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2025-07-04T10:30:24Z

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Zwei [[natürliche Zahlen]] <math>a</math> und <math>b</math> sind '''teilerfremd''' (<math>a \perp b</math>), wenn es keine natürliche Zahl außer der [[Eins]] gibt, die beide Zahlen [[Teilbarkeit|teilt]]. Synonym ist '''relativ prim''', aus dem Englischen ''relatively prime'' oder ''coprime''.
Wenn zwei natürliche Zahlen keinen gemeinsamen [[Primfaktorzerlegung|Primfaktor]] haben, sind sie teilerfremd. Aus dieser Definition folgt, dass jede natürliche Zahl teilerfremd zu 1 ist, auch die Zahl 1 selbst. Ein [[Bruchrechnung|Bruch]] zweier teilerfremder Zahlen kann folglich nicht [[kürzen|gekürzt]] werden.

Zum Nachweis der Teilerfremdheit berechnet man gewöhnlich den [[Größter gemeinsamer Teiler|größten gemeinsamen Teiler]]: Zwei Zahlen sind genau dann teilerfremd, wenn 1 deren größter gemeinsamer Teiler ist.

Mehr als zwei natürliche Zahlen bezeichnet man als '''paarweise teilerfremd''' (engl.: pairwise coprime), wenn je zwei beliebige davon zueinander teilerfremd sind, und als '''teilerfremd''', wenn es keinen Primfaktor gibt, den alle diese Zahlen gemeinsam haben. Zahlen, die paarweise teilerfremd sind, sind auch stets teilerfremd. Die umgekehrte Schlussrichtung gilt nicht, denn beispielsweise sind 6, 10, 15 teilerfremd, aber nicht paarweise teilerfremd (z. B. wegen ggT(10, 15) = 5).

== Beispiele ==

* Die Zahlen 12 und 77 sind teilerfremd, denn ihre [[Primfaktorzerlegung]]en <math>12= 2\cdot 2\cdot3</math> und <math>77= 7\cdot11</math> enthalten keine gemeinsamen Primfaktoren.
* Die Zahlen 15 und 25 sind nicht teilerfremd, denn in ihren Primfaktorzerlegungen <math>15 = 3 \cdot 5</math> und <math>25 = 5 \cdot 5</math> kommt jeweils die 5 vor, die zugleich ggT(15, 25) ist.
* Die Zahlen 9, 17, 64 sind paarweise teilerfremd, denn alle drei Paare 9 und 17, 17 und 64, 9 und 64 sind teilerfremd.

Offensichtlich sind zwei unterschiedliche Primzahlen immer teilerfremd, da sie nur sich selbst als Primfaktor haben. Andere Beispiele teilerfremder Zahlen sind zwei Zahlen, deren Differenz 1 ist, oder zwei ungerade Zahlen, deren Differenz 2 ist.

Teilerfremdheit kommt, häufig als Bedingung, in vielen [[Zahlentheorie|zahlentheoretischen]] Problemen vor. Zum Beispiel ist eine Voraussetzung für den [[Chinesischer Restsatz|Chinesischen Restsatz]], dass die [[Kongruenz (Zahlentheorie)|Moduln]] teilerfremd sind. Die [[Eulersche φ-Funktion]] ordnet jeder natürlichen Zahl ''n'' die Anzahl der zu ''n'' teilerfremden Zahlen in <math>\{1, \dots, n\}</math> zu.

== Eigenschaften ==

Teilerfremdheit ist eine [[Relation (Mathematik)|binäre Relation]]
: <math>\text{Teilerfremdheit} = \left\{ \left(a,b\right)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\ \vert\ \operatorname{ggT}(a, b) = 1 \right\}</math>
Diese Relation ist nicht [[Transitive Relation|transitiv]], denn beispielsweise sind 2 und 3 teilerfremd, ebenso 3 und 4, aber nicht 2 und 4.

Die [[Asymptotische Dichte|asymptotische Wahrscheinlichkeit]], dass zwei zufällig gewählte ganze Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> teilerfremd sind, ist
: <math>P(\operatorname{ggT}(a, b) = 1) = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61\,\%,</math>
wobei <math>\zeta</math> die [[Riemannsche ζ-Funktion]] und <math>\pi</math> die [[Kreiszahl]] ist. Dieser Satz wurde erstmals 1881 von [[Ernesto Cesàro]] bewiesen.<ref>[[Peter Bundschuh]]: ''Einführung in die Zahlentheorie.'' 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76490-8, [http://books.google.de/books?id=XIdbpGLvY34C&pg=PA19 S. 19 f.], [http://books.google.de/books?id=XIdbpGLvY34C&pg=PA51 S. 51 f.]</ref>

Allgemein ist <math>1 / (r^n\,\zeta(n))</math> die [[asymptotische Dichte]] von <math>n</math>-Tupeln mit größtem gemeinsamen Teiler <math>r</math>.<ref>Eckford Cohen: [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa5/aa544.pdf ''Arithmetical functions associated with arbitrary sets of integers''.] (PDF; 2,1 MB) In: ''Acta Arithmetica'', 5, 1959, S. 407–415 (englisch; [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa5/aa548.pdf Errata] (PDF; 327 kB) Aussage ist „Corollary 3.3“ auf S. 413).</ref>

== Teilerfremdheit in Ringen ==

Das Konzept der Teilerfremdheit lässt sich von den natürlichen Zahlen auf [[Ring (Algebra)|kommutative Ringe mit Einselement]] übertragen. In einem solchen Ring sind die [[Einheit (Mathematik)|Einheiten]] Teiler aller Elemente. Zwei Elemente des Rings heißen teilerfremd, wenn die Einheiten ihre einzigen gemeinsamen Teiler sind.

Im Ring der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] sind beispielsweise die Zahlen 2 und −3 teilerfremd, da ihre einzigen gemeinsamen Teiler die Einheiten 1 und −1 sind.

== Ähnliche Eigenschaften ==
* [[Inkommensurabilität (Mathematik)|Inkommensurabilität]] bei reellen Zahlen

== Weblinks ==
* Heinz Klaus Strick in [https://link-springer-com.wikipedialibrary.idm.oclc.org/book/10.1007/978-3-662-63109-6 Mathematik ist wunderschön] (Um diesen Link anzuzeigen, musst du ein berechtigter Bibliotheksbenutzer sein.)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Teilerfremdheit - Versionsgeschichte

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