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2025-12-16T12:46:22Z

Tangenssatz für Kugeldreiecke: Schon verlinkt

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[[Datei:Triangle-tikz.svg|rechts]]
In der [[Trigonometrie]] stellt der '''Tangenssatz''' oder '''Tangentensatz''' eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines ebenen [[Dreieck]]s und dem [[Tangens]] der halben Summe bzw. der halben Differenz zweier [[Winkel]] des Dreiecks her.

== Formulierung ==
Für die drei Seiten ''<math>a</math>'', ''<math>b</math>'' und ''<math>c</math>'' eines [[Dreieck]]s sowie für die diesen Seiten jeweils gegenüber liegenden [[Winkel]] ''<math>\alpha</math>'', ''<math>\beta</math>'' und ''<math>\gamma</math>'' gilt:

: <math>\frac{b + c}{b - c} = \frac{\tan \frac{\beta + \gamma}{2}}{\tan \frac{\beta - \gamma}{2}}</math><ref group="H">Die in Beziehung gesetzten Seiten ''<math>b</math>'' und ''<math>c</math>'' des Dreiecks seien dabei als unterschiedlich lang vorausgesetzt, so dass die beteiligten Nenner stets <math>\neq 0</math> sind. Entsprechendes gilt im Folgenden für alle weiteren Formeln.</ref>

Wegen
:<math>\tan \frac{\beta + \gamma}{2} = \tan \frac{180^\circ - \alpha}{2} = \tan \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = \cot \frac{\alpha}{2}</math>
kann man diese Formel auch schreiben als

:<math>\frac{b + c}{b - c} = \frac{\cot \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta - \gamma}{2}}</math>

Analoge Formeln für <math>\frac{a + b}{a - b}</math> und <math>\frac{a + c}{a - c}</math> erhält man durch [[Zyklische Permutation|zyklische Vertauschung]]:

: <math>\frac{a + b}{a - b} = \frac{\tan \frac{\alpha + \beta}{2}}{\tan \frac{\alpha - \beta}{2}} = \frac{\cot \frac{\gamma}{2}}{\tan \frac{\alpha - \beta}{2}}</math>

: <math>\frac{c + a}{c - a} = \frac{\tan \frac{\gamma + \alpha}{2}}{\tan \frac{\gamma - \alpha}{2}} = \frac{\cot \frac{\beta}{2}}{\tan \frac{\gamma - \alpha}{2}}</math>

Wegen <math>\tan(-x) = -\tan(x)</math> bleiben diese Formeln gültig, wenn sowohl die Seiten als auch die zugehörigen Winkel vertauscht werden, also zum Beispiel:

: <math>\frac{a + c}{a - c} = \frac{\tan \frac{\alpha + \gamma}{2}}{\tan \frac{\alpha - \gamma}{2}} = \frac{\cot \frac{\beta}{2}}{\tan \frac{\alpha - \gamma}{2}}</math>

== Beweis ==

=== Beweis mit Sinussatz und Identitäten der Winkelfunktionen ===
Nach dem [[Sinussatz]] gilt <math>\tfrac{b}{c}=\tfrac{\sin\beta}{\sin\gamma}</math> und damit folgt

: <math>\frac{b + c}{b - c} = \frac{\frac{b}{c} + 1}{\frac{b}{c} - 1} = \frac{\frac{\sin \beta}{\sin \gamma} + \frac{\sin \gamma}{\sin \gamma}}{\frac{\sin \beta}{\sin \gamma} - \frac{\sin \gamma}{\sin \gamma}} = \frac{\sin \beta + \sin \gamma}{\sin \beta - \sin \gamma}</math>

nach Einsetzen der [[Formelsammlung Trigonometrie#Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten)|Identitäten]]

: <math>\sin \beta + \sin \gamma = 2 \cdot \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \cdot \cos \frac{\beta - \gamma}{2}</math>

sowie

: <math>\sin \beta - \sin \gamma = 2 \cdot \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \cdot \sin \frac{\beta - \gamma}{2}</math>

die sich aus den [[Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme|Additionstheoremen]] ableiten lassen, ergibt sich durch Einsetzen in die obere Gleichung der Tangenssatz:

: <math>\frac{b + c}{b - c} = \frac{\sin \beta + \sin \gamma}{\sin \beta - \sin \gamma} = \frac{2 \cdot \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \cdot \cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{2 \cdot \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \cdot \sin \frac{\beta - \gamma}{2}} = \frac{\sin \frac{\beta + \gamma}{2}}{\cos \frac{\beta + \gamma}{2}} \cdot \frac{\cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{\sin \frac{\beta - \gamma}{2}} = \tan \frac{\beta + \gamma}{2} \cdot \cot \frac{\beta - \gamma}{2} = \frac{\tan \frac{\beta + \gamma}{2}}{\tan \frac{\beta - \gamma}{2}}</math>

=== Beweis mit Mollweideschen Formeln ===
Aus der [[Formelsammlung Trigonometrie#Winkelsumme|Winkelsumme im Dreieck]] <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ</math> und dem Übergang zum Komplementärwinkel des [[Tangens und Kotangens|Tangens]] folgt:

: <math>\tan\frac{\beta + \gamma}{2} = \tan \frac{180^\circ - \alpha}{2} = \tan \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = \cot \frac{\alpha}{2}</math>

Aus den [[Mollweidesche Formeln|Mollweideschen Formeln]] folgt daraus der Tangenssatz:

: <math>\frac{b + c}{b - c}
= \frac{b + c}{a} \cdot \frac{a}{b - c}
= \frac{\cos \frac{\beta - \gamma}{2}} {\sin \frac{\alpha }{2}} \cdot \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\beta - \gamma}{2}}
= \cot \frac{\beta - \gamma}{2} \cdot \cot \frac{\alpha}{2}
= \frac{\cot \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta - \gamma}{2}}
= \frac{\tan \frac{\beta + \gamma}{2}}{\tan \frac{\beta - \gamma}{2}}</math>

== Verallgemeinerung für Sehnenvierecke ==

Eine Verallgemeinerung des Tangenssatzes gilt für [[Sehnenviereck]]e <math>ABCD</math>. Für die Seitenlängen <math>a = |\overline{AB}|</math>, <math>b = |\overline{BC}|</math>, <math>c = |\overline{CD}|</math>, <math>d = |\overline{DA}|</math> und die Winkelgrößen <math>\alpha = \angle{DAB}</math>, <math>\beta = \angle{ABC}</math> gilt:<ref>{{Literatur |Autor=Emmanuel Antonio José García |Titel=A Generalization of the Law of Tangents |Sammelwerk=Mathematics Magazine |Band=97 |Nummer=3 |Seiten=274–275 |Datum=2024 |DOI=10.1080/0025570X.2024.2336633}}</ref>
:<math>\frac{(a+c) \cdot (b+d)}{(a-c) \cdot (b-d)} = \frac{\tan \tfrac{\alpha + \beta}{2}}{\tan \tfrac{\alpha - \beta}{2}}</math>
Diese Formel reduziert sich für <math>c = 0</math> auf den Tangenssatz für Dreiecke.

== Tangenssatz für Kugeldreiecke ==
Für [[Kugeldreieck]]e gelten die Gleichungen<ref>Wolfram: [https://resources.wolframcloud.com/FormulaRepository/resources/Spherical-Law-of-Tangents ''Spherical Law of Tangents'']</ref><ref>Rob Johnson, West Hills Institute of Mathematics: [https://www.math.ucla.edu/~robjohn/math/spheretrig.pdf ''Spherical Trigonometry'']</ref>

: <math>\frac{\tan{\frac{a + b}{2}}}{\tan{\frac{a - b}{2}}} = \frac{\tan{\frac{\alpha + \beta}{2}}}{\tan{\frac{\alpha - \beta}{2}}}</math>
: <math> \frac{\tan{\frac{b + c}{2}}}{\tan{\frac{b - c}{2}}} = \frac{\tan{\frac{\beta + \gamma}{2}}}{\tan{\frac{\beta - \gamma}{2}}}</math>
: <math> \frac{\tan{\frac{c + a}{2}}}{\tan{\frac{c - a}{2}}} = \frac{\tan{\frac{\gamma + \alpha}{2}}}{\tan{\frac{\gamma - \alpha}{2}}}</math>

Dabei sind <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> die Seiten ([[Kreisbogen|Kreisbögen]]) des Kugeldreiecks und <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> die gegenüberliegenden [[Winkel]] auf der [[Kugeloberfläche]].

== Siehe auch ==
* [[Sinussatz]]
* [[Kosinussatz]]
* [[Formelsammlung Trigonometrie]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Herausgeber=Fachredaktion des [[Bibliographisches Institut|Bibliographischen Instituts]]
|Titel=Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis
|TitelErg=Bearbeitet von Prof. Dr. [[Harald Scheid]]
|Auflage=4.
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim, Wien, Zürich
|Datum=1985
|Seiten=617 ff.,622}}
* [[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]: ''Ebene Geometrie''. Springer 2007, S. 129 ({{Google Buch|BuchID=8_8dBAAAQBAJ|Seite=129|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}})
* [[Johannes Tropfke]]: ''Geschichte der Elementarmathematik''. Band 5. I: ''Ebene Trigonometrie''. II: ''[[Sphärik]] und sphärische Trigonometrie''. Walter de Gruyter, 1923, ISBN 3-11-144776-6, S. 79–82, [[doi:10.1515/9783111447766.70]], {{Google Buch|BuchID=h6d3eSn1oyAC|Seite=79|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=LawofTangents |title=Law of Tangents}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Hinweise ==
<references group="H" />

[[Kategorie:Trigonometrie]]
[[Kategorie:Satz (Geometrie)]]

Tangenssatz - Versionsgeschichte

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