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[[Datei:Hyperbolic Tangent.svg|mini|Graph des Tangens hyperbolicus]]
[[Datei:Hyperbolic Cotangent.svg|mini|Graph des Kotangens hyperbolicus]]

'''Tangens hyperbolicus''' und '''Kotangens hyperbolicus''' sind [[Hyperbelfunktion]]en. Man nennt sie auch ''Hyperbeltangens'' oder ''hyperbolischen [[Tangens]]'' bzw. ''Hyperbelkotangens'' oder ''hyperbolischen [[Kotangens]].''

== Schreibweisen ==
{|
|-
|Tangens hyperbolicus: || <math>y = \tanh x</math>
|-
|Kotangens hyperbolicus: || <math>y = \coth x</math>
|}

== Definitionen ==
: <math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}} = \frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1} = 1-\frac{2}{\mathrm{e}^{2x}+1}</math>
: <math>\coth x = \frac{\cosh x} {\sinh x} = \frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}} = \frac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{2x}-1} = 1+\frac{2}{\mathrm{e}^{2x}-1}</math>

Hierbei bezeichnen <math>\sinh x</math> und <math>\cosh x</math> den [[Sinus hyperbolicus]] bzw. [[Kosinus hyperbolicus]].

== Eigenschaften ==
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! 
!Tangens hyperbolicus
!Kotangens hyperbolicus
|-
! [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]]
| <math> - \infty < x < + \infty </math>
| <math> - \infty < x < + \infty</math> ; <math> x \ne 0</math>
|-
! [[Bild (Mathematik)|Wertebereich]]
| <math>-1<f\left(x\right)<1</math>
| <math>-\infty<f\left(x\right)<-1 </math> ; <math>1<f\left(x\right)<+\infty</math>
|-
! [[Periodizität (Mathematik)|Periodizität]]
| keine
| keine
|-
! [[Reelle monotone Funktion|Monotonie]]
| streng monoton steigend
| <math>x < 0</math> streng monoton fallend <math>x > 0</math> streng monoton fallend
|-
! [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]]
| Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
| Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
|-
! [[Asymptote]]n
| <math>x\to+\infty\colon f\left(x\right)\to +1</math> <math>x\to-\infty\colon f\left(x\right)\to-1</math>
| <math>x\to+\infty\colon f\left(x\right)\to +1</math> <math>x\to-\infty\colon f\left(x\right)\to-1</math>
|-
! [[Nullstelle]]n
| <math> x = 0 </math>
| keine
|-
! [[Sprungstelle]]n
| keine
| keine
|-
! [[Polstelle]]n
| keine
|<math>x = 0</math>
|-
! [[Extremwert|Extrema]]
| keine
| keine
|-
! [[Wendepunkt]]e
| <math> \left(0,0\right) </math>
| keine
|}

== Spezielle Werte ==
Der Kotangens hyperbolicus hat zwei Fixpunkte, d. h., es gibt zwei <math>u \in \mathbb R</math>, sodass
:<math>\coth u = u</math>.
Sie liegen bei <math>u_\pm = \pm 1{,}19967864\dots</math> ({{OEIS|A085984}})

== Umkehrfunktionen ==
Der Tangens hyperbolicus ist eine [[Bijektivität|Bijektion]] <math>\tanh\colon \mathbb{R}\rightarrow (-1,1)</math>. Die [[Umkehrfunktion]] nennt man [[Areatangens hyperbolicus]]. Sie ist für Zahlen aus dem Intervall <math>(-1,1)</math> definiert und nimmt jede [[reelle Zahl]] als Wert an.
Sie lässt sich durch den natürlichen [[Logarithmus]] ausdrücken:
: <math>\operatorname{artanh} x = \frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).</math>

Für die Umkehrung des Kotangens hyperbolicus gilt:
: <math>\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)</math>

== Ableitungen ==
:<math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tanh x = 1-\tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x </math>
:<math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \coth x = 1-\coth^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} = -\operatorname{csch}^2 x </math>

Die <math>n</math>-te Ableitung ist gegeben durch

:<math>\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}z^n}\tanh z=\frac{2^{n+1}\mathrm{e}^{2z}}{(1+\mathrm{e}^{2z})^{n+1}} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k A_{n,k}\,\mathrm{e}^{2kz}</math>

mit den [[Euler-Zahlen]] An,k. Die Formel für die n-te Ableitung kann hergeleitet werden<ref>{{Literatur |Autor=Grzegorz Rzadkowski |Titel=Derivatives and Eulerian Numbers |Sammelwerk=The American Mathematical Monthly |Band=115 |Nummer=5 |Datum=2008-05 |ISSN=0002-9890 |DOI=10.1080/00029890.2008.11920551 |Seiten=458–460 |Online=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2008.11920551 |Abruf=2023-10-17}}</ref>.

Wichtige Hinweise:

Der [[Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus|Sekans hyperbolicus]] ist das [[Satz des Pythagoras|pythagoräische Gegenstück]] zum Tangens hyperbolicus:

:<math>\operatorname{sech}(x) = \frac{2\exp(x)}{\exp(2x)+1} = \sqrt{1 - \tanh(x)^2}</math>
Der Betrag des Kosekans hyperbolicus ist der ''pythagoräische Vorgänger'' des Kotangens hyperbolicus:
:<math>|\operatorname{csch}(x)| = \left|\frac{2\exp(x)}{\exp(2x)-1}\right| = \sqrt{\coth(x)^2-1}</math>

== Additionstheorem ==
Es gilt das Additionstheorem
:<math>\tanh(\alpha+\beta) = \frac{\tanh\alpha+\tanh\beta}{1+\tanh\alpha\,\tanh\beta}</math>

analog dazu:

:<math>\coth(\alpha+\beta)=\frac{1+\coth\alpha\,\coth\beta}{\coth\alpha+\coth\beta}</math>

== Integrale ==
=== Stammfunktionen der Hyperbelfunktionen ===
Die Ursprungsstammfunktion des Tangens hyperbolicus ist der natürliche Logarithmus aus dem Kosinus hyperbolicus. Für den Kotangens hyperbolicus kann nur eine [[Stammfunktion]] mit einer Polstelle beim Wert <math>x = 0</math> angegeben werden:
: <math> \int\tanh x\,\mathrm{d}x = \ln\left(\cosh x\right)+C</math>
: <math> \int\coth x\,\mathrm{d}x = \ln\left(|{\sinh x}|\right)+C</math>

Die Geschwindigkeit im freien Fall bezüglich der Zeit wird durch die Funktion des '''Tangens hyperbolicus''' beschrieben. Die Ursprungsstammfunktion des Tangens hyperbolicus beschreibt im freien Fall eines Objektes den Zeit-Ort-Verlauf. Denn der Weg ist grundsätzlich das Integral der Geschwindigkeit bezüglich der Zeit. Und diese Ursprungsstammfunktion des Tangens hyperbolicus ist der Logarithmus naturalis aus dem Kosinus hyperbolicus. Dementsprechend wird die Beschleunigung im freien Fall bezüglich der Zeit durch das Quadrat des Sekans hyperbolicus beschrieben. Denn die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit bezüglich der Zeit. Und das Quadrat des Sekans hyperbolicus ist die Ableitung des Tangens hyperbolicus. Durch Involvierung des [[Strömungswiderstandskoeffizient|Widerstandsbeiwertes]] ergibt sich diese Differentialgleichung, die auf nachfolgende Weise gelöst wird:

: <math>a(t) = \frac{d}{dt}v(t) = g - \frac{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A}{2\,m_\text{Obj}}\,v(t)^2 </math>
: <math>v(t) = \sqrt{\frac{2\,m_\text{Obj}\,g}{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A}}\,\tanh\left(\sqrt{\frac{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A\,g}{2\,m_\text{Obj}}}\,\,t\right) </math>
: <math>s(t) = \int_0^t v(t') dt' = {\frac{2\,m_\text{Obj}}{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A}}\ln\left[\cosh\left(\sqrt{\frac{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A\,g}{2\,m_\text{Obj}}}\,\,t\right)\right]</math>
: <math>a(t) = g\,\operatorname{sech}\left(\sqrt{\frac{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A\,g}{2\,m_\text{Obj}}} \,\,t\right)^2 </math>

=== Tangens hyperbolicus cardinalis ===
Wenn der ''Tangens hyperbolicus'' durch die ''identische Funktion'' geteilt wird, dann wird der ''Tangens hyperbolicus cardinalis'' <math>\tanh(x)/x</math> gebildet. Das Integral von Null bis Unendlich von dieser Funktion divergiert ins Unendliche. Aber das Integral vom Quadrat des ''Tangens hyperbolicus cardinalis'' konvergiert und nimmt einen konkreten Wert an. Das Integral vom Kubus des ''Tangens hyperbolicus cardinalis'' konvergiert ebenso:

: <math> \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2}\operatorname{tanh}(x)^2 \,\mathrm{d}x = \frac{14}{\pi^2} \,\zeta(3) </math>
: <math> \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^3}\operatorname{tanh}(x)^3 \,\mathrm{d}x = \frac{186}{\pi^4} \,\zeta(5) - \frac{7}{\pi^2} \,\zeta(3) </math>

== Weitere Darstellungen ==
=== Summenreihen für tanh und coth ===
:<math> \tanh x = \sgn x \left[1+ \sum_{k=1}^\infty (-1)^k\,2\,\mathrm{e}^{-2k|x|}\right] </math>
:<math> \tanh x = \sum_{k=0}^\infty \frac{8x} {(2k+1)^2\pi^2+4x^2} </math>
:<math> \mathrm{L}_{\mathrm{LV}}(x) = \coth(x) - \frac{1}{x} = \sum_{k=1}^\infty \frac{2x} {k^2\pi^2+x^2} </math>
Diese Funktion wird [[Langevin-Funktion]] genannt.

Deswegen<ref>{{Internetquelle |url=https://www.math-forums.com/threads/maple-bugs-thomas-richard-hurrah-maple-quality-improves-example-4.7578/ |titel=Maple bugs: Thomas Richard: Hurrah, Maple quality improves! – Example 4 |sprache=en-US |abruf=2023-01-03}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://math.stackexchange.com/questions/2324996/a-curious-integral |titel=complex analysis – A curious integral |sprache=en |abruf=2023-01-03}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://math.stackexchange.com/questions/3472703/what-are-the-exact-limits-of-validity-of-the-abel-plana-summation-formula |titel=sequences and series – What are the exact limits of validity of the Abel-Plana summation formula? |sprache=en |abruf=2023-01-03}}</ref> gilt beispielsweise diese unendliche Summe:
:<math> \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1} = \frac{\pi}{2}\coth(\pi) - \frac{1}{2} \approx 1{,}07667404746858117413405079475 </math>

Die [[Taylorreihe]] des Tangens hyperbolicus lautet:
:<math> \tanh x = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n} -1)}{(2n)!} \cdot B_{2n} \cdot x^{2n - 1} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \cdot \frac{2^{2n+1}}{\pi^{2n}} \cdot \lambda(2n) \cdot x^{2n - 1} = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac {2}{15} x^5 - \frac{17}{315} x^7 + \cdots </math>
Hierbei steht <math>B</math> für die [[Bernoulli-Zahlen]] und λ(n) für die [[Dirichletsche Lambdafunktion]]. Der [[Konvergenzradius]] dieser Reihe ist π/2.

Die Taylorreihe der Differenz von Kotangens hyperbolicus und Kehrwertfunktion lautet:
:<math> \mathrm{L}_{\mathrm{LV}}(x) = \coth x - \frac{1}{x} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \cdot \frac{2}{\pi^{2n}} \cdot \zeta(2n) \cdot x^{2n - 1} = \frac{1}{3} x - \frac{1}{45} x^3 + \frac{2}{945} x^5 - \frac{1}{4725} x^7 + \cdots </math>
Dabei steht ζ(n) für die [[Riemannsche Zetafunktion]]. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist π.

=== Kettenbruchdarstellung ===
[[Johann Heinrich Lambert]] zeigte folgende Formel:

:<math>\tanh x=\frac{x}{1+\cfrac{x^2}{3+\cfrac{x^2}{5+\ldots}}}</math>

== Numerische Berechnung ==
Grundsätzlich kann der Tangens hyperbolicus über die bekannte Formel

: <math>\tanh x = \frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}</math>

berechnet werden, wenn die Exponentialfunktion <math>{e}^{x}</math> zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:
* Große positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist.
* Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird.

''Fall 1'': <math>x</math> ist eine große positive Zahl mit <math>{x} > k \cdot\frac{\ln 10}{2}</math>:

:<math>\tanh x = +1</math>,

: wobei <math>k</math> die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp ''double'' 16 ist.

''Fall 2'': <math>x</math> ist eine kleine negative Zahl mit <math>{x} < -k \cdot\frac{\ln 10}{2}</math>:

:<math>\tanh x = -1</math>

''Fall 3'': <math>x</math> ist nahe an 0, z. B. für <math>-0{,}1 < x < +0{,}1</math>:

:<math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\mathrm{e}^{x} - \sinh x}</math>

:<math>\sinh x</math> lässt sich hier über die Taylorreihe <math>\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \dots</math> sehr genau berechnen.

''Fall 4'': Alle übrigen <math>x</math>:

:<math>\tanh x = \frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}</math>

== Differentialgleichung ==
<math>\tanh</math> löst folgende Differentialgleichungen:

:<math>f^\prime = 1-f^2</math> oder

:<math>\frac12 f^{\prime\prime}=f^3-f=f(f^2-1)</math>

mit <math>f(0)=0</math> und <math>f^\prime (\infty )=0</math>

== Komplexe Argumente ==
:<math>\tanh(x + i\,y) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) + \cos(2y)} + i \, \frac{ \sin(2y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)} </math>
:<math>\tanh(i\,y) = i\,\tan y </math>
:<math>\coth(x + i\,y) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) - \cos(2y)} + i \, \frac{-\sin(2y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)} </math>
:<math>\coth(i\,y) = -i\,\cot y </math>

== Reihenentwicklungen ==

=== Lambertsche Summenreihe ===
Die [[Lambert-Reihe|Lambertschen Reihen]] beinhalten als Reihensummanden die rationalen Brüche aus den Potenzen mit exponentiellem Wuchs in Relation zum Summenindex. Die Lambertsche L-Funktion ist wie folgt<ref name="MW2">{{MathWorld|id=ReciprocalFibonacciConstant|title=Reciprocal Fibonacci Constant}}</ref> definiert:
:<math>L_{LB}(w) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{w^n}{1 - w^n}</math>
Diese Kürzel wurden verwendet, damit diese Lambertsche Funktion nicht mit der Langevinschen Funktion in diesem Artikel weiter oben verwechselt wird.

Für die Hyperbelfunktionen gelten wie oben genannt diese beiden Formeln:
:<math>\mathrm{coth}(x) = \frac{\exp(2x)+1}{\exp(2x)-1}</math>
:<math>\mathrm{tanh}(x) = \frac{\exp(2x)-1}{\exp(2x)+1}</math>
Die Summenreihen des '''Kotangens hyperbolicus''' und des '''Tangens hyperbolicus''' ergeben die Lambertschen L-Funktionswerte:
:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \bigl[\mathrm{coth}(mn)- 1\bigr] = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{\exp(2mn)-1} = 2\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\exp(-2mn)}{1-\exp(-2mn)} = 2L_{LB}\bigl[\exp(-2m)\bigr]</math>
Mit Hilfe der [[Binomische Formeln|dritten binomischen Formel]] lässt sich folgende weitere Formel hervorbringen:
:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \bigl[1-\mathrm{tanh}(mn)\bigr] = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{\exp(2mn)+1} =</math>
:<math>= 2\biggl[\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\exp(-2mn)}{1-\exp(-2mn)}\biggr] - 4\biggl[\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\exp(-4mn)}{1-\exp(-4mn)}\biggr] = 2L_{LB}\bigl[\exp(-2m)\bigr] - 4L_{LB}\bigl[\exp(-4m)\bigr]</math>
Die [[Erdős-Borwein-Konstante]] entsteht aus folgender Summe mit dem Kotangens hyperbolicus:
:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \left\{\mathrm{coth}\left[\frac{1}{2}\ln(2)n\right]- 1\right\} = 2L_{LB}\left(\frac{1}{2}\right) = 2E</math>
Dabei hat die ''Erdös-Borwein-Konstante'' diese ersten dezimalen Nachkommastellen:
:<math>E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n-1} = 1{,}60669\text{ }51524\text{ }15291\text{ }76378\text{ }\dots</math> ({{OEIS|A065442}})
Die unendliche Summe der Kehrwerte der [[Mersenne-Zahl]]en ergibt die genannte Konstante.

=== Elliptische Produktreihe ===
Wenn Produktreihen aus dem Tangens hyperbolicus mit linearem Verlauf des inneren Eintrags bezüglich des Summenindex aufgestellt werden, dann entstehen elliptische Funktionswerte. Im Folgenden wird eine für alle elliptischen Moduln beziehungsweise numerischen Exzentrizitäten <math> (-1 \leq \varepsilon \leq 1) \,\cap \,\varepsilon \in \R </math> gültige Formel aufgestellt, die in Abhängigkeit vom Modul <math> \varepsilon </math> ein algebraisches Resultat ergibt:
:<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\biggl[ \frac{\pi}{2} \,(2n - 1) \,\frac{K'(\varepsilon)}{K(\varepsilon)} \biggr] = \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1 - q(\varepsilon)^{2n-1}}{1 + q(\varepsilon)^{2n-1}} = \biggl\{\frac{\vartheta_{01}[q(\varepsilon)]}{\vartheta_{00}[q(\varepsilon)]}\biggr\}^{1/2} = \sqrt[8]{1 - \varepsilon^2}</math>
Denn die [[Jacobische Thetafunktion|Jacobischen Thetafunktionen]] <math>\vartheta_{01}</math> und <math>\vartheta_{00}</math> haben folgende Produktreihen:

: <math>\vartheta_{01}(w) = \prod_{n = 1}^{\infty} (1-w^{2n})(1-w^{2n-1})^2</math>
: <math>\vartheta_{00}(w) = \prod_{n = 1}^{\infty} (1-w^{2n})(1+w^{2n-1})^2</math>

Die Mathematiker [[Edmund Taylor Whittaker]] und [[George Neville Watson]] schrieben diese Produktidentitäten in ihrem gemeinsamen Werk<ref>{{MathWorld|JacobiThetaFunctions|Jacobi Theta Functions}}</ref><ref>http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://dlmf.nist.gov/20.5 |titel=DLMF: 20.5 Infinite Products and Related Results |abruf=2022-08-13}}</ref> ''A Course in Modern Analysis'' nieder. Das [[Elliptisches Nomen|Elliptische Nomen]] <math>q(\varepsilon)</math> hat diese Definition:
:<math>q(\varepsilon) = \exp\bigl[-\pi \,K'(\varepsilon) \div K(\varepsilon)\bigr]</math>
Diese Formel wurde bei der zuvor genannten Gleichungskette hervorgebracht:
:<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\left[ \frac{\pi}{2} \,(2n - 1) \,\frac{K'(\varepsilon)}{K(\varepsilon)} \right] = \sqrt[8]{1 - \varepsilon^2}</math>
Nun werden einige Werte in diese Gleichungen eingesetzt:

:{| class="wikitable"
!Modulwerte <math> \varepsilon </math>
!Resultierende Tangens-hyperbolicus-Gleichungen
|-
|<math>\varepsilon = \tfrac{1}{2}\sqrt{2}</math>
|<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\biggl[ \frac{\pi}{2} \,(2n - 1) \biggr] = 2^{-1/8}</math>
|-
|<math>\varepsilon = \sqrt{2} - 1</math>
|<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\biggl[ \frac{\pi}{2} \sqrt{2}\,(2n - 1) \biggr] = (2\sqrt{2}-2)^{1/8}</math>
|-
|<math>\varepsilon = \sin(\tfrac{1}{12}\pi)</math>
|<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\biggl[ \frac{\pi}{2} \sqrt{3}\,(2n - 1) \biggr] = \cos(\tfrac{1}{12}\pi)^{1/4}</math>
|-
|<math>\varepsilon = (\sqrt{2} - 1)^2</math>
|<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\biggl[ \pi\,(2n - 1) \biggr] = 2^{1/16}(2\sqrt{2} - 2)^{1/4}</math>
|-
|<math>\varepsilon = \sin\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin(\sqrt{5} - 2)\bigr]</math>
|<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\biggl[ \frac{\pi}{2} \sqrt{5}\,(2n - 1) \biggr] = \cos\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin(\sqrt{5} - 2)\bigr]^{1/4}</math>
|}

Mit den Werten der [[Elliptische Lambda-Funktion|elliptischen Lambda-Stern-Funktion]] können weitere Werte über genau diese Formel ermittelt werden. Die Werte der Hermiteschen elliptischen Psifunktion erscheinen als Resultate:

:{| class="wikitable"
!Modulwerte <math> \varepsilon </math>
!Resultierende Tangens-hyperbolicus-Gleichungen
|-
|<math>\varepsilon = \lambda^{*}(6) </math>
|<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\biggl[ \frac{\pi}{2} \sqrt{6}\,(2n - 1) \biggr] = \operatorname{sech}\bigl\{\tfrac{1}{2}\operatorname{arsinh}\bigl[(\sqrt{2} - 1)^2\bigr]\bigr\}^{1/4}</math>
|-
|<math>\varepsilon = \lambda^{*}(7) </math>
|<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\biggl[ \frac{\pi}{2} \sqrt{7}\,(2n - 1) \biggr] = \cos\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin(\tfrac{1}{8})\bigr]^{1/4}</math>
|-
|<math>\varepsilon = \lambda^{*}(8)</math>
|<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\left[\pi \,\sqrt{2}\,(2n - 1) \right] = (2\sqrt{2} + 2)^{3/16} \left(\sqrt{\sqrt{2} + 1} - 1\right)^{1/2}</math>
|-
|<math>\varepsilon = \lambda^{*}(9)</math>
|<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\biggl[ \frac{3\pi}{2}(2n - 1) \biggr] = \tfrac{1}{4}\sqrt[8]{32}\,(\sqrt[4]{12} + \sqrt{3} - 1)</math>
|-
|<math>\varepsilon = \lambda^{*}(10)</math>
|<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\biggl[ \frac{\pi}{2} \sqrt{10}\,(2n - 1) \biggr] = \operatorname{sech}\bigl\{\tfrac{1}{2}\operatorname{arsinh}\bigl[(\sqrt{5} - 2)^2\bigr]\bigr\}^{1/4}</math>
|-
|<math>\varepsilon = \lambda^{*}(11)</math>
|<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\biggl[ \frac{\pi}{2} \sqrt{11}\,(2n - 1) \biggr] = 2^{-7/8}\bigl(\sqrt{11} - 3\bigr)^{1/4}\left(\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 2\sqrt{11}} - \tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3} - 2\sqrt{11}} + \tfrac{1}{3}\sqrt{11} + 1\right)</math>
|-
|<math>\varepsilon = \lambda^{*}(12)</math>
|<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\biggl[\pi \,\sqrt{3}\,(2n - 1) \biggr] = \sqrt[8]{1 - \tan(\tfrac{1}{24}\pi)^4}</math>
|-
|<math>\varepsilon = \lambda^{*}(13)</math>
|<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \mathrm{tanh}\biggl[ \frac{\pi}{2} \sqrt{13}\,(2n - 1) \biggr] = \cos\bigl[\tfrac{1}{2}\arcsin(5\sqrt{13} - 18)\bigr]^{1/4}</math>
|}

== Anwendungen in der Physik ==
* Tangens und Kotangens hyperbolicus können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der [[Geschwindigkeit]] beim [[Fall mit Luftwiderstand]] oder auch beim Wurf nach unten zu beschreiben, wenn für den [[Strömungswiderstand]] eine [[turbulente Strömung]] angesetzt wird ([[Newtonsches Reibungsgesetz|Newton-Reibung]]). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form <math>\dot{v} = -g + k v^2</math> mit der [[Schwerebeschleunigung]] ''g'' und einer Konstanten ''k'' > 0 mit der Einheit 1/m. Es gibt dann immer eine Grenzgeschwindigkeit <math>v_\mathrm{g} = -\sqrt{\frac{g}{k}} < 0 </math>, die für <math>t \to \infty</math> erreicht wird, und es gilt:
** beim Fall oder Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit kleiner als die Grenzgeschwindigkeit: <math>v(t) = v_\mathrm{g} \cdot \tanh\left(\sqrt{gk}t + c\right) </math> mit <math>c = \operatorname{artanh} \frac{v(0)}{v_\mathrm{g}} \ge 0 </math>
** beim Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit größer als die Grenzgeschwindigkeit: <math>v(t) = v_\mathrm{g} \cdot \coth\left(\sqrt{gk}t + c\right) </math> mit <math>c = \operatorname{arcoth} \frac{v(0)}{v_\mathrm{g}} > 0 </math>

* In der [[Spezielle Relativitätstheorie|Speziellen Relativitätstheorie]] ist der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit ''v'' und [[Rapidität (Physik)|Rapidität]] <math>\theta</math> gegeben durch <math>v = c \cdot \tanh\theta</math> mit der [[Lichtgeschwindigkeit]] ''c.''

* Der Tangens hyperbolicus beschreibt ferner die thermische Besetzung eines Zwei-Zustands-Systems in der [[Quantenmechanik]]: Ist ''n'' die gesamte Besetzung der beiden Zustände und ''E'' ihr [[Energie]]-Unterschied, so ergibt sich für die Differenz der Besetzungszahlen <math>\delta n = n \cdot \tanh\frac{E}{2k_\mathrm{B}T}</math>, wobei <math>k_\mathrm{B}</math> die [[Boltzmann-Konstante]] und ''T'' die [[absolute Temperatur]] ist.

* Wichtig für die Beschreibung der [[Magnetisierung]] eines [[Paramagnetismus|Paramagneten]] ist die [[Brillouin-Funktion]]:
:<math>B_J(x) = \frac{1}{J}\left[\left(J+\frac{1}{2}\right)\coth\left(J\,x+\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2} \coth\frac{x}{2}\right]</math>

* Der Kotangens hyperbolicus tritt auch in der [[Kosmologie]] auf: Die zeitliche Entwicklung des [[Hubble-Konstante|Hubble-Parameters]] in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur [[Materie (Physik)|Materie]] und [[Dunkle Energie]] enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch <math>H(t) = H_g \coth\frac{t}{t_{ch}}</math>, wobei <math>t_{ch} = \frac{2}{3 H_g}</math> eine charakteristische Zeitskala ist und <math>H_g = \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}} H_0</math> der Grenzwert des Hubble-Parameters für <math>t \to \infty</math> ist (<math>H_0</math> ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, <math>\Omega_{\Lambda,0}</math> der [[Dichteparameter]] für die Dunkle Energie). (Dieses Ergebnis ergibt sich leicht aus dem zeitlichen Verhalten des Skalenparameters, das aus den [[Friedmann-Gleichungen#Spezielle Lösungen|Friedmann-Gleichungen]] abgeleitet werden kann.) Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Dunklen Energie tritt dagegen der Tangens hyperbolicus auf: <math>\Omega_{\Lambda}(t) = \tanh^2(t/t_{ch}) </math>.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=HyperbolicTangent|title=Hyperbolic Tangent}}
* {{MathWorld|id=HyperbolicCotangent|title=Hyperbolic Cotangent}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion]]

Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus - Versionsgeschichte

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