imported>Tensorproduct: /* Kotangentialbündel */ Verständlichkeit

2025-05-04T15:16:30Z

Kotangentialbündel: Verständlichkeit

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[[Datei:Tangent bundle.svg|mini|Hier wird das Tangentialbündel des [[Kreis (Geometrie)|Kreises]] illustriert. Das erste Bild zeigt die Tangentialräume am Kreis und im zweiten Bild werden diese Räume zu einem Bündel zusammengefasst.]]
'''Tangentialbündel''' ist ein Begriff aus der [[Differentialgeometrie]] und [[Differentialtopologie]]. Es handelt sich um die disjunkte Vereinigung aller [[Tangentialraum|Tangentialräume]]. Hat das Tangentialbündel eine besonders einfache Struktur, dann nennt man die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit '''parallelisierbar'''.

== Definition ==
Das Tangentialbündel <math>TM</math> einer [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeit]] <math>M</math> ist ein [[Vektorbündel]]. Als [[Menge (Mathematik)|Menge]] ist es als die [[disjunkte Vereinigung]] aller [[Tangentialraum|Tangentialräume]] von <math>M</math> definiert:
: <math>TM:=\bigsqcup_{p\in M}T_pM:=\bigcup_{p\in M} \{p\}\times T_pM.</math>
Die [[Vektorraum]]struktur in den ''Fasern'' <math>\{p\}\times T_pM</math> ist die von den Tangentialräumen geerbte Struktur.

Ist ''M'' eine <math>n</math>-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ''U'' eine offene, [[zusammenziehbar]]e Umgebung von <math>p\in M</math>, dann ist ''TU'' [[Diffeomorphismus|diffeomorph]] zu <math>U\times \mathbb{R}^n,</math> das heißt '''lokal''' ist das Tangentialbündel ''TM'' diffeomorph zu <math>\R^{2n}</math>.

Ein Tangentialbündel erhält durch die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit wieder eine differenzierbare Struktur. Man nennt einen [[Atlas (Mathematik)|Atlas]] des Tangentialbündels, in dem alle Karten die Form <math>U\times\R^{n}</math> haben, eine '''lokale Trivialisierung'''. Die [[Topologischer Raum|Topologie]] und [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbare Struktur]] bekommt das Tangentialbündel durch eine lokale Trivialisierung.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit <math>M</math> mit trivialem Tangentialbündel (das heißt <math>TM</math> ist als Bündel isomorph zu <math>M\times\R^n</math>) nennt man '''parallelisierbar'''.

== Beispiele ==
=== Parallelisierbare Mannigfaltigkeiten ===
* <math> M=\R^n </math>, das Tangentialbündel ist <math>TM = \R^n \times \R^n = \R^{2n}.</math>
* Sei <math> S^1 = \{x \in \mathbb{R}^2: \left\| x \right\| = 1\} </math> die [[Sphäre (Mathematik)|1-Sphäre]]. Das Tangentialbündel ist der unendlich lange Zylinder, das heißt <math> TS^1 = S^1\times\R.</math>
* Jede endlichdimensionale [[Lie-Gruppe]] <math>G</math>, denn man kann eine Basis für den Tangentialraum <math>T_eG</math> am [[Neutrales Element|neutralen Element]] <math>e</math> wählen und dann durch die Gruppenwirkung über ganz <math>G</math> transportieren, um eine Trivialisierung von <math>TG</math> zu erhalten.
* Jede [[Orientierung (Mathematik)|orientierbare]] [[Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossene]] <math>3</math>-Mannigfaltigkeit.

=== Nichttriviale Tangentialbündel ===
* <math> TS^2</math> mit <math> S^2 = \{x \in \R^3: \left\| x \right\| = 1\} </math>, denn nach dem [[Satz vom Igel]] gibt es auf der <math>2</math>-Sphäre kein nirgendwo verschwindendes, stetiges tangentiales [[Vektorfeld]].
* [[Raoul Bott]] und [[John Milnor]] bewiesen 1958 als Konsequenz aus dem [[Bott-Periodizitätssatz]], dass <math>S^1, S^3</math> und <math>S^7</math> die einzigen parallelisierbaren [[Sphäre (Mathematik)|Sphären]] sind.<ref>Bott-Milnor: ''On the parallelizability of the spheres.'' Bull. Amer. Math. Soc. 64 1958 87–89. ([https://www.ams.org/journals/bull/1958-64-03/S0002-9904-1958-10166-4/S0002-9904-1958-10166-4.pdf pdf])</ref>

== Natürliche Projektion ==

Die natürliche Projektion ist eine glatte Abbildung

:<math>\pi\colon TM \to M\,</math>
definiert durch
:<math>(p,v) \mapsto p.</math>

Dabei ist <math>p \in M</math> und <math>v \in T_pM</math>. Es gilt also <math>\;\pi^{-1} (p) = T_pM </math> für alle <math> p\in M </math>.

== Kotangentialbündel ==
Analog zum Tangentialbündel ist auch das Kotangentialbündel definiert. Sei <math>M</math> eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und <math>T_pM</math> ihr Tangentialraum am Punkt <math>p \in M</math>, so wird mit <math>T_p^*M</math> der [[Dualraum]] des Tangentialraums, den man [[Kotangentialraum]] nennt, bezeichnet. Das Kotangentialbündel <math>T^*M</math> von <math>M</math> ist nun als disjunkte Vereinigung der Kotangentialräume definiert. Das heißt, es gilt
:<math>T^*M:=\bigsqcup_{p\in M}T_p^*M.</math>

Auch auf dem Kotangentialbündel lässt sich auf natürliche Weise wieder eine differenzierbare Struktur definieren. Anschaulich ist das Kotangentialbündel also die Menge aller [[Lineares Funktional|linearen Funktionale]], die auf den Vektoren der Tangentialräume an allen Punkten <math>p\in M</math> wirken
:<math>T^*M=\{(p,f_p)\mid p\in M,\;f_p\colon T_pM\to \mathbb{R}\;\text{linear}\}.</math>

== Einheits-Tangentialbündel ==
{{Hauptartikel|Einheits-Tangentialbündel}}
Das ''Einheits-Tangentialbündel'' einer [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]] <math>(M,g)</math> mit riemannscher Metrik <math>g</math> besteht aus allen Tangentialvektoren der Länge 1:

:<math>T^1M = \left\{ v \in TM \mid g(v,v) = 1 \right\}.</math>

Das Einheits-Tangentialbündel ist ein [[Faserbündel]], aber kein Vektorraumbündel. Da die Fasern
:<math>T^1_p M = T^1 M \cap T_p M</math>
diffeomorph zu einer [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] sind, spricht man auch von einem [[Sphärenbündel]].

== Vektorfelder ==
{{Hauptartikel|Vektorfeld}}

Ein ''Vektorfeld'' auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit <math>M</math> ist eine Abbildung <math>V \colon M \to TM</math>, die jedem Punkt <math>p \in M</math> einen Tangentialvektor <math>v \in T_p M</math> mit Fußpunkt <math>p</math> zuordnet. In der Differentialtopologie und der Differentialgeometrie betrachtet man vor allem glatte Vektorfelder, also solche, die [[glatte Abbildung]]en von <math>M</math> nach <math>TM</math> sind.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=John M. Lee
|Titel=Introduction to Smooth Manifolds
|Reihe=Graduate Texts in Mathematics
|BandReihe=218
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=New York NY
|Datum=2003
|ISBN=0-387-95448-1
|Sprache=en}}
* {{Literatur
|Autor=R. Abraham, [[Jerrold Marsden|Jerrold E. Marsden]], T. Ratiu
|Titel=Manifolds, tensor analysis, and applications
|Reihe=Applied mathematical sciences
|BandReihe=75
|Auflage=2.
|Verlag=Springer
|Ort=New York NY u. a.
|Datum=1988
|ISBN=0-387-96790-7
|Sprache=en}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Tangentialbundel}}
[[Kategorie:Differentialtopologie]]

Tangentialbündel - Versionsgeschichte

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