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[[File:Teileranzahlfunktion.svg|mini|hochkant=1.5|Teileranzahlfunktion d(n) für natürliche Zahlen 0<n<24]]
Die '''Teileranzahlfunktion''' gibt an, wie viele positive [[Teilbarkeit|Teiler]] eine [[natürliche Zahl]] hat; dabei werden die Eins und die Zahl selbst mitgezählt. Die Teileranzahlfunktion gehört zum [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Zahlentheorie]]. Sie wird meist mit <math>d</math> oder <math>\tau</math> bezeichnet – da sie einen Spezialfall der [[Teilerfunktion]] darstellt, auch als <math>\sigma_0(n)</math>.

{| class="wikitable sortable float-right" style="text-align:right"
|+ <math>d(n)</math> … Anzahl der Teiler von <math>n</math>. <math>n_\mathrm{min}</math> … kleinstes <math>n</math> mit <math>d(n)</math> Teilern.
|-
! <math>d(n)</math> !! <math>n_\mathrm{min}</math><div style="background:#FFC0CB; font-size:50%; line-height:120%">Pink: [[hochzusammengesetzte Zahl|hoch- zusammengesetzte Zahl]]</div>
! Faktorisierung von <math>n_\mathrm{min}</math>
|-
| 1 || style="background-color:#FFC0CB" | 1 || 1
|-
| 2 || style="background-color:#FFC0CB" | 2 || 2
|-
| 3 || style="background-color:#FFC0CB" | 4 || 22
|-
| 4 || style="background-color:#FFC0CB" | 6 || 2 · 3
|-
| 5 || 16 || 24
|-
| 6 || style="background-color:#FFC0CB" | 12 || 22 · 3
|-
| 7 || 64 || 26
|-
| 8 || style="background-color:#FFC0CB" | 24 || 23 · 3
|-
| 9 || style="background-color:#FFC0CB" | 36 || 22 · 32
|-
| 10 || style="background-color:#FFC0CB" | 48 || 24 · 3
|-
| 11 || 1.024 || 210
|-
| 12 || style="background-color:#FFC0CB" | 60 || 22 · 3 · 5
|-
| 13 || 4.096 || 212
|-
| 14 || 192 || 26 · 3
|-
| 15 || 144 || 24 · 32
|-
| 16 || style="background-color:#FFC0CB" | 120 || 23 · 3 · 5
|-
| 17 || 65.536 || 216
|-
| 18 || style="background-color:#FFC0CB" | 180 || 22 · 32 · 5
|-
| 19 || 262.144 || 218
|-
| 20 || style="background-color:#FFC0CB" | 240 || 24 · 3 · 5
|-
| 21 || 576 || 26 · 32
|-
| 22 || 3.072 || 210 · 3
|-
| 23 || 4.194.304 || 222
|-
| 24 || style="background-color:#FFC0CB" | 360 || 23 · 32 · 5
|-
| 25 || 1.296 || 24 · 34
|-
| 26 || 12.288 || 212 · 3
|-
| 27 || 900 || 22 · 32 · 52
|-
| 28 || 960 || 26 · 3 · 5
|-
| 29 || 268.435.456 || 228
|-
| 30 || style="background-color:#FFC0CB" | 720 || 24 · 32 · 5
|-
| 31 || 1.073.741.824 || 230
|-
| 32 || style="background-color:#FFC0CB" | 840 || 23 · 3 · 5 · 7
|-
| 33 || 9.216 || 210 · 32
|-
| 34 || 196.608 || 216 · 3
|-
| 35 || 5.184 || 26 · 34
|-
| 36 || style="background-color:#FFC0CB" | 1.260 || 22 · 32 · 5 · 7
|}

== Definition ==
Für jede natürliche Zahl <math>n \in \N</math> wird die Teileranzahlfunktion definiert als
: <math>d(n) := |\{d \in \N : d\mid n\}|</math>,
wobei <math>| \cdot |</math> die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] der Menge ist.

Die ersten Werte sind:<ref>Weitere Anfangswerte siehe auch {{OEIS|A000005}}.</ref>
{| class="wikitable"
|-
! <math>n</math> || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12
|-
! Teiler von <math>n</math>
| &ensp;1&ensp;
| 1, 2
| 1, 3
| 1, 2, 4
| 1, 5
| 1, 2, 3, 6
| 1, 7
| 1, 2, 4, 8
| 1, 3, 9
| 1, 2, 5, 10
| 1, 11
| 1, 2, 3, 4, 6, 12
|- style="text-align:center"
! <math>d(n)</math>
| 1
| 2
| 2
| 3
| 2
| 4
| 2
| 4
| 3
| 4
| 2
| 6
|}

== Eigenschaften ==
* Hat die Zahl <math>n</math> die [[Primfaktorzerlegung]]
:: <math>n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\dotsm p_r^{e_r},</math>
: so gilt:<ref>G. H. Hardy, E. M. Wright: ''An Introduction to the Theory of Numbers.'' 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 273, S. 239.</ref>
:: <math>d(n) = (e_1+1)(e_2+1) \dotsm (e_r+1)</math>
* Für [[Teilerfremdheit|teilerfremde]] Zahlen <math>m</math> und <math>n</math> gilt:
:: <math>d(mn) = d(m)\cdot d(n)</math>
: Die Teileranzahlfunktion ist also eine [[zahlentheoretische Funktion#Multiplikative Funktionen|multiplikative zahlentheoretische Funktion]].
* Eine Zahl <math>n</math> ist genau dann eine Primzahl, wenn <math>d(n)=2</math> gilt.
* Eine Zahl <math>n</math> ist genau dann eine Quadratzahl, wenn <math>d(n)</math> ungerade ist.
* Die zur Teileranzahlfunktion gehörige [[Dirichlet-Reihe]] ist das Quadrat der [[Riemannsche ζ-Funktion|riemannschen Zetafunktion]]:<ref>G. H. Hardy, E. M. Wright: ''An Introduction to the Theory of Numbers.'' 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 289, S. 250.</ref>
:: <math>\zeta(s)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{d(n)}{n^s}</math> (für <math>\operatorname{Re}\,s>1</math>).
* Wenn der Wert <math>d(n)</math> eine Primzahl ist, dann ist <math>n_{min} = 2^{d(n) - 1}</math>
* Wenn der Wert <math>d(n)</math> eine zusammengesetzte Zahl <math>\neq 1</math> ist, dann ist <math>n_{min}</math> stets durch 6 teilbar
* Wenn der Wert <math>d(n)</math> eine Zweierpotenz ist, dann ist <math>n_{min}</math> eine [[hochzusammengesetzte Zahl]]

== Asymptotik ==
Im Mittel ist <math>d(n)\approx\log n</math>, präziser gilt:<ref>G. H. Hardy, E. M. Wright: ''An Introduction to the Theory of Numbers.'' 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 320, S. 264.</ref>
: <math>\sum_{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma-1)x+O(\sqrt x )</math>
Dabei sind „<math>O</math>“ ein [[Landau-Symbol]] und <math>\gamma</math> die [[Euler-Mascheroni-Konstante]].

Als Heuristik kann die Erkenntnis dienen, dass eine Zahl <math>d\leq x</math> ein Teiler von etwa <math>\tfrac xd</math> Zahlen <math>n\leq x</math> ist, damit wird die Summe auf der linken Seite in etwa zu
: <math>x\cdot\sum_{d=1}^{\lfloor x\rfloor}\frac 1d\approx x\log x.</math>
(Zum letzten Schritt siehe [[harmonische Reihe]].)

Der Wert <math>\beta=\tfrac12</math> für den Fehlerterm <math>O(x^{\beta})</math> wurde bereits von [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|P. G. L. Dirichlet]] bewiesen;<ref>P. G. L. Dirichlet: ''Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie.'' In: ''Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften.'' 1849, S. 69–83; oder Werke, Band II, S. 49–66.</ref> die Suche nach besseren Werten ist deshalb auch als ''dirichletsches Teilerproblem'' bekannt.

Bessere Werte wurden von [[Georgi Feodosjewitsch Woronoi|G. F. Woronoi]] (1903, <math>x^{\tfrac13}\log x</math>),<ref>[[Georgi Feodosjewitsch Woronoi|G. Voronoï]]: ''Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques.'' In: ''J. Reine Angew. Math.'' 126 (1903) S. 241–282.</ref> [[Johannes van der Corput|J. van der Corput]] (1922, <math>\beta=\tfrac{33}{100}</math>)<ref>J. G. van der Corput: ''Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem.'' In: ''Math. Ann.'' 87 (1922) 39–65. Berichtigungen 89 (1923) S. 160.</ref> sowie [[Martin Neil Huxley|M. N. Huxley]] (<math>\beta=\tfrac{131}{416}</math>)<ref>{{Literatur |Autor=M. N. Huxley |Titel=Exponential Sums and Lattice Points III |Sammelwerk=Proc. London Math. Soc. |Band=87 |Nummer=3 |Datum=2003 |Seiten=591–609}}</ref> angegeben. Auf der anderen Seite zeigten [[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]] und [[Edmund Landau|E. Landau]], dass <math>\beta\geq\tfrac14</math> gelten muss.<ref>G. H. Hardy: ''On Dirichlet’s divisor problem.'' In: ''Lond. M. S. Proc.'' (2) 15 (1915) 1–25. Vgl. G. H. Hardy, E. M. Wright: ''An Introduction to the Theory of Numbers.'' 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, S. 272.</ref> Die möglichen Werte für <math>\beta</math> sind immer noch Forschungsgegenstand.

== Verallgemeinerungen ==
Die [[Teilerfunktion]] <math>\sigma_k(n)</math> ordnet jeder Zahl <math>n</math> die Summe der <math>k</math>-ten Potenzen ihrer Teiler zu:<ref>{{MathWorld|DivisorFunction|Divisor Function}}</ref>
:<math>\sigma_k(n) = \sum_{d\mid n} d^k</math>
Die [[Teilersumme]] ist der Spezialfall der Teilerfunktion für <math>k=1</math>, und die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall der Teilerfunktion für <math>k=0</math>:
:<math>\sigma(n) = \sigma_1(n) = \sum_{d\mid n} d^1 = \sum_{d\mid n} d</math>
:<math>d(n) = \sigma_0(n) = \sum_{d\mid n} d^0 = \sum_{d\mid n} 1</math>

== Siehe auch ==
* [[Hochzusammengesetzte Zahl]]
* [[Zahlentheoretische Funktion]]

== Literatur ==
* G. H. Hardy, E. M. Wright: ''An Introduction to the Theory of Numbers.'' 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|DivisorFunction|Divisor Function}}

== Quellen ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheoretische Funktion]]

Teileranzahlfunktion - Versionsgeschichte

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