ein Teiler von <math>n</math> ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen [[Teilerfunktion]]
: <math>
\sigma_k(n) =\sum_{\mu=1}^n\mu^{k-1}\sum_{\nu=1}^\mu \cos{2\pi\frac{\nu n}{\mu}},\quad k=0,\pm 1,\dots
</math>

deren Spezialfall <math>k=1</math> die einfache Teilersumme <math>\sigma(n)</math> ist.

== Siehe auch ==
* [[Inhaltskette]]
* [[Teilermenge]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Paul Erdős]], [[János Surányi]]
|Titel=Topics in the Theory of Numbers.
|Reihe=Undergraduate Texts in Mathematics
|Auflage=2.
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=New York, NY (u. a.)
|Datum=2003
|ISBN=0-387-95320-5
|Kommentar=Aus dem Ungarischen übersetzt von [[Barry Guiduli]]}}
* {{Literatur
|Autor=József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici
|Titel=Handbook of Number Theory. I
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Dordrecht
|Datum=2006
|ISBN=1-4020-4215-9}}
* {{Literatur
|Autor=József Sándor, Borislav Crstici
|Titel=Handbook of Number Theory. II
|Verlag=Kluwer Academic Publishers
|Ort=Dordrecht/Boston/London
|Datum=2004
|ISBN=1-4020-2546-7}}
* {{Literatur
|Autor=[[Wacław Sierpiński]]
|Titel=Elementary Theory of Numbers
|Reihe=North-Holland Mathematical Library
|BandReihe=31
|Auflage=2. überarbeitete und erweiterte
|Verlag=North-Holland
|Ort=Amsterdam / New York
|Datum=1988
|ISBN=0-444-86662-0}}
* {{Literatur
|Autor=[[Jochen Ziegenbalg]]
|Titel=Elementare Zahlentheorie. Beispiele, Geschichte, Algorithmen
|Auflage=2.
|Verlag=Springer
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2015
|ISBN=978-3-658-07170-7}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheoretische Funktion]]

Teilersumme - Versionsgeschichte

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