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2026-02-15T10:27:00Z

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Die '''Teilermenge''' einer [[natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] <math>n</math> ist die [[Menge (Mathematik)|Menge]] aller [[Teilbarkeit|Teiler]] dieser Zahl. Sie besteht also aus allen natürlichen Zahlen, durch die man die Ausgangszahl <math>n</math> ohne [[Division mit Rest|Rest]] teilen kann, und wird oft mit <math>T_n</math> oder <math>T(n)</math> bezeichnet.

Beispielsweise besteht die Teilermenge der Zahl 12 aus allen natürlichen Zahlen, durch die man die 12 ohne Rest teilen kann, also
* 1 und 12 (denn 1·12=12, also 12:1=12 und 12:12=1)
* 2 und 6 (denn 2·6=12)
* 3 und 4 (denn 3·4=12)
Somit ist die Teilermenge <math>T_{12} = \{1,2,3,4,6,12\} </math>

Der Übersicht halber ist die Teilermenge hier geordnet notiert. Der kleinste Teiler multipliziert mit dem größten ergibt die untersuchte Zahl, und ebenso das Produkt des zweitkleinsten mit dem zweitgrößten Teiler und so weiter. Diese Paare von Teilern heißen ''komplementäre Teiler''.

Mit Hilfe der [[Primfaktorzerlegung]] lassen sich alle Teiler der Teilermenge schnell bestimmen, allerdings kennt man keine schnellen Verfahren zur Bestimmung der Primfaktorzerlegung.

== Formale Definition ==
Eine natürliche Zahl <math>a</math> ist genau dann ein Teiler einer natürlichen Zahl <math>n</math>, wenn es eine natürliche Zahl <math>b</math> gibt, für die <math>a \cdot b = n</math> gilt. Man schreibt dafür formal:
:
:<math>a \mid n</math>.

Selbstverständlich ist dann auch stets <math>b \mid n</math>; die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> heißen ''komplementäre Teiler''.

Die Teilermenge von <math>n</math> ist
: <math>T_{n} = \{d \in \N : d \mid n \}</math>.

== Teilermenge und ggT ==
Gemäß dem [[Euklidischer Algorithmus|euklidischen Algorithmus]] hat man unter Verwendung der [[ggT]]-Funktion für je zwei natürliche Zahlen <math>m</math> und <math>n</math> die folgende [[Identitätsgleichung|Gleichung]]:<ref>{{Literatur |Autor=Harald Scheid |Titel=Zahlentheorie |Verlag=BI-Wissenschaftsverlag |Ort=Mannheim etc. |Datum=1994 |Seiten=39}}</ref>
:
: <math>T_m \cap T_n = T_{\operatorname{ggT}(m,n)}</math>.<ref group="H">Eine entsprechende Regel gilt für die Vielfachenmenge und das [[kgV]].</ref><ref group="H">Die Regel gilt nicht nur für zwei, sondern entsprechend auch für mehrere natürliche Zahlen.</ref>

== Teileranzahl ==
Wie viele Teiler eine Zahl hat (also, mathematisch ausgedrückt, die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] ihrer Teilermenge), lässt sich dieser Zahl nicht ohne Weiteres ansehen, kann aber mithilfe der Primfaktorzerlegung der Zahl berechnet werden. Diese Zuordnung heißt [[Teileranzahlfunktion]]. Ihre ersten Werte sind 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, … Die Eigenschaften dieser Funktion, insbesondere ihr Verhalten für große Werte von <math>n</math>, werden in der [[Zahlentheorie]] behandelt.

== Triviale Teiler ==
Jede natürliche Zahl <math>n</math> hat mindestens zwei Teiler, nämlich <math>1</math> und <math>n</math>. Diese Teiler heißen die ''trivialen Teiler''. (Eine Ausnahme ist die Zahl <math>1</math>, weil die beiden trivialen Teiler hier gleich sind; sie ist die einzige Zahl mit nur einem Teiler.)

Natürliche Zahlen, deren Teilermenge aus genau zwei Elementen besteht, nennt man [[Primzahl]]en. Wenn <math>p</math> eine Primzahl ist, so gilt:
:
:<math>T_{p} = \{1,p\}</math>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Harald Scheid]]
|Titel=Zahlentheorie
|Auflage=2.
|Verlag=[[BI-Wissenschaftsverlag]]
|Ort=Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich
|Datum=1994
|ISBN=3-411-14842-X}}

== Siehe auch ==
* [[Teilbarkeit]]
* [[Größter gemeinsamer Teiler]] und [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]]
* [[Vielfachenmenge]]
* [[Teilersumme]]

== Weblinks ==
* [https://www.teilermenge.de/ Teilermenge einer Dezimalzahl berechnen mit Ausgabe der Ergebnisse in dezimaler, hexadezimaler und binärer Form]
* {{TIBAV |19879 |Linktext=Teilermengen und Primzahlen |Herausgeber=PHHD |Jahr=2012 |DOI=10.5446/19879}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Hinweise ==
<references group="H" />

[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Teilermenge - Versionsgeschichte

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