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2025-07-20T22:40:12Z

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[[Datei:Raakvlak 2 Parameters.jpg|300px|mini|Tangentialebene an eine Fläche]]
Die '''Tangentialebene''' in einem Punkt <math>P</math> an eine [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] <math>F</math> im dreidimensionalen Raum ist diejenige [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], die die Fläche in der Umgebung des Punktes <math>P</math> am besten annähert (berührt). Sie ist damit die zweidimensionale Entsprechung zur [[Tangente]] einer [[Kurve (Mathematik)|Kurve]]. Wie im Fall der Kurve existiert eine Tangentialebene nur, wenn die Fläche hinreichend „glatt“ ist. Dies gilt zum Beispiel für die [[Funktionsgraph|Graphen]] von differenzierbaren Funktionen von zwei Variablen. Eine Fläche, die einen Knick oder eine Spitze hat – zum Beispiel ein Kegel – besitzt in diesen Punkten keine Tangentialebene.

Eine Ebene ist durch einen Punkt (in diesem Fall der Berührpunkt <math>P</math>) und zwei linear unabhängige [[Richtungsvektor]]en oder durch einen Punkt und einen [[Normalenvektor]] bestimmt. Je nachdem, wie eine gegebene Fläche beschrieben wird (implizit, explizit oder parametrisiert, s. u.) wird man entweder Richtungsvektoren oder einen Normalenvektor bestimmen.

Die Tangentialebene bildet den zweidimensionalen Spezialfall eines [[Tangentialraum]]s einer
[[Untermannigfaltigkeit des Rn|Untermannigfaltigkeit des <math>\R^n</math>]].
[[Bild:Tangentialvektor.svg|right|mini|Veranschaulichung der Definition. Hier heißt die Fläche ''M'' und der Berührungspunkt ''x''.]]

== Formale Definition ==

Es sei <math>F\subset\R^3</math> eine [[reguläre Fläche]] und <math>p_0\in F</math> ein Punkt.

Die Tangentialebene an <math>F</math> im Punkt <math>p_0</math> ist die Ebene durch <math>p_0</math>, die von den Geschwindigkeitsvektoren von durch <math>p</math> verlaufenden Wegen aufgespannt wird: Ist die Funktion <math>\gamma\colon(-1,1)\to F</math> ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] mit <math>\gamma(0)=p_0</math>, so ist <math>p_0 + \dot\gamma(0)</math> ein Punkt der Tangentialebene. Da die Tangentialebene zweidimensional ist, genügen zwei solcher Wege (in verschiedene Richtungen), um die Tangentialebene aufzuspannen.

=== Konvexe Fläche ===
Mit Hilfe der Tangentialebene ist außerdem der Begriff der '''konvexen Fläche''' definiert:
Eine Fläche heißt dann konvex, wenn in jedem ihrer Punkte eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] existiert, für die alle Punkte der Umgebung auf einer Seite der Tangentialebene liegen.<ref>{{Literatur|Autor=R. Walden, W. Vortisch, H. Huck, U. Simon, B. Wegner, R. Roitzsch, W. Wendland|Jahr=2006|Titel=Beweismethoden der Differentialgeometrie im Großen|Sprache=de|Verlag=Springer|Ort=Berlin Heidelberg|ISBN=3-54046-990-7|JahrEA=1973|Seiten=26|Kapitel=§3 Spezielle Flächenklassen}}</ref>

== Tangentialebene an den Graphen einer Funktion ==
[[Bild:Paraboloid Quadric.Png|200px|miniatur|Paraboloid]]
Die Fläche <math>F</math> ist als Graph
:<math>F= \{(x,y,z) \in \R^3 \mid z = f(x,y)\}</math>
einer Funktion <math>f</math> von zwei Veränderlichen <math>x,y</math> gegeben. Gesucht ist die Tangentialebene an die Fläche in einem Punkt <math>p_0 = (x_0,y_0,f(x_0,y_0))</math>.
Falls die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>(x_0,y_0)</math> [[differenzierbar]] ist mit den [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>f_x(x_0,y_0),\ f_y(x_0,y_0)</math>, liefert das [[Taylorpolynom]] erster Ordnung
:<math>z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)</math>
eine Gleichung der gesuchten Tangentialebene. Die Tangentialebene ist somit der Graph der affin-linearen Funktion
:<math>(x,y) \mapsto f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)</math>.

''Beispiel:''
Die Fläche <math>F</math> (ein Paraboloid) ist gegeben als Graph der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x,y)=x^2+2y^2</math>. Es sei <math>(x_0,y_0)=(3,4)</math>. Mit <math>f_x(x,y)=2x</math> und <math>f_y(x,y)=4y</math> ergibt sich
:<math>z=41+6(x-3)+16(y-4)</math> bzw.
:<math>z=6x + 16 y - 41 </math>
als Gleichung der gesuchten Tangentialebene im Flächenpunkt <math>(3,4,41)</math>.

== Tangentialebene an eine implizit gegebene Fläche ==
[[Bild:Ellipsoid Quadric.png|miniatur|Ellipsoid]]

In diesem Fall ist die Fläche als Niveaufläche
:<math>F = \{(x,y,z) \in \R^3\mid f(x,y,z)=0 \}</math>
einer Funktion <math>f</math> von 3 Variablen gegeben. Zum Beispiel ist die [[Einheitskugel]] durch die Gleichung
:<math>x^2+y^2+z^2-1=0</math>
gegeben. Es sei <math>p_0=(x_0,y_0,z_0)</math> ein Punkt der Fläche d. h. es ist <math> f(x_0,y_0,z_0)=0</math>. Falls <math>f</math> im Punkt <math>p_0</math> differenzierbar ist und
:<math>\operatorname{grad} f(p_0)=(f_x(p_0),f_y(p_0),f_z(p_0))\ne(0,0,0)</math>
gilt, so wird die Tangentialebene im Punkt <math>(x_0,y_0,z_0)</math> durch die Gleichung
:<math>f_x(p_0)(x-x_0)+f_y(p_0)(y-y_0)+f_z(p_0)(z-z_0)=0</math>
dargestellt.
Begründung: Der Vektor <math> \operatorname{grad} f(p_0)</math> zeigt in die Richtung der stärksten Zunahme von <math>f</math> und muss damit ein Normalenvektor der gesuchten Tangentialebene sein.

''Beispiel:''
Die Fläche <math>F</math> ist ein [[Ellipsoid]] mit der Gleichung
:<math>f(x,y,z)=x^2+2y^2+4z^2-1=0</math>,
gesucht ist die Tangentialebene von <math>F</math> im Punkt <math>p_0 = (x_0,y_0,z_0)=(\tfrac{1}{\sqrt 2},0,\tfrac{1}{\sqrt 8})</math>. Es gilt <math>\operatorname{grad} f(x,y,z)=(2x,4y,8z)</math> und die gesuchte Tangentialebene hat die [[Koordinatenform|Koordinatengleichung]]
:<math>\sqrt 2 (x-\tfrac{1}{\sqrt 2})+\sqrt 8 (z-\tfrac{1}{\sqrt 8})=0</math> bzw.
:<math> x + 2 z - \sqrt 2 =0</math>.

== Tangentialebene einer parametrisierten Fläche ==
[[Datei:Monkey_Saddle_Surface_(Shaded).png|miniatur|Affensattel]]
In diesem Fall ist die Fläche durch eine Parameterdarstellung <math>(x,y,z) = \vec S(u,v)</math> gegeben.
Ist die Parameterdarstellung <math>\vec S(u,v)</math> in einem Parameterpunkt <math>(u_0,v_0)</math> differenzierbar und sind die Ableitungsvektoren <math>\vec S_u(u_0,v_0), \vec S_v(u_0,v_0)</math> [[linear unabhängig]], so ist
:<math>(x,y,z) = \vec S (u_0,v_0)+ \vec S_u(u_0,v_0)(u-u_0)+ \vec S_v(u_0,v_0)(v-v_0) </math>
eine Parameterdarstellung der Tangentialebene im Punkt <math>p_0 = \vec S(u_0,v_0)</math>.

''Beispiel:'' <math>\vec S(u,v)=(u,v,u^3-3uv^2)</math> ist eine Parameterdarstellung des [[Affensattel|Affensattels]]. Mit <math>S_u(u,v)=(1,0,3u^2-3v^2)</math> und <math>S_v(u,v)=(0,1,-6uv)</math> ergibt sich für die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt
:<math>\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}u_0 \\v_0 \\u_0^3-3u_0v_0^2\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}1\\0\\3u^2_0-3v^2_0\end{pmatrix}(u-u_0)
+ \begin{pmatrix}0\\1\\-6u_0v_0\end{pmatrix}(v-v_0)</math>.

''Bemerkung:'' Das Beispiel des Affensattels zeigt, dass eine Fläche durchaus auf mehrere Möglichkeiten dargestellt werden kann:
1) parametrisiert wie hier eingeführt, 2) als Graph der Funktion <math>f(x,y)=x^3-3xy^2</math> und schließlich 3) implizit durch <math>f(x,y,z)=x^3-3xy^2-z=0</math>.

== Schnitt einer Tangentialebene mit der Fläche ==
Es gibt Flächen, die in der Nähe eines Punktes auf einer Seite der Tangentialebene in diesem Punkt liegen. Z.B.: Paraboloid und Ellipsoid (s. o.) oder Zylinder. Allerdings ist es auch möglich, dass die Fläche in der Nähe eines Punktes auf beiden Seiten der Tangentialebene in diesem Punkt liegt. Z.B. Affensattel oder hyperbolisches [[Paraboloid]]. Ist die [[Gauß-Krümmung]] in einem Flächenpunkt nicht Null, so gilt: bei positiver Gaußkrümmung tritt der erste Fall (Fläche auf einer Seite) und bei negativer Gaußkrümmung der zweite Fall (Fläche auf beiden Seiten) ein. Ist die Gaußkrümmung Null, so sind beide Fälle möglich. Z.B.: Zylinder überall oder Affensattel im Nullpunkt.

== Anwendungen ==
Überall, wo die Beschreibung einer Fläche für Berechnungen zu kompliziert ist, verwendet man Tangentialebenen als Ersatz für die gegebene Fläche, z. B. bei
* der Bestimmung von Punkten der ''Schnittkurve'' zweier Flächen ([[Newton-Verfahren]]),
* der Bestimmung von [[Umrisskonstruktion#Rechnerische Bestimmung des Umrisses|Umrisspunkten]] einer Fläche: Die Projektionsrichtung liegt in der Tangentialebene eines Umrisspunktes,
* Abbildungen ([[Projektion (lineare Algebra)|Projektionen]] von Flächen auf eine Ebene, wie es etwa für [[Karte (Kartographie)|Karte]]n notwendig ist).

== Literatur ==
* Meyberg & Vachenauer: ''Höhere Mathematik 1.'' Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 380, 392, 468
* Do Carmo: ''Differentialgeometrie von Kurven und Flächen''. Vieweg-Verlag, 1983

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]

Tangentialebene - Versionsgeschichte

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