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{{Begriffsklärungshinweis}}
[[Datei:SekTangPass.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.2|Kreis mit Tangente, Sekante und Passante]]
Eine '''Tangente''' (von {{laS|tangere}} ‚berühren‘) ist in der [[Geometrie]] eine [[Gerade]], die eine gegebene [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] in einem bestimmten [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] ''[[Berührung (Mathematik)|berührt]]''. Beispielsweise ist die Schiene für das Rad eine Tangente, da der Auflagepunkt des Rades ein Berührungspunkt der beiden geometrischen Objekte, Gerade und Kreis, ist. Tangente und Kurve haben im Berührungspunkt die gleiche Richtung. Die Tangente ist in diesem Punkt die beste lineare [[Approximation|Näherungsfunktion]] für die Kurve.

Besonders einfach sind die Verhältnisse beim Kreis: Alle Geraden können bezüglich ihrer Lage zu einem Kreis unterschieden werden in [[Sekante]]n, Tangenten und [[Passante]]n – je nachdem, ob sie mit dem Kreis zwei Punkte, einen oder gar keinen Punkt gemeinsam haben. Die [[Kreistangente]] berührt den Kreis also in genau einem Punkt. Sie steht dort senkrecht auf dem zu diesem Punkt gehörenden ''Berührungsradius''.

Auch im allgemeinen Fall steht die Tangente senkrecht auf dem zum Berührungspunkt gehörenden Radius des [[Krümmungskreis]]es, sofern dieser existiert. Sie kann aber mit der Ausgangskurve noch weitere Punkte gemeinsam haben. Ist ein weiterer Punkt (der Ausgangskurve oder einer anderen Kurve) ebenfalls Berührpunkt, so spricht man von einer '''Bitangente'''.

== Tangente in der Analysis ==
[[Datei:Tangente2.svg|mini|hochkant=1|Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt. Diese Abbildung zeigt, dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann. {{Farblegende|black|Graph der Funktion}}
{{Farblegende|red|Tangente}}]]
[[Datei:Senkrechte Tangente.svg|mini|hochkant=1|Funktion <math>f(x)</math> mit senkrechter Tangente <math>t</math> (rot)]]
Ist die gegebene Kurve der [[Funktionsgraph|Graph]] einer [[Reelle Zahl|reellen]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f</math>, dann ist die Tangente <math>t</math> im Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> die Gerade, die dort die gleiche [[Steigung]] wie die Kurve hat. Die Steigung <math>m_t</math> der Tangente <math>t</math> ist also gleich der ersten [[Differentialrechnung|Ableitung]] von <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math>: <math>m_t = f'(x_0)</math>. Die Gleichung der Tangente <math>t</math> ist somit:.<ref name="Walz" /><ref>''Tangente.'' In: ''Schülerduden – Mathematik II.'' Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 393–394.</ref>

: <math>y \, = \, f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) </math>
(siehe auch: [[Punktsteigungsform]]).

Die Tangente entspricht der besten linearen [[Approximation|Näherung]] für die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math>:

: <math> f(x) \, \approx \, f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0)</math> für <math> x \, \approx \, x_0</math>

Eine Tangente kann in der Regel nur existieren, wenn die zugrunde liegende Funktion an dieser Stelle [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] ist (vergleiche dazu aber auch [[#Synthetische und endliche Geometrie|Tangenten in der endlichen Geometrie]]).

Ein einfaches Gegenbeispiel:

Die [[Absoluter Betrag|Betragsfunktion]] <math>x \mapsto |x|</math> ist an der Stelle <math>x=0</math> nicht differenzierbar. Der zugehörige Funktionsgraph hat an dieser Stelle einen „Knick“, so dass es hier sinnlos ist, von ''der'' Tangente zu sprechen.

Ist eine Funktion an einer Stelle <math>x_0</math> ihres Definitionsbereichs zwar nicht differenzierbar, strebt der Wert der Ableitungsfunktion für <math> x \to x_0 </math> betragsmäßig jedoch gegen Unendlich, so hat der Funktionsgraph an dieser Stelle eine '''senkrechte Tangente''' (eine Parallele zur <math>y</math>-Achse, also keine [[lineare Funktion]], als Tangente).<ref name="Walz" /> Ein Beispiel hierfür ist die Funktion:
<math>f(x)=
\begin{cases}
\sqrt[3]{x-2{,}5} &\text{falls } 2{,}5 \leq x, \\
-\sqrt[3]{-(x-2{,}5)} &\text{falls } x < 2{,}5.
\end{cases}
</math>

Diese ist zwar für alle reellen Zahlen definiert, aber an der Stelle <math>x_0 = 2{,}5</math> nicht differenzierbar. Dort liegt eine senkrechte Tangente vor.

Als ''Wendetangente'' bezeichnet man eine Tangente, die durch einen Wendepunkt einer Funktion verläuft. Dabei „durchdringt“ bzw. „durchsetzt“ sie den Funktionsgraphen, der von einer Halbebene (bezüglich der Tangente) in die andere Halbebene wechselt. Dennoch fasst man diesen Punkt als Berührpunkt und nicht als Schnittpunkt auf, da die Steigung von Funktion und Gerade übereinstimmen.<ref>''Wendetangente.'' In: ''Schülerduden – Mathematik II.'' Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 448.</ref>

== Differentialgeometrie ==
[[Datei:Spacecurve tangent gimp.png|mini|hochkant=1|Raumkurve mit Tangente]]
Eine (reguläre) [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] im <math>\mathbb{R}^n</math> sei durch eine auf dem reellen [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[a,b]</math> definierte Funktion <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^n</math> mit <math>|\gamma'(t)|\ne 0</math> für alle <math>t \in [a,b]</math> gegeben. Ist <math>\gamma (t_0)</math> (mit <math>t_0 \in [a,b]</math>) ein Kurvenpunkt, so nennt man die erste Ableitung von <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_0</math> (also <math>\gamma'(t_0)</math>) einen '''Tangentialvektor'''. Eine '''Kurventangente''' in diesem Punkt ist eine Gerade durch den Punkt <math>\gamma (t_0)</math>, die die gleiche Richtung wie der Tangentialvektor hat.<ref name="Walz">Guido Walz: ''Lexikon der Mathematik''. Band 5. 2. Auflage. Springer, 2017, ISBN 978-3-662-53505-9, S. 173–176; [https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/tangente/10227 spektrum.de]</ref>

== Synthetische und endliche Geometrie ==
{{Hauptartikel|Quadratische Menge}}
In der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] und der [[Endliche Geometrie|endlichen Geometrie]] kann der Begriff „Tangente“ für geeignete Mengen allein mit Begriffen der Inzidenz, also ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen definiert werden:<ref name="Beutelspacher">{{Literatur |Autor= [[Albrecht Beutelspacher]], Ute Rosenbaum |Titel=Projektive Geometrie |TitelErg=Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen |Reihe=Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik |Auflage=2., durchgesehene und erweiterte |Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2004 |ISBN=3-528-17241-X |Kapitel=4 ''Quadratische Mengen'' |Online= [http://d-nb.info/972794298/04 Inhaltsverzeichnis] |Abruf=2013-07-31}}</ref>
# Für eine ''quadratische Menge'', in einer [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]] ist eine Tangente eine Gerade, die mit dieser Menge genau einen Punkt gemeinsam hat oder ganz in ihr enthalten ist.
# Mit dieser Definition existiert speziell für ein ''Oval'' in einer projektiven Ebene in jedem Punkt des Ovals genau eine Tangente. Keine Gerade hat mit dem Oval mehr als zwei Punkte gemein.
# [[Analytische Geometrie|''Analytisch'']] bedeutet dies für eine [[projektive Quadrik]] über einer [[Satz von Pappos|papposschen projektiven Ebene]], die dem [[Fano-Axiom]] genügt, dem wichtigsten Spezialfall einer quadratischen Menge: Eine projektive Gerade ist genau dann Tangente der Quadrik, wenn der Koeffizientenvektor der Geraden die homogene [[quadratische Gleichung]] erfüllt, die die Quadrik (als Punktmenge) definiert.

Der dritte Fall ist für die reelle [[euklidische Ebene]], wenn man sie als affinen Ausschnitt der reellen projektiven Ebene mit dem Standard[[skalarprodukt]] ansieht, gleichbedeutend dazu, dass der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] der Funktionsgleichung, die die Quadrik definiert, in dem Punkt, in der die Gerade die Quadrik berührt, ein [[Normalenvektor]] dieser Geraden ist. Insofern lässt sich ein, gegenüber dem reellen, durch Ableitung definierten verallgemeinerter, „algebraischer“ Tangentenbegriff auch durch ''formale Gradientenberechnung'' bilden.

Vergleiche hierzu auch die Abbildung in der Einleitung: Der mit dem Rechter-Winkel-Symbol gekennzeichnete Radius des Kreises stellt gleichzeitig die Richtung eines Normalenvektors der eingezeichneten Tangente und (vom Mittelpunkt zum Berührpunkt orientiert) die Richtung des Gradienten der Kreisgleichung in deren Berührpunkt dar.

== Tangente an Parabel ==
{{Hauptartikel|Parabel (Mathematik)}}
=== Konstruktion ===
{{Doppeltes Bild|rechts|01 Tangente an Parabel.svg|250|01 Tangente an Parabel Begründung.svg|249|Bild 1, Konstruktion Tangente an Parabel mittels eines Kreises um Punkt <math>F</math> |Bild 2, Nachweis, Tangente an Parabel mittels eines Kreises um Punkt <math>F</math>}}
Es beginnt (Bild 1) mit dem Eintragen des Graphen, beispielsweise der Parabel <math>y=\tfrac{1}{4}x^2</math>, und dem Ziehen deren Symmetrieachse; Schnittpunkt <math>S</math> ist der Scheitel der Parabel. Der Brennpunkt <math>F=\left(0,\tfrac{1}{4a}\right)</math> wird mithilfe des Koeffizienten <math>a=\tfrac{1}{4}</math> von <math>x^2</math> mit <math>\overline{FS}=\tfrac{1\cdot 4}{4\cdot 1}=1</math> bestimmt. Es folgt der Kreis <math>k</math> um <math>F</math> mit Radius <math>|PF|</math>; Schnittpunkt ist <math>A</math> auf der Symmetrieachse der Parabel. Abschließend wird die Tangente <math>t</math> durch die Punkte <math>P</math> und <math>A</math> gezogen.

Im Bild 2 ist verdeutlicht: Die Tangente <math>t</math> ist die Winkelhalbierende <math>w</math> der beiden spitzen Winkel einer [[Raute]].

=== Nachweis ===
Der Punkt <math>P</math> ist – vereinfacht ausgedrückt – dann ein Punkt einer Parabel, wenn sein Abstand zur Leitlinie <math>|Pl|</math> gleich dem Abstand <math>|PF|</math> zum Brennpunkt ist. Die Tangente ist somit die Winkelhalbierende <math>w</math> der [[Winkel]]weite, die von den Winkelschenkeln <math>|Pl|</math> und <math>|PF|</math> eingeschlossen ist.<ref>{{Internetquelle |autor=Dieter Neßelmann |url=http://www.math.uni-rostock.de/~vorkurs/archiv/Vorkurs_GeomLinAlg-2014.pdf#page=53&zoom=auto,-13,581 |titel=Tangente der Parabel|titelerg = Vorkurs Mathematik Teil: Geometrie und lineare Algebra |hrsg=Universität Rostock |datum=2014-06-24 |abruf=2023-10-19}}</ref>

Das [[Lot]] (Bild 2) ab dem Punkt <math>P</math> auf die Leitlinie <math>l</math>
und die Verbindung <math>P</math> mit <math>F</math> bilden zusammen, wegen <math>|Pl|=|PF|=|FA|</math>, eine Raute. Somit ist die Gerade (rot) durch <math>P</math> und <math>A</math> die gesuchte Winkelhalbierende <math>w</math> und deshalb auch die Tangente in <math>P</math>.

== Tangente an Ellipse ==
{{Hauptartikel|Ellipse}}
[[Datei:01 Tangente an Ellipse.svg|mini|hochkant=1.4|Konstruktion, Tangente an Ellipse mittels drei gleichen Kreisen]]
=== Konstruktion ===
Auf einer gegebenen Ellipse <math>e</math> mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> wird zuerst ein beliebiger Punkt <math>P</math> auf der Ellipse bestimmt. Eine [[Halbgerade]] ab dem Punkt <math>F_2</math> durch <math>P</math> schließt sich an. Nach dem Verbinden des Punktes <math>P</math> mit <math>F_1</math> folgt ein Kreis <math>k_1</math> um <math>P</math> mit dem Radius <math>|PF_1|</math>; Schnittpunkt mit der Halbgeraden ist <math>F'</math>. Nun zieht man den Kreis <math>k_2</math> um <math>F'</math> mit gleichem Radius und ebenso den Kreis <math>k_3</math> um <math>F_1</math>; dabei ergibt sich der Schnittpunkt <math>A</math>. Abschließend wird eine Gerade (rot) – die gesuchte Tangente – durch die Punkte <math>A</math> und <math>P</math> gezogen.

=== Nachweis ===
Der Punkt <math>P</math> ist – vereinfacht ausgedrückt – nur dann ein Punkt einer Ellipse, wenn die Gerade, die durch ihn geht, die Winkelhalbierende <math>w</math> des Winkels <math>F_1,P,F'</math> ist.<ref>{{Internetquelle |autor=Peter Lesky |url=https://www.f08.uni-stuttgart.de/schulen/schuelerzirkel-mathematik/downloads/2020Kegelschnitte.pdf#page=68&zoom=auto,-278,844 |titel=5.2 Tangente in einem Ellipsenpunkt (mit Beweis)|titelerg= Kegelschnitte |hrsg=Universität Stuttgart |datum=2020 |seiten=67–68 |abruf=2023-10-20}}</ref>

Da die beiden Kreise <math>k_2</math> und <math>k_3</math> mit dem Schnittpunkt <math>A</math> den Winkel <math>F_1,P,F'</math> halbieren, ist die Gerade (rot) eine Winkelhalbierende <math>w</math> dieses Winkels und somit die Tangente im Punkt <math>P</math>.

== Siehe auch ==
* [[Tangente (Winkelhalbierende)]]
* [[Hyperbel (Mathematik)#Tangente als Winkelhalbierende|Hyperbel, Tangente als Winkelhalbierende]]
* [[Differentialrechnung]]
* [[Kurvendiskussion]]
* [[Tangentialraum]]
* [[Subtangente]]

== Literatur ==
* ''Tangente.'' In: ''Schülerduden – Mathematik I.'' Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 443–444.
* ''Tangente.'' In: ''Schülerduden – Mathematik II.'' Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 393–394.
* Guido Walz: ''Lexikon der Mathematik''. Band 5. 2. Auflage. Springer, 2017, ISBN 978-3-662-53505-9, S. 173–176; [https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/tangente/10227 spektrum.de]
* Irl C. Bivens: ''What a Tangent Line Is When It Isn’t a Limit.'' In: ''The College Mathematics Journal'', 1986, Band 17, Nr. 2, S. 133–q43, Mathematical Association of America; {{JSTOR|2686832}}
* Hugh Thurston: ''Tangents to Graphs.'' In: ''Mathematics Magazine'', 1988, Band 61, Nr. 5, S. 292–294, Mathematical Association of America; {{JSTOR|2689546}}.
* {{Meyers-1905 |Lemma=Tangente |Band=19 |Seite=306 |SeiteBis=307 |zenoID=20007561059}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Commonscat|Tangency}}
* [https://www.calculushowto.com/calculus-definitions/tangent-line-newtons-method/ ''Tangent Line: Definition, Formula & Newton’s Method''.] calculushowto.com
* {{MathWorld |id=TangentLine|title=Tangent Line}}
* [https://123mathe.de/tangente-und-normale ''Tangente und Normale''.] 123mathe.de

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=7643634-2}}

[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]
[[Kategorie:Endliche Geometrie]]

Tangente - Versionsgeschichte

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