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2025-08-02T11:02:44Z

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{{Dieser Artikel|behandelt die Taylorformel, also die Darstellung von Funktionen durch ein endliches Taylorpolynom und ein Restglied. Für die Darstellung von Funktionen durch den Grenzwert der Taylorpolynome siehe [[Taylorreihe]].}}

Die '''Taylor-Formel''' (auch '''Satz von Taylor''') ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der [[Analysis]]. Sie ist benannt nach dem Mathematiker [[Brook Taylor]]. Man kann diese Formel verwenden, um [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] in der [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] eines Punktes durch [[Polynom]]e, die sogenannten '''Taylorpolynome''',<ref>Brook Taylor: ''Methodus Incrementorum Directa et Inversa.'' Pearson, London 1717, [https://reader.digitale-sammlungen.de/de/fs1/object/display/bsb10053899_00031.html S. 21].</ref> [[Approximation #Funktionen|anzunähern]]. Man spricht auch von der '''Taylor-Näherung'''. Die Taylor-Formel ist aufgrund ihrer relativ einfachen Anwendbarkeit und Nützlichkeit ein Hilfsmittel in vielen [[Ingenieurwissenschaften|Ingenieur-]], [[Sozialwissenschaften|Sozial-]] und [[Naturwissenschaften]] geworden. So kann ein komplizierter [[Analytische Funktion|analytischer]] Ausdruck durch ein Taylorpolynom geringen Grades (oftmals gut) angenähert werden, z. B. in der [[Physik]] oder bei der [[Netzausgleichung|Ausgleichung]] geodätischer Netze. Die oft verwendete [[Kleinwinkelnäherung]] des Sinus ist eine nach dem ersten Glied abgebrochene Taylorreihe dieser Funktion.

Eng verwandt mit der Taylor-Formel ist die sogenannte [[Taylorreihe]] (Taylor-Entwicklung).

== Motivation ==
=== Annäherung durch Tangente ===
Eine Näherung für eine differenzierbare Funktion <math>f</math> an einer Stelle <math>a</math> durch eine [[Gerade]], also durch ein Polynom 1. Grades, ist gegeben durch die [[Tangente]] mit der Gleichung
:<math>T_1 f(x; a) = f(a) + f'(a)(x-a)</math>.
Sie lässt sich dadurch charakterisieren, dass an der Stelle <math>x=a</math> die Funktionswerte und die Werte der 1. Ableitung (= Steigung) von <math>f(x)</math> und <math>T_1 f(x; a)</math> übereinstimmen: <math>f(a) = T_1 f(a; a), f'(a) = T_1' f(a; a)</math>.

Wenn man den Rest <math>R_1 f(x; a) := f(x) - T_1 f(x; a)</math> definiert, so gilt <math>f(x) = T_1 f(x; a) + R_1 f(x; a)</math>. Die Funktion <math>T_1 f(x; a)</math> approximiert <math>f</math> in der Nähe der Stelle <math>x=a</math> in dem Sinne, dass für den Rest gilt
:<math>(1) ~ \lim_{x \to a} \frac{R_1 f(x; a)}{x-a} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - T_1 f(x; a)}{x - a}= \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} - f'(a) = 0</math> (siehe bei der [[Differenzierbarkeit#Definitionen|Definition der Ableitung]]).

=== Annäherung durch Schmiegparabel ===

Man kann vermuten, dass man für zweimal differenzierbares <math>f</math> eine noch bessere Näherung erhält, wenn man dazu ein [[quadratisches Polynom]] <math>T_2 f(x; a)</math> verwendet, von dem man verlangt, dass zusätzlich noch <math>T_2'' f(a; a) = f''(a)</math> gilt. Der [[Ansatz (Mathematik)|Ansatz]] <math>T_2 f(x; a) = a_0 + a_1 (x-a) + a_2 (x-a)^2</math> führt durch Berechnung der Ableitungen auf <math>a_0 = f(a), a_1 = f'(a)</math> und <math>a_2 = \frac{1}{2} f''(a)</math>, also
:<math>T_2 f(x; a) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2} f''(a)(x-a)^2</math>.

Diese Näherungsfunktion bezeichnet man auch als Schmiegparabel.

Man definiert nun dazu den passenden Rest <math>R_2 f(x; a) := f(x) - T_2 f(x; a)</math>, sodass wieder <math>f(x) = T_2 f(x; a) + R_2 f(x; a)</math>. Dann erhält man, dass die Schmiegparabel die gegebene Funktion bei <math>x=a</math> in der Tat besser approximiert, da nun (mit der [[Regel von de L’Hospital]]):
:<math>\lim_{x \to a} \frac{R_2 f(x; a)}{(x-a)^2} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a) - f'(a)(x - a)}{(x - a)^2} - \frac{1}{2}f''(a) = \lim_{x \to a} \frac{f'(x) - f'(a)}{2(x - a)} - \frac{1}{2}f''(a) = 0</math>
gilt.

=== Annäherung durch Polynome vom Grad ''n'' ===

Dieses Vorgehen lässt sich nun leicht auf Polynome <math>n</math>-ten Grades <math>T_n(x)</math> verallgemeinern: Hier soll gelten
:<math>T_n f(a; a) = f(a),\ T_n'f(a;a) = f'(a),\ \ldots,\ T_n^{(n)}f(a; a) = f^{(n)}(a)</math>.
Es ergibt sich
:<math>T_n f(x;a) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n</math>.

Mit der Regel von de L’Hospital finden wir außerdem:
:<math>\lim_{x \to a} \frac{f(x) - T_n f(x; a)}{(x - a)^n} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x) - T_n' f(x; a)}{n (x - a)^{n-1}}</math>.
Daher ergibt sich mit [[Vollständige Induktion|vollständiger Induktion]] über <math>n</math>, dass für <math>R_n f(x; a) = f(x) - T_n f(x; a)</math> gilt:
:<math>\lim_{x \to a} \frac{R_n f(x; a)}{(x-a)^n} = 0</math>.

== Qualitative Taylorformel ==
Ist <math>f</math> <math>n</math>-mal differenzierbar, so folgt sofort aus der obigen Betrachtung, dass
:<math>f(x) = T_n f(x; a) + R_n f(x; a) = T_n f(x; a) + o(|x - a|^n), \quad x\rightarrow a,</math>
wobei <math>o</math> für die [[Landau-Symbole|Landau-Notation]] steht. Diese Formel nennt man „qualitative Taylorformel“.

Ist <math>f</math> sogar <math>(n+1)</math>-mal stetig differenzierbar, so lässt sich <math>R_n f(x; a)</math> mithilfe des Lagrange-Restglieds (siehe [[Taylor-Formel#Spezialfälle des Schlömilch-Restglieds|unten]]) gegen <math>|x-a|^{n+1}</math> abschätzen, und man erhält die Darstellung

:<math>f(x) = T_n f(x; a) + R_n f(x; a) = T_n f(x; a) + \mathcal{O}(|x - a|^{n+1}), \quad x\rightarrow a,</math>

wobei <math>\mathcal{O}</math> wiederum für die entsprechende Landau-Notation steht. Diese Formel wird ebenfalls „qualitative Taylorformel“ genannt.

Aus beiden Darstellungen folgt: Je näher <math>x</math> bei <math>a</math> liegt, desto besser approximiert also <math>T_n f(x; a)</math> (das sog. Taylorpolynom, siehe [[#Taylorpolynom|unten]]) an der Stelle <math>x</math> die Funktion <math>f</math>.

== Definitionen und Satz ==

Im Folgenden wird die Taylor-Formel mit Integralrestglied vorgestellt. Die Taylor-Formel existiert auch in Varianten mit anderem Restglied; diese Formeln folgen jedoch aus der Taylor-Formel mit Integralrestglied. Sie stehen unten im Abschnitt [[Taylor-Formel#Restgliedformeln|Restgliedformeln]].

Sei <math>I \subset \R</math> ein [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] und <math>f\colon I\to\R</math> eine <math>(n + 1)</math>-mal [[Differenzierbarkeit#Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen|stetig differenzierbare]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]. In den folgenden Formeln stehen <math> f', f'', \dots, f^{(k)} </math> für die erste, zweite, …, <math>k</math>-te Ableitung der Funktion <math>f</math>.

=== Taylorpolynom ===

Das <math>n</math>-te ''Taylorpolynom'' an der Entwicklungsstelle <math>a \in I</math> ist definiert durch:
:<math>\begin{align} T_n f(x; a) = & \sum_{k=0}^n {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k \\
= & f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \end{align}</math>
Damit gehört es zu den [[Potenzreihe]]n.

=== Integralrestglied ===

Das <math>n</math>-te ''Integralrestglied'' ist definiert durch:
: <math>R_{n} f(x; a) = \int\limits_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \,\mathrm{d}t</math>

=== Satz (Taylorformel mit Integralrestglied) ===
Für alle <math>a</math> und <math>x</math> aus <math>I</math> gilt:
:<math>\begin{align} f(x) = & T_n f(x; a) + R_n f(x; a)\\
= & \sum_{k=0}^n {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k +\int\limits_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t
\end{align}
</math>

== Beweis ==

Der Beweis der Taylor-Formel mit Integralrestglied erfolgt durch [[vollständige Induktion]] über <math>n</math>.

Der Induktionsanfang <math>n=0</math> entspricht dabei genau dem [[Fundamentalsatz der Analysis]], angewendet auf die einmal stetig differenzierbare Funktion <math>f</math>:
:<math> f(x) = f(a) + \int\limits_a^x f'(t) \, \mathrm{d}t = T_0 f(x;a) + R_0 f(x; a)</math>

Der Induktionsschritt <math>n \rightarrow n+1</math> (es ist zu zeigen, dass die Formel stets auch für <math>n+1</math> gilt, falls sie für ein <math>n</math> gilt) erfolgt durch [[partielle Integration]]. Für <math>(n+2)</math>-mal stetig differenzierbares <math>f</math> ergibt sich:

:<math>\begin{align}
&\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} + R_{n+1} f(x; a)\\
=&\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} + \int\limits_a^x\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\, \mathrm{d} t \\
=& \frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} +
\left[\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(t)\right]_{t=a}^{t=x} - \int\limits_a^x \frac{-(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\, \mathrm{d} t\\
= & \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a)-\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a) + R_nf(x;a)\\
= & R_n f(x; a)\end{align}</math>
und somit
:<math>T_{n+1} f(x; a) + R_{n+1} f(x; a) = T_n f(x; a) + R_n f(x; a) = f(x)</math>.

== Restgliedformeln ==
Es gibt außer der Integralformel noch andere Darstellungen des Restgliedes.

=== Schlömilch-Restglied und dessen Herleitung ===
Nach dem [[Mittelwertsatz der Integralrechnung]] ergibt sich für jede natürliche Zahl <math>p</math> mit <math>1\le p\le n+1</math>, dass es ein <math>\xi</math> zwischen <math>a</math> und <math>x</math> gibt, sodass:
:<math>\int\limits_{a}^{x}{f^{(n+1)}(t) \frac{(x-t)^{n+1-p}}{n!} \cdot (x - t)^{p-1} \, \mathrm{d}t} = \frac{f^{(n+1)}(\xi)(x - \xi)^{n+1-p}}{n!} \cdot \underbrace{\int\limits_{a}^{x}{(x - t)^{p-1}\, \mathrm{d}t}}_{=\frac{(x - a)^p}{p}}</math>

Damit folgt die '''[[Oskar Schlömilch|Schlömilchsche]] Restgliedform''':
:<math>R_n f(x; a) = \int\limits_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{p\cdot n!}(x-\xi)^{n+1-p}(x-a)^p</math>
für ein <math>\xi</math> zwischen <math>a</math> und <math>x</math>.

=== Spezialfälle des Schlömilch-Restglieds ===

Ein Spezialfall, nämlich der mit <math>p=1</math>, ist die Form nach [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]:
:<math>R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n}(x-a)</math>
für ein <math>\xi</math> zwischen <math>a</math> und <math>x</math>.

Im Spezialfall <math>p = n+1</math> erhalten wir das ''[[Joseph-Louis Lagrange|Lagrangesche]] Restglied'':
:<math>R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
für ein <math>\xi</math> zwischen <math>a</math> und <math>x</math>. Bei dieser Darstellung braucht die <math>(n+1)</math>-te Ableitung von <math>f</math> nicht stetig zu sein.

==== Peano-Restglied ====
Mit der Taylorformel mit Lagrange-Restglied erhält man für <math>n</math>-mal stetig differenzierbares <math>f</math> außerdem:
:<math>f(x) = T_{n-1} f(x; a) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n = T_n f(x; a) + \frac{f^{(n)}(\xi) - f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n</math>

Darum kann man als Restglied auch
:<math>R_n f(x;a) = \frac{f^{(n)}(\xi) - f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n</math>
verwenden, wobei <math>f</math> hier nur <math>n</math>-mal stetig differenzierbar sein muss. Dieses Restglied nennt man '''Peano-Restglied'''.

=== Weitere Darstellung ===

Setzt man <math>\Theta = \tfrac{\xi - a}{x-a}</math>, das heißt <math>\xi = a + \Theta (x - a)</math>, so erhält die Lagrangesche Darstellung die Form
:<math>R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(a + \Theta (x - a))}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>,
die Schlömilchsche
:<math>R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(a + \Theta (x - a))}{p\cdot n!}(1-\Theta)^{n+1-p}(x-a)^{n+1}</math>,
und die Cauchysche
:<math>R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(a + \Theta (x - a))}{n!}(1-\Theta)^{n}(x-a)^{n+1}</math>
jeweils für ein <math>\Theta</math> zwischen 0 und 1.

== Restgliedabschätzung ==
Liegt das Intervall <math>(a-r,a+r)</math> in <math>I</math> (der Definitionsbereich von <math>f</math>), kann man mit dem Restglied von Lagrange (siehe im Abschnitt [[Taylor-Formel#Restgliedformeln|Restgliedformeln]]) für alle <math>x \in (a - r, a + r)</math> und wegen <math>\xi</math> zwischen <math>a</math> und <math>x</math> (und somit auch <math>\xi \in (a - r, a + r)</math>) folgende Abschätzung herleiten:
: <math>|R_{n} f(x; a)| = \left| \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \right| \le \sup_{\xi \in (a - r, a + r)} \left| \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \right|</math>

Gilt <math>|f^{(n+1)}(x)| \le M_n</math> für alle <math>x \in (a-r,a+r)</math>, so gilt daher für das Restglied die Abschätzung
:<math>\forall x \in (a-r,a+r) : |R_n f(x; a)| \le M_n \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!} \le M_n \frac{r^{n+1}}{(n+1)!}</math>.

Restgliedabschätzungen sind nicht auf den „reellen Fall“ beschränkt. Ist <math>D \subseteq \mathbb{K}</math> (mit <math>\mathbb{K} \in \{\R, \Complex\}</math>) [[Konvexe Menge|konvex]] (für <math>\mathbb{K} = \R</math> zum Beispiel ein Intervall und für <math>\mathbb{K} = \C</math> ein konvexes Gebiet) mit <math>a \in D</math>, so existiert für jede <math>n</math>-mal stetig differenzierbare Abbildung <math>f \colon D \to \C</math> ein stetiges Restglied <math>R_n(f,a) \colon D \to \C</math>, sodass<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis 1''. Dritte Auflage. Birkhäuser, S. 354.</ref>
:<math>f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x)}{k!} (x - a)^k + R_n(f,a)(x), \qquad x \in D.</math>
Das Restglied genügt für <math>x \in D</math> der Abschätzung
:<math>|R_n(f,a)(x)| \leq \frac{|x-a|^n}{(n-1)!} \sup_{0 < t < 1} |f^{(n)}(a + t(x-a)) - f^{(n)}(a)|.</math>

== Näherungsformeln für Sinus und Kosinus ==

Eine Anwendung der Taylorformel sind Näherungsformeln, hier vorgestellt am Beispiel [[Sinus]] und [[Kosinus]] (wobei das Argument im [[Bogenmaß]] angegeben wird).

Für <math>f(x) = \sin(x)</math> gilt <math>f'(x) = \cos (x),\, f''(x) = -\sin(x),\, f'''(x) = -\cos(x), f''''(x) = \sin (x)</math>, also lautet das 4. Taylorpolynom der Sinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0
:<math>T_4 \sin(x; 0) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2 + \frac{1}{6}f'''(0)x^3 + \frac{1}{24}f''''(0)x^4 = x - \frac{x^3}{6}.</math>

Aus <math>f^{(5)}(x) = \cos(x)</math> ergibt sich für das Restglied von Lagrange <math>R_4 \sin(x; 0) = \frac{f^{(5)}(\xi)}{5!} x^5 = \frac{\cos(\xi)}{120}x^5</math> mit <math>\xi</math> zwischen 0 und <math>x</math>. Wegen <math>|{\cos(\xi)}| \leq 1</math> folgt die Restgliedabschätzung <math>|T_4\sin(x; 0)-\sin(x)| \leq \frac{|x|^5}{120}</math>.

Liegt <math>x</math> zwischen <math>-\frac{\pi}{4}</math> und <math>\frac{\pi}{4}</math>, dann liegt die relative Abweichung <math>\left|\frac{T_4 \sin(x; 0)-\sin(x)}{\sin(x)}\right|</math> von <math>T_3 \sin(x; 0)</math> zu <math>\sin(x)</math> bei unter 0,5 %.

Tatsächlich genügt für die Annäherung des Sinus auf diese Genauigkeit sogar schon das Taylorpolynom 3. Ordnung, da <math>f''''(0) = 0</math> für <math>f(x) = \sin(x)</math>, und daher <math>T_3 \sin(x; 0) = T_4 \sin(x; 0)</math>. Daraus ergibt sich auch folgende weitere Abschätzung für drittes und viertes Taylorpolynom, die bei sehr großen x genauer ist:

:<math>|T_4\sin(x; 0)-\sin(x)| \leq \frac{x^4}{24}</math>

Die folgende Abbildung zeigt die Graphen einiger Taylorpolynome des Sinus um Entwicklungsstelle 0 für <math>n =1, 3, 5, 15</math>. Der Graph zu <math>n = \infty</math> gehört zur [[Taylorreihe]], die mit der Sinusfunktion übereinstimmt.

: [[Bild:Taylorpolynom-sin.svg|Approximation des Sinus durch Taylorpolynome]] [[Datei:Taylor-polynomial-sinus-n-0-40.gif|mini|Approximation des Sinus durch Taylorpolynome <math>T_1 \sin(x; 0)</math> bis <math>T_{40} \sin(x; 0)</math>]]

Das vierte Taylorpolynom <math>T_4 \cos(x; 0)</math> der Kosinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 hat im [[Horner-Schema]] diese Gestalt:
: <math> \cos(x) \approx T_4 \cos(x; 0) = \left( \frac{x^2}{12} - 1 \right) \cdot \frac{x^2}{2} + 1 </math>

Liegt ''x'' zwischen <math>-\frac{\pi}{4}</math> und <math>\frac{\pi}{4}</math>, dann liegt die relative Abweichung <math>\left|\frac{T_4\cos(x; 0)-\cos(x)}{\cos(x)}\right|</math> bei unter 0,05 %.

Auch für [[Kotangens]] und [[Tangens]] kann man diese Formeln nutzen, denn es ist
: <math> \tan(x)\sim t(x)=\frac{T_3 \sin(x; 0)}{T_4 \cos(x; 0)}</math>

mit einer relativen Abweichung von unter 0,5 % für <math>\left|x\right| < \frac{\pi}{4}</math>, und <math>\cot(x) \sim 1/t(x)</math> mit derselben relativen Abweichung (dabei ist <math>t</math> kein Taylorpolynom des Tangens).

Braucht man eine noch höhere Genauigkeit für seine Näherungsformeln, dann kann man auf höhere Taylorpolynome zurückgreifen, die die Funktionen noch besser approximieren.

== Taylor-Formel im Mehrdimensionalen ==
{{Siehe auch|Taylorreihe#Mehrdimensionale Taylorreihe|titel1=„Mehrdimensionale Taylorreihe“ im Artikel Taylorreihe}}

Sei nun im Folgenden <math>f \colon \R^d \to \R</math> eine <math>n+1</math>-mal stetig differenzierbare Funktion und <math>x = (x_1, \ldots, x_d), a = (a_1, \ldots, a_d) \in \R^d</math>. Sei ferner <math>F \colon \R \to \R</math>, <math>F(t) = f(a + th)</math>, wobei <math>h = x - a</math>.

Sei ferner wie in der Multiindex-Notation <math>D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_d^{\alpha_d}}</math>. Im folgenden Abschnitt wird die [[Multiindex]]-Notation verwendet, damit man sofort sieht, dass der mehrdimensionale Fall für <math>d=1</math> tatsächlich dieselben Formeln ergibt wie der eindimensionale Fall.

=== Mehrdimensionales Taylorpolynom ===

Mit der [[Mehrdimensionale Kettenregel|mehrdimensionalen Kettenregel]] und Induktion erhält man, dass

:<math>F^{(n)}(t) = \sum_{|\alpha| = n} \left(\begin{matrix}n \\ \alpha\end{matrix}\right) (x - a)^\alpha D^\alpha f(a + th)</math>,
wobei <math>\left(\begin{matrix}n \\ \alpha\end{matrix}\right)</math> der [[Multinomialkoeffizient]] ist, siehe auch [[Multinomialtheorem]].

Stellt man <math>F</math> im Punkt 1 durch ein Taylorpolynom mit Entwicklungsstelle 0 dar, so erhält man durch diese Formel die Definition des mehrdimensionalen Taylorpolynoms von <math>f</math> an der Entwicklungsstelle <math>a</math>:

:<math>T_n f(x; a) := T_n F(1; 0) = \sum_{|\alpha| = 0}^{n}\frac{(x-a)^{\alpha}}{\alpha !} D^{\alpha}f(a)</math>

Hierbei wurde verwendet, dass <math>\left(\begin{matrix}n \\ \alpha\end{matrix}\right) \cdot \frac{1}{n!} = \frac{1}{\alpha!}</math>.

==== Schmiegquadrik ====

Das zweite Taylorpolynom einer skalarwertigen Funktion in mehr als einer Variable kann bis zur zweiten Ordnung kompakter geschrieben werden als:

:<math>T_2 f(x; a) = f(a) + \nabla f(a)^\mathrm{T} (x - a) + \frac{1}{2} (x - a)^\mathrm{T} \operatorname{H}_f(a) (x - a)</math>

Dabei ist <math>\nabla f(a)</math> der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] und <math>\operatorname{H}_f(a)</math> die [[Hesse-Matrix]] von <math>f</math> jeweils an der Stelle <math>a</math>.

Das zweite Taylorpolynom nennt man auch ''Schmiegquadrik''.

=== Mehrdimensionales Integralrestglied ===
Ebenso definiert man das mehrdimensionale Restglied mithilfe der [[Multiindex]]-Notation:

:<math>\begin{align}R_n f(x; a) := & R_n F(1; 0) = \int\limits_0^1 \frac{(1-t)^n}{n!} F^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t\\
= & (n+1) \int\limits_0^1 \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{(1 - t)^n (x - a)^\alpha}{\alpha !} D^{\alpha}f(a + th) \, \mathrm{d}t\end{align}
</math>

=== Mehrdimensionale Taylor-Formel ===
Aus der eindimensionalen Taylor-Formel folgt, dass
:<math>F(1) = T_n F(1; 0) + R_n F(1; 0)</math>

Nach der obigen Definition von <math>F(t)</math> erhält man daher:
:<math>f(x) = T_n f(x; a) + R_n f(x; a)</math>

=== Mehrdimensionale Restgliedformeln ===
Man kann auch die eindimensionalen Nicht-Integral-Restgliedformeln mithilfe der Formel für <math>F^{(n)}(t)</math> für den mehrdimensionalen Fall verallgemeinern.

Das Schlömilch-Restglied wird so zu
:<math>R_n f(x; a) = \frac{(n+1)(1 - \theta)^{n + 1 - p}}{p} \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{(x - a)^\alpha D^\alpha f(a + \theta h)}{\alpha!}</math>,

das Lagrange-Restglied zu
:<math>R_n f(x; a) = \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{(x - a)^\alpha D^\alpha f(a + \theta h)}{\alpha!}</math>,

und das Cauchy-Restglied zu
:<math>R_n f(x; a) = (n+1)(1 - \theta)^n \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{(x - a)^\alpha D^\alpha f(a + \theta h)}{\alpha!}</math>

für jeweils ein <math>\theta \in [0, 1]</math>.

=== Qualitative Taylorformel ===
Nach der mehrdimensionalen Taylorformel ergibt sich mit dem Lagrange-Restglied:

:<math>\begin{align}
\left| R_{n}f(x;a) \right|
=& \left| f(x) - T_{n} f(x; a) \right| \\
=& \left| \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{(x - a)^\alpha D^\alpha f(a + \theta h)}{\alpha!} \right| \\
\le& \left\|x-a\right\|^{n+1} \sum_{|\alpha| = n + 1} \left| \frac{D^\alpha f(a + \theta h)}{\alpha!} \right| \\
\le& C_{n} \left\|x-a\right\|^{n+1} \sup_{y\in U(a), \left|\alpha\right| = n + 1} \left|D^\alpha f(y)\right|,
\end{align}</math>

wobei im vorletzten Schritt die Dreiecksungleichung und <math>|x_i - a_i| \le \|x - a\|</math> angewendet wurde. Im letzten Schritt wurden die Ableitungen <math>D^{\alpha} f</math> durch ihr Supremum in einer (offenen) Umgebung <math>U(a) \subset \R^d</math> von <math>a</math> (z. B. <math>U(a) = B_{r}(a) </math> als <math>d </math>-dimensionale Kugel um <math>a </math> mit Radius <math>r</math>) abgeschätzt und die nur von <math>n </math> (und der Dimension <math>d </math>) abhängige Konstante <math display="inline">C_{n} := \sum_{\left|\alpha\right| = n+1} 1/ \alpha! </math> definiert. Vor allem für beschränkte Umgebungen <math>U(a) </math> gilt

:<math>\sup_{\left|\alpha\right|=n+1} \left\|D^{\alpha}f\right\|_{L^{\infty}(U(a))}
:= \sup_{y\in U(a), \left|\alpha\right| = n + 1} \left|D^\alpha f(y)\right| < \infty,</math>

da <math>\overline{U(a)}</math> kompakt und die Ableitungen <math>D^{\alpha} f</math> für <math>\left|\alpha\right| = n + 1 </math> nach Voraussetzung in <math>\overline{U(a)}</math> stetig sind.

Auf analoge Weise erhält man für den Fehler des <math>(n+1)</math>-ten Taylorpolynoms
:<math>\begin{align}
\left| R_{n+1}f(x;a) \right|
=& \left|f(x) - T_{n+1} f(x; a) \right| \\
=& \left| \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{(x - a)^\alpha D^\alpha f(a + \theta h)}{\alpha!} - \sum_{|\alpha| = n+1} \frac{(x-a)^{\alpha} D^{\alpha}f(a)}{\alpha!} \right| \\
\le & \|x - a\|^{n+1} \cdot \underbrace{\left| \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{D^\alpha f(a + \theta h) - D^{\alpha}f(a)}{\alpha!} \right|}_{\to 0\text{, } x \to a}
\end{align}</math>
Der letzte Teil geht gegen null, da die partiellen Ableitungen vom Grad <math>n+1</math> nach Voraussetzung alle stetig sind und <math>a + \theta h</math> sich zwischen <math>x</math> und <math>a</math> befindet und somit auch nach <math>a</math> konvergiert, falls <math>x \to a</math>.

Aus den beiden Abschätzungen folgt die sogenannte „(mehrdimensionale) qualitative Taylorformel“:

:<math>f(x) = T_{n} f(x; a) + \mathcal{O}(\|x - a\|^{n+1}) = T_{n+1} f(x; a) + \mathcal{o}(\|x - a\|^{n+1})</math>

für <math>x \to a</math>, wobei die [[Landau-Notation]] <math>\mathcal{O}</math> bzw. <math>\mathcal{o}</math> verwendet wurde, um den Fehler <math>R_{n}f(x;a)</math> bzw. <math>R_{n+1}f(x;a)</math> gemäß den obigen Abschätzungen darzustellen.<ref>Königsberger: ''Analysis.'' Band 2. 2000, S. 66.</ref>

=== Beispiel ===

Es soll die Funktion
:<math>f : \{(x_1,x_2)\in\R^2,\ x_2<1\} \to \R,~(x_1,x_2) \mapsto \exp(x_1 - x_2) \cdot \log(1-x_2)</math>
um den Punkt <math>a = ( a_1, a_2) = ( 1, 0 ) \in \R^2</math> entwickelt werden.

[[Bild:Example Taylor-expansion.svg|mini|400px|Funktion (rot) und Taylorentwicklung (grün)]]

In diesem Beispiel soll die Funktion bis zum zweiten Grad entwickelt werden, d. h., man will ein Taylorpolynom zweiter Ordnung berechnen, also die sog. [[#Schmiegquadrik|Schmiegquadrik]]. Es gilt also <math>n=2</math>. Wegen <math>|\alpha| \le n</math> müssen, gemäß der [[Multiindex]]schreibweise, die Tupel <math>(0,0)</math>, <math>(1,0)</math>, <math>(0,1)</math>, <math>(2,0)</math>, <math>(1,1)</math> und <math>(0,2)</math> berücksichtigt werden. Dabei gilt wegen des [[Satz von Schwarz|Satzes von Schwarz]], dass
:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} (a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} (a)</math>.

Die [[partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] der Funktion lauten:
:<math>\frac{\partial f}{\partial x_1} (a) = \left[ \exp(x_1-x_2) \cdot \log(1-x_2) \right]_{x=(1,0)} = 0</math> 
:<math> \frac{\partial f}{\partial x_2} (a) = \left[ -\exp(x_1-x_2) \cdot \left( \log(1-x_2) + \frac{1}{1-x_2} \right) \right]_{x=(1,0)} = -e</math> 
:<math> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} (a) = \left[ \exp(x_1-x_2) \cdot \log(1-x_2) \right]_{x=(1,0)} = 0</math> 
:<math> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} (a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} (a) = \left[ -\exp(x_1-x_2) \cdot \left( \log(1-x_2) + \frac{1}{1-x_2} \right) \right]_{x=(1,0)} = -e</math> 
:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} (a) = \left[ \exp(x_1-x_2) \left( \log(1-x_2) + \frac{2}{1-x_2} - \frac{1}{(1-x_2)^2} \right) \right]_{x=(1,0)} = e</math> 

Es folgt mit der mehrdimensionalen Taylor-Formel:
:<math>
\begin{align}
f(x) \approx & f(a) + \frac{1}{1!} \frac{\partial f}{\partial x_1}(a)~ (x_1-a_1) + \frac{1}{1!} \frac{\partial f}{\partial x_2} (a) ~(x_2-a_2) \\
& + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} (a)~ (x_1-a_1)^2 + \frac{1}{1! 1!} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} (a)~ (x_1-a_1) (x_2-a_2) \\
& + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} (a)~(x_2-a_2)^2 \\
& = 0 + 0 - e(x_2-0) + 0 -e(x_1-1)(x_2-0) + \frac{1}{2} e (x_2-0)^2 \\
& = -e x_1 x_2 + \frac{1}{2} e x_2^2
\end{align}
</math>

Benutzt man die alternative Darstellung mit Hilfe des Gradienten und der Hesse-Matrix, so erhält man:
:<math>
\begin{align}
f(x) & \approx f(a) + \nabla f(a)^T (x-a) + \frac{1}{2} (x-a)^T H_f (a) (x-a) \\
& = f(a) + \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f}{\partial x_2} (a)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1-a_1 \\ x_2-a_2 \end{pmatrix}
\\ & \qquad
+ \frac{1}{2} \begin{pmatrix}x_1 - a_1 & x_2-a_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(a) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(a)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1-a_1 \\ x_2-a_2 \end{pmatrix} \\
& = 0 + \begin{pmatrix}0 & -e\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 - 1 \\ x_2
\end{pmatrix}
+ \frac{1}{2} \begin{pmatrix}x_1-1 & x_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -e \\
-e & e
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 - 1 \\ x_2
\end{pmatrix} \\
& = -e x_1 x_2 + \frac{1}{2}e x_2^2
\end{align}</math>

== Taylor-Formel für Operatoren auf Banachräumen ==
Mit überraschend wenig Aufwand lässt sich die Taylor-Formel noch weiter verallgemeinern: Seien <math> X,Y, </math> [[Banachraum|Banachräume]], <math>U \subseteq X</math> [[Offene Menge|offen]] und nichtleer. Weiter sei <math>f : U \rightarrow Y</math> ein <math>(k+1)</math>-fach [[Fréchet-Ableitung|Fréchet-differenzierbarer]] Operator, sowie <math>a\in U, h\in X</math> mit <math>a+th\in U</math> für alle <math> t\in [0,1]</math>. Dann gilt:
:<math>
f(a+h) = f(a) + \sum\limits_{j=1}^k \frac{1}{j!} D^jf(a)(h,...,h) + R_{k+1}(a,h)
</math>
Hierbei ist <math>D^j f(a)</math> die <math>j</math>-te Fréchet-Ableitung von <math>f</math>, d. h. eine stetige <math>j</math>-Linearform auf <math>X</math> mit Werten in <math>Y</math>. Das Restglied <math>R_{k+1}</math> erfüllt die folgende Eigenschaft: Für jedes Element des [[Dualraum]]es <math> T\in X^*</math> gilt:
:<math>
TR_{k+1}(a,h) = \int\limits_0^1 \frac{(1-t)^k}{k!}TD^{k+1} f(a+th)(h,...,h)dt
</math>
'''Beweis:'''
Sei <math>T\in Y^*</math> ein beliebiges Funktional, dann ist <math>\gamma : [0,1]\rightarrow \mathbb{R}, t\mapsto Tf(a+th) </math> eine <math>(k+1)</math>-fach stetig differenzierbare, reellwertige Funktion, d. h. lässt sich mit der eindimensionalen Taylor-Formel schreiben als
:<math>
\gamma(1) = \gamma(0) + \sum\limits_{j=1}^k \frac{\gamma^j(0)}{j!}(1-0) + \int\limits_0^1 \frac{(1-t)^k}{k!}D^{k+1}\gamma(t)dt.
</math>
Mit Hilfe der [[Kettenregel]] für die [[Fréchet-Ableitung]] folgt hieraus die gewünschte Formel für <math>Tf</math>. Da dies für jedes Element des Dualraumes gilt, folgt aus der Trennungsaussage des [[Satz von Hahn-Banach|Satzes von Hahn-Banach]] die entsprechende Formel für <math>f</math>.

== Literatur ==
* [[Otto Forster]]: ''Analysis.'' Band 1: ''Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' 8., verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0088-0 (''Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik'').
* Otto Forster: ''Analysis.'' Band 2: ''Differentialrechnung im'' '''R'''''n''. ''Gewöhnliche Differentialgleichungen.'' 7., verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (''Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik'').
* [[Bernhard Heck]]: ''Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung. Klassische und moderne Methoden.'' Wichmann, Karlsruhe 1987, ISBN 3-87907-173-X, Kapitel 4, 7 und 13 (Mathematische Modelle und Grundlagen).
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis.'' Band 2. 3., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4184549-3}}

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Brook Taylor]]

Taylor-Formel - Versionsgeschichte

imported>Wfstb: Link übertrieben