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[[Datei:Tangentenviereck.svg|mini|Ein Tangentenviereck ABCD mit Inkreis k]]
Ein '''Tangentenviereck''' ist ein [[Viereck]], dessen Seiten [[Tangente]]n eines [[Kreis (Geometrie)|Kreises]] sind. Diesen Kreis nennt man den [[Inkreis]] des Tangentenvierecks. Ein solches Tangentenviereck ist immer konvex. Vierecke, bei denen lediglich die verlängerten Seiten Tangenten eines Kreises sind und die damit auch nicht notwendigerweise konvex sein müssen, sind keine Tangentenvierecke im Sinne der hiesigen Definition. Spezielle Tangentenvierecke sind das [[Quadrat]], die [[Raute]] und das [[Drachenviereck]].

== Eigenschaften ==
Für jedes Tangentenviereck gilt der [[Satz von Pitot]]: Die [[Summe]] der Längen zweier gegenüberliegender Seiten ist gleich der Summe der Längen der anderen beiden Seiten. Es gilt also

:<math> a + c = b + d </math>

Beweis (siehe Skizze unten):
:<math> a+c=e+f+g+h </math>
:<math> b+d=e+h+f+g </math>
also
:<math> a + c = b + d </math>

Umgekehrt gilt auch, dass jedes konvexe Viereck mit <math>a + c = b + d</math> einen [[Inkreis]] besitzt und somit ein Tangentenviereck ist. Der Satz von Pitot und seine Umkehrung werden zusammen auch als ''Satz vom Tangentenviereck'' bezeichnet.

Der [[Mittelpunkt]] des [[Inkreis]]es ist der [[Schnittpunkt]] der [[Winkelhalbierende]]n aller vier [[Innenwinkel]]. Deshalb müssen sich beim Tangentenviereck alle Winkelhalbierenden auch in einem [[Punkt (Mathematik)|Punkt]] schneiden.

Außerdem ist ein [[Viereck]], das kein [[Trapez (Geometrie)|Trapez]] ist, genau dann ein Tangentenviereck, wenn folgenden Bedingungen gelten (siehe Skizze):

[[Datei:Tangentenviereck-02.svg|mitte|rahmenlos|800px]]

Dabei ist E der [[Schnittpunkt]] der [[Gerade]]n <math> AB </math> und <math> CD </math> und F ist der Schnittpunkt der Geraden <math> BC </math> und <math> DA </math>.

Beweis siehe [[b:Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Tangentenviereck|Wikibooks Beweisarchiv]].

Sind P, Q, R, S die Fußpunkte der [[Lot (Mathematik)|Lote]] des [[Inkreismittelpunkt]]s M auf die Seiten AB, BC, CD, DA und <math> r </math> der Inkreisradius des Tangentenvierecks, dann sind die [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecke]] MSA und APM nach dem [[Kongruenzsatz]] ''SWS'' kongruent, weil sie die Seite AM gemeinsam haben und außerdem <math> \overline{MS} = \overline{MP} = r </math> und <math> \angle MSA = \angle APM = 90^{\circ} </math> gilt. Daraus folgt, dass die [[Innenwinkel]] dieser rechtwinkligen Dreiecke jeweils gleich sind, also gilt auch <math> \angle AMS = \angle PMA </math>. Entsprechend gilt <math> \angle BMP = \angle QMB </math>, <math> \angle CMQ = \angle RMC </math> und <math> \angle DMR = \angle SMD </math>. Die Summe dieser acht Teilwinkel am Inkreismittelpunkt M ist gleich 360°. Daraus folgt schließlich <math> \angle BMA + \angle DMC = \angle PMA + \angle BMP + \angle RMC + \angle DMR = 180^{\circ} </math> und <math> \angle CMB + \angle AMD = \angle QMB + \angle CMQ + \angle SMD + \angle AMS = 180^{\circ} </math>, also <math> \angle BMA + \angle DMC = \angle CMB + \angle AMD = 180^{\circ} </math>. Die Summe der gegenüber liegenden [[Winkel]] am Inkreismittelpunkt beträgt also jeweils 180°.<ref name="Josefsson">{{Internetquelle |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf |archiv-url=https://web.archive.org/web/20140630174002/http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf |autor=Martin Josefsson |titel=Calculations Concerning the Tangent Lengths and Tangency Chords of a Tangential Quadrilateral |werk=Forum Geometricorum |seiten=119–130 |sprache=en |abruf=2025-04-14}}</ref>

== Formeln ==
{| class="wikitable"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" | Mathematische Formeln zum Tangentenviereck
|-
| rowspan="5" |'''[[Flächeninhalt]]'''
|<math>A = r \cdot (a + c) = r \cdot (b + d)</math>
| rowspan="10" |[[Datei:tangentenviereck-01.svg|rahmenlos]]
|-
|<math>A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{p^2 \cdot q^2 - (a \cdot c - b \cdot d)^2}</math>
|-
|<math>A = \sqrt{(e + f + g + h) \cdot (e \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f)}</math>
|-
|<math>A = \sqrt{a \cdot b \cdot c \cdot d - (e \cdot g - f \cdot h)^2}</math>
|-
|<math>A = \sqrt{a \cdot b \cdot c \cdot d} \cdot \sin\left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) = \sqrt{a \cdot b \cdot c \cdot d} \cdot \sin\left(\frac{\beta + \delta}{2}\right)</math>
|-
|'''[[Umfang (Geometrie)|Umfang]]'''
|<math>U = 2 \cdot (a + c) = 2 \cdot (b + d)</math>
|-
| rowspan="2" |Länge der [[Diagonale (Geometrie)|'''Diagonalen''']]
|<math>p = \sqrt{\frac{(e + g) \cdot [(e + g) \cdot (f + h) + 4 \cdot f \cdot h]}{f + h}}</math>
|-
|<math>q = \sqrt{\frac{(f + h) \cdot [(e + g) \cdot (f + h) + 4 \cdot e \cdot g]}{e + g}}</math>
|-
| rowspan="2" |'''[[Inkreis]]radius'''
|<math>r = \frac{A}{a + c} = \frac{A}{b + d}</math>
|-
|<math>r = \sqrt{\frac{e \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f}{e + f + g + h}}</math>
|}
Mithilfe des [[Satz des Pythagoras]] und des [[Kosinussatz]] erhält man die Längen der tangentialen Sehnen <math> k = \overline{PR} </math> und <math> l = \overline{QS} </math>. Es gilt
:<math>k = \sqrt{\frac{e \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f}{(e + f) \cdot (g + h) \cdot (e + g) \cdot (f + h)}}</math>
:<math>l = \sqrt{\frac{e \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f}{(e + h) \cdot (f + g) \cdot (e + g) \cdot (f + h)}}</math>

Daraus ergibt sich das Längenverhältnis<ref name="Josefsson" />
:<math>\frac{k}{l} = \sqrt{\frac{(f + g) \cdot (e + h)}{(e + f) \cdot (g + h)}} = \sqrt{\frac{b \cdot d}{a \cdot c}}</math>

== Gleichungen ==
Für die [[Winkel]] jedes Tangentenvierecks gelten folgende [[Gleichung]]en:<ref name="Josefsson" /><ref>Nicusor Minculete: [https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200910.pdf Characterizations of a Tangential Quadrilateral], Forum Geometricorum</ref>
:<math>\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{e \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f}{(e + f) \cdot (e + g) \cdot (e + h)}}</math>
:<math>\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = \sqrt{\frac{e \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f}{(f + e) \cdot (f + g) \cdot (f + h)}}</math>
:<math>\sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) = \sqrt{\frac{e \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f}{(g + e) \cdot (g + f) \cdot (g + h)}}</math>
:<math>\sin\left(\frac{\delta}{2}\right) = \sqrt{\frac{e \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f}{(h + e) \cdot (h + f) \cdot (h + g)}}</math>
:<math>\tan\left({\frac{\angle ABD}{2}}\right) \cdot \tan\left({\frac{\angle BDC}{2}}\right) = \tan\left({\frac{\angle ADB}{2}}\right) \cdot \tan\left({\frac{\angle DBC}{2}}\right)</math>

== Sehnentangentenviereck ==
=== Vereinfachte Flächeninhaltsberechnung ===
Ein interessanter Spezialfall liegt vor, wenn ein Tangentenviereck die Bedingung
:<math>\alpha + \gamma = \beta + \delta</math>
erfüllt. Unter dieser Voraussetzung ist das Tangentenviereck zugleich ein [[Sehnenviereck]], also ein [[Viereck]] mit [[Inkreis]] und [[Umkreis]], und wird deshalb auch als '''Sehnentangentenviereck''' bezeichnet. Die Formel für den [[Flächeninhalt]] liefert in diesem Fall das einfache Ergebnis
:<math>A = \sqrt{a \cdot b \cdot c \cdot d}</math>

=== Spezielle Eigenschaften ===
[[Datei:Sehnentangentenviereck.svg|mini|Sehnentangentenviereck]]
Da die Konstruktion eines Sehnentangentenvierecks aufwändiger ist als die eines reinen Sehnen-, bzw. Tangentenvierecks, liefert der nachfolgende Satz ein Kriterium, welches die Konstruktion erleichtert:

''Ein Tangentenviereck ist genau dann ein Sehnentangentenviereck, wenn die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Berührpunkte des Inkreises senkrecht aufeinander stehen.''

''Beweis:''

Zu zeigen ist, dass das Tangentenviereck <math>ABCD</math> genau dann zugleich ein Sehnenviereck ist, wenn <math>\phi=90^\circ</math> gilt.

Anders ausgedrückt ist somit zu zeigen:
:<math>\beta+\delta=180^\circ\Leftrightarrow\phi=90^\circ</math>

Da die beiden Dreiecke <math>EGM_1</math> und <math>FHM_1</math> [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklig]] sind, haben die Winkel <math>\angle M_1GE</math> und <math>\angle GEM_1</math> jeweils die Weite <math>\alpha</math> und die Winkel <math>\angle HFM_1</math> und <math>\angle M_1HF</math> jeweils die Weite <math>\gamma</math>.

Das Viereck <math>SECF</math> hat die Innenwinkelsumme
:<math>(90^\circ-\alpha)+\beta+(90^\circ+\gamma)+\phi=360^\circ \Leftrightarrow \beta=\alpha-\gamma-\phi+180^\circ</math>.
Das Viereck <math>AHSG</math> hat die Innenwinkelsumme
:<math>\delta+(90^\circ-\gamma)+\phi+(90^\circ+\alpha)=360^\circ \Leftrightarrow \delta=\gamma-\phi-\alpha+180^\circ</math>.
Nach Addition dieser beiden Gleichungen erhält man:
:<math>\beta+\delta=360^\circ-2\phi</math>

Also ist <math>\beta+\delta=180^\circ</math> genau dann, wenn <math>\phi=90^\circ</math>, [[Quod erat demonstrandum|was zu zeigen war]].<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 133–134.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Sehnenviereck]]
* [[Tangentenvieleck]]

== Literatur ==
* Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: ''Elementargeometrie''. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1, S. [https://books.google.de/books?id=cFzWcl9xiGcC&pg=PA60 60-61]
* Siegfried Krauter, Christine Bescherer: ''Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken''. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. [https://books.google.de/books?id=4LfZSrgysFAC&pg=PA77 77-78]
* Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: ''Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie''. Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 21; [https://people.math.ethz.ch/~halorenz/publications/pdf/extract.pdf Auszug] (PDF; 4,1 MB)

== Weblinks ==
{{Commonscat|Tangential quadrilaterals|Tangentenviereck}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld |id=TangentialQuadrilateral |title=Tangential Quadrilateral}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Viereck]]
[[Kategorie:Vierecksgeometrie]]

Tangentenviereck - Versionsgeschichte

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