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2022-06-30T19:08:34Z

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Der '''Tangential-''' beziehungsweise '''Normalkegel''' einer [[Teilmenge]] eines [[Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] ist in der [[Geometrie]] eine Verallgemeinerung des Begriffes des [[Tangentialraum]]es respektive des [[Normalenvektor]]s einer Menge und ermöglicht dadurch die Anwendung [[Lineare Algebra|algebraischer]] Methoden auch auf nicht-[[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbare]] geometrische Objekte. Sowohl der Tangential- als auch der Normalkegel sind [[Kegel (Lineare Algebra)|Kegel]] im Sinne der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]], wodurch die Bezeichnung gerechtfertigt wird. Der Normalkegel wird auch als '''Polarkegel''' bezeichnet. Die erste einheitliche Fassung des Begriffs des Tangentialkegels stammt von dem [[USA|US-amerikanischen]] [[Topologie (Mathematik)|Topologen]] [[Hassler Whitney]] aus dem Jahre 1965, allerdings beschrieb diese eher den [[Rand (Topologie)|Rand]] des Kegels im heutigen Sinne.<ref>Hassler Whitney: ''Local properties of analytic varieties''; in: Differential and Combinatorial Topology (A Symposium in Honor of Marston Morse), 205–244, Princeton University Press, Princeton, NJ, USA, 1965</ref> Die modernen Definitionen entwickelten sich im Umfeld der Theorie der [[Mengen positiver Reichweite]] und ergänzten deren Programm, um Erkenntnisse aus der [[Differentialgeometrie]] auf eine größere Klasse von Mengen – als nur [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en – übertragen zu können.<ref>Christoph Thäle: ''50 Years sets of positive reach - A survey''; in: Surveys in Mathematics and its Applications Vol. 3, 123–165, 2008; zitiert nach: http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/SMA/v03/v03.html Aufgerufen am 1. Juli 2012</ref>

== Definition ==

Sei <math>A \subseteq \R^n</math> eine Teilmenge eines euklidischen Raumes und <math>a \in \R^n</math> ein Punkt, der nicht notwendig selbst in <math>A</math> liegen muss, schließlich bezeichne <math>\| \cdot \|</math> die [[Euklidische Norm]].

Dann heißt die Menge

:<math>\operatorname{Tan}(A;a) := \left \{ u \in \R^n | \exists (a_i)_{i \in \N } \subseteq A \setminus \{ a \} \colon a_i \to a \land \frac{a_i - a}{\| a_i -a \|} \to \frac{u}{\| u \|} \right \} \cup \{ \underline{0} \}</math>

der ''Tangentialkegel'' von <math>A</math> an <math>a</math> und sein [[Dualer Kegel#Polarer Kegel|polarer Kegel]]

:<math>\operatorname{Nor}(A;a) := \operatorname{pol}( \operatorname{Tan}(A;a)) = \{ v \in \R^n | \forall u\in \operatorname{Tan}(A;a) \colon v^T u \le 0 \}</math>

wird ''Normalkegel'' oder ''Polarkegel'' von <math>A</math> an <math>a</math> genannt.

Falls <math>a</math> im Rand <math>\partial A</math> liegt, so besteht der Tangentialkegel anschaulich aus allen von <math>a</math> ausgehenden [[Strahl (Geometrie)|Strahlen]] die <math>A</math> noch in einem weiteren Punkt treffen. Der Normalkegel ist dann die Menge aller Vektoren, die mit ''allen'' diesen Strahlen einen Winkel von ''mindestens'' 90 ° einschließen.

== Normaleneinheitsbündel ==

Auf diesen Begriffen aufbauend, lässt sich – in Analogie zum [[Einheitstangentialbündel]] der [[Differentialgeometrie]] – das ''Normaleneinheitsbündel'' definieren:

:<math>\operatorname{nor} A := \{(a;\vec o) \in \R^{2n} | a \in A\ \land\ \vec o \in \operatorname{Nor}(A;a)\ \land\ \| \vec o \| = 1 \} = \bigsqcup_{a \in A} \left ( \operatorname{Nor}(A;a) \cap S^{n-1} \right )</math>

Es ist also die [[disjunkte Vereinigung]] der äußeren Normalenvektoren der Länge 1 zu jedem Punkt von <math>A</math>. Diese Definition ist sinnvoll, denn ein Kegel wird jeweils vollständig durch seine Einheitsvektoren beschrieben.

Dabei ist zu beachten, dass das Normaleneinheitsbündel – im Gegensatz zum Tangentialbündel – im Allgemeinen ''kein'' [[Vektorraumbündel]] im Sinne der [[Vektoranalysis]] darstellt, da die Normalkegel in der Regel keine [[Untervektorraum|Untervektorräume]] sind.

== Eigenschaften ==

* Sowohl Tangential- als auch Normalkegel sind [[abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] Kegel.
* Des Weiteren ist der Normalkegel stets [[Kegel (Lineare Algebra)#Konvexer Kegel|konvex]].
* Zwischen den Kegeln gilt die Beziehung <math>\operatorname{pol}\ \operatorname{Nor}(A;a) \supseteq \operatorname{Tan}(A;a)</math>.
* Hat <math>A</math> positive Reichweite, so gilt sogar <math>\operatorname{pol}\ \operatorname{Nor}(A;a) = \operatorname{Tan}(A;a)</math>.
** Insbesondere muss dann <math>\operatorname{Tan}(A;a)</math> ebenfalls konvex sein.
** Außerdem lässt sich zeigen, dass <math>\operatorname{nor} A</math> in diesem Fall im <math>\R^{2n}</math> abgeschlossen ist.
* Falls <math>a \in A^\circ</math> ein [[innerer Punkt]] ist, entarten die beiden Kegel zu <math>\operatorname{Tan}(A;a) = \R^n</math> und <math>\operatorname{Nor}(A;a) = \{ \underline{0} \}</math>
* Ist andersherum <math>a \in \R^n \setminus \overline{A}</math> von <math>A</math> getrennt, dann gilt umgekehrt: <math>\operatorname{Tan}(A;a) = \{ \underline{0} \}</math> und <math>\operatorname{Nor}(A;a) = \R^n</math>
* Im Bereich der [[Optimierung (Mathematik)|Optimierung]] verwendet man Tangentialkegel zur Herleitung von Optimalitätskriterien. Meist wird aber der [[Linearisierter Tangentialkegel|linearisierte Tangentialkegel]] verwendet, da dieser leichter zu handhaben ist.

'''Hinweis:''' Einige Autoren beschränken sich deshalb in der Definition von vornherein auf Punkte im [[Abgeschlossene Hülle|Abschluss]] <math>a \in \overline{A}</math>.<ref>R. Tyrrell Rockafellar: ''Clarke's tangent cones and the boundaries of closed sets in <math>\R^n</math>''; in: Nonlinear Analysis, Theory, Methods, and Applications Vol. 3, 145–154, 1979; zitiert nach: [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01552475/document https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01552475/document], aufgerufen am 23. Juni 2022</ref>

* Bildet der Rand des Tangentialkegels einen Untervektorraum im <math>\R^n</math> – in diesem Fall liegt <math>a</math> notwendig im Rand <math>\partial A</math> – so ist <math>A</math> im Punkt <math>a</math> ''differenzierbar'' und <math>\partial \operatorname{Tan}(A;a)</math> stimmt mit dem klassischen [[Tangentialraum]] <math>T_a A</math> überein.
** Ist <math>\partial \operatorname{Tan}(A;a)</math> sogar eine [[Hyperebene]], das heißt von [[Kodimension]] 1, so wird <math>\operatorname{Nor}(A;a)</math> vom entsprechenden Normalenvektor erzeugt.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Tangentialkegel und Normalkegel - Versionsgeschichte

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