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2023-11-22T18:00:27Z

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Das '''Teilchen auf dem Ring''' ist eines der verschiedenen Modellsysteme aus der [[Quantenmechanik]], welches zur [[Quantisierung (Physik)|Quantisierung]] der [[Energie]] führt. Es ist dem [[Teilchen im Kasten]] sehr ähnlich und wird daher auch als „Teilchen im kreisförmigen Potentialkasten“ bezeichnet.

Im Unterschied zum [[Teilchen im Kasten]] bewegt sich das [[Teilchen]] auf dem Ring jedoch nicht linear, sondern kreisförmig [[Potential (Physik)|potential]]<nowiki />frei um einen bestimmten Punkt. Deshalb ist es günstiger mit [[Polarkoordinaten|Polar-]] als mit [[Kartesisches Koordinatensystem|Kartesischen Koordinaten]] zu rechnen: die [[Wellenfunktion]] des Teilchens hängt nicht vom Abstand <math>r</math> zum Mittelpunkt ab (weil es sich auf einem ''konstanten'' Radius <math>\rho</math> bewegt), sondern nur vom Polarwinkel <math>\phi</math>.

== Mathematische Betrachtung ==
Um die Wellenfunktionen und die Energien der [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] des Teilchens auf dem Ring zu finden, ist es nötig die stationäre [[Schrödingergleichung]] im gegebenen Potential zu lösen. Dieses ist gegeben durch

::<math> V(r, \phi) = \begin{cases}
V_0, & \text{wenn } r = \rho \\
\infty, & \text{sonst}
\end{cases}</math>

Der winkelabhängige Anteil des [[Hamilton-Operator]]s in Polarkoordinaten lässt sich als

::<math>\hat H = - \frac{\hbar^2}{2m \rho^2}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d\phi^2} + V_0</math>

schreiben, wodurch sich die zu lösende Schrödingergleichung ergibt:

:<math>\psi''(\phi) = -\frac{2 m \rho^2}{\hbar^2}(E - V_0) \psi(\phi)</math>

Es handelt sich also um eine gewöhnliche, lineare, homogene [[Differentialgleichung]] 2. Ordnung, für die der Lösungsansatz lautet:

:<math>\psi_M(\phi) = \alpha \cdot e^{\mathrm i M \phi}</math>

Durch Einsetzen in die Schrödingergleichung erhält man

::<math>M = \frac{\sqrt{2 m(E - V_0)}}{\hbar}\rho</math>

Durch Umformen erhält man die Energien des Teilchens auf dem Ring:

:<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">E_M = \frac{M^2 \cdot \hbar^2}{ 2m \rho^2} + V_0 \quad M \in \mathbb Z</math>

Dass <math>M</math> [[ganzzahlig]] sein muss, ergibt sich aus der [[Randbedingung]], dass die Wellenfunktion nach einer Umdrehung auf dem Ring wieder dieselbe sein muss:

:<math>\psi(\phi) = \psi(\phi + 2\pi)</math>

was zu folgender Bedingung führt:

:<math>\begin{alignat}{2}
\Rightarrow \; & \alpha \cdot e^{\mathrm i M \phi} && = \alpha \cdot e^{\mathrm i M (\phi + 2 \pi)} \\
\Leftrightarrow \; & e^{\mathrm i M \phi} && = e^{\mathrm i M \phi} \cdot e^{2\pi \mathrm i M} \\
\Leftrightarrow \; & e^{2 \pi \mathrm i M} && = 1 .
\end{alignat}</math>

Dies ist nur erfüllt, wenn <math>M</math> eine ganze Zahl ist.

Um die Differentialgleichung (bis auf einen Phasenfaktor) eindeutig zu lösen (der Konvention nach wählt man <math>\alpha \in \R^+</math>), muss die Wellenfunktion noch [[Einheitsvektor|normiert]] werden. Dies geschieht, indem man ihr [[Betragsquadrat]] über den gesamten Raum, von <math>0</math> bis <math>2\pi</math>, integriert:

:<math>\begin{align}
1 &= \int_0^{2 \pi} |\psi (\phi)|^2 \cdot \mathrm d \phi \\
\Leftrightarrow 1 &= \int_0^{2 \pi} \left| \alpha \cdot e^{\mathrm i M \phi} \right|^2 \cdot \mathrm d \phi \\
\Rightarrow 1&= \alpha^2 \cdot \int_0^{2 \pi} \underbrace{e^{\mathrm iM\phi} e^{-\mathrm iM\phi}}_{ = 1} \mathrm d \phi \\
\Leftrightarrow \alpha &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\end{align}</math>

Somit lautet die [[Eigenfunktion]] des Hamiltonoperators für ein Teilchen auf dem Ring:

:<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;"> \psi_M(r, \phi) = \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{\mathrm i M \phi} \quad M \in \mathbb Z, & \text{wenn } r = \rho \\
0, & \text{sonst.}
\end{cases}</math>

Da [[Linearkombination]]en von Eigenfunktionen zu demselben Energieeigenwert <math>E_M</math> (d. h. hier: mit demselben Wert für <math>M^2</math>) ebenfalls Eigenfunktionen zu diesem Eigenwert sind, folgt (mit der Euler’schen Identität), dass man alternativ

:<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">\psi_M^{(1)}(\phi) := \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \cos{(M \phi)}</math>
:<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">\psi_M^{(2)}(\phi) := \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \sin{(M \phi)}</math>

als entartete Eigenfunktionen zum [[Eigenwert]] <math>E_M, M\in \mathbb{N}_0</math>, wählen kann. Der geänderte Faktor <math>\left( \tfrac{1}{\sqrt{\pi}} \; \mathrm{statt} \; \tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \right)</math> resultiert aus der Normierung der Wellenfunktionen.

== Entartung ==
Neben der Quantisierung führt dieses relativ einfach zu rechnende Beispiel auf das Konzept der [[Entartung (Quantenmechanik)|Entartung]]. Da Zustände, bei denen sich <math>M</math> nur im Vorzeichen unterscheidet, zwar verschiedene Zustände, aber wegen <math>(+M)^2 = (-M)^2</math> dieselben Energien darstellen, existieren hier jeweils zwei Zustände mit derselben Energie: die Zustände sind also – außer im Fall der trivialen Lösung <math>M = 0</math> – 2-fach entartet. Stellt man die Wellenfunktionen reell mit trigonometrischen Funktionen dar, sind die beiden Eigenfunktionen zum entarteten Energieeigenwert der Sinus- und der Cosinus-Term.

== Lösungsraum und Fourierreihe ==

Eine Operatorgleichung wie die Schrödinger-Gleichung bedingt bestimmte Eigenschaften für ihre Lösung (bspw. Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Periodizität). Dadurch wird der Raum möglicher Lösungen (hier Wellenfunktionen) eingeschränkt. In der obigen Darstellung ist bspw. <math>\psi \in L_2(0,L).</math>

Unter der Annahme, dass <math>\psi_t \in C^2_p(0,L)</math> mit <math>C^2_p(0,L)\subset L_2(0,L)</math> kann die Wellenfunktion mittels der Fourier-Reihe geschrieben werden

:<math>\psi_t(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n(t)e^{i\frac{2\pi}{L}nx}\forall x.</math>

Dabei sind <math>\alpha_n(t)</math> die Fourierkoeffizienten

:<math>\alpha_n(t)=\int_{-L/2}^{L/2}\psi_t(x)e^{-i\frac{2\pi}{L}nx}dx.</math>

Dann kann die Schrödinger-Gleichung zu einer Gleichung für die Fourier-Koeffizienten umgeschrieben als

:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(i\dot{\alpha}_n(t)-\frac{\hbar2\pi^2n^2}{mL^2}\alpha_n(t)\right)e^{i\frac{2\pi}{L}nx}=0</math>

Über die Eindeutigkeit der Fourier-Koeffizienten wird diese vereinfacht zu

:<math>i\dot{\alpha}_n(t)-\frac{\hbar2\pi^2n^2}{mL^2}\alpha_n(t)=0.</math>

Die Lösung hat dann die Form

:<math>\psi_t(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n(t)~e^{-i\frac{2\pi^2\hbar}{mL^2}n^2t}~e^{i\frac{2\pi}{L}nx}.</math>

== Siehe auch ==
* [[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)]]
* [[Anharmonischer Oszillator]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Lutz Zülicke
|Titel=Molekulare Theoretische Chemie
|Verlag=Springer Fachmedien
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2015
|Kapitel=Kapitel 2: ''Grundbegriffe der Quantenmechanik''
|ISBN=978-3-658-00488-0
|DOI=10.1007/978-3-658-00489-7_2}}

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Quantenchemie]]

Teilchen auf dem Ring - Versionsgeschichte

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