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2023-12-01T18:14:09Z

Was ist das?

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[[Datei:tanc.svg|mini|hochkant=1.3|Die tanc-Funktion im Bereich von −11 bis 11]]
Die '''tanc-Funktion''' oder auch '''Kardinaltangens''' (''Tangens cardinalis'') ist eine [[Mathematik|mathematische]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die durch

:<math>\operatorname{tanc}(x) :=\dfrac{\tan(x)}{x}</math>

definiert ist. Hierbei bezeichnet <math>\tan(x)</math> den gewöhnlichen [[Tangens und Kotangens|Tangens]].<ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/TancFunction.html |titel=Tanc Function |abruf=2020-01-23 |sprache=en}}</ref>

Analog zur gebräuchlicheren [[sinc-Funktion]] wird die Funktion an der [[Stetig behebbare Definitionslücke|hebbaren Definitionslücke]] bei <math>x=0</math> durch ihren Grenzwert <math>\operatorname{tanc}(0) = 1</math> fortgesetzt. Trotz ihrer strukturellen Ähnlichkeit zählt sie nicht zu den ''[[Kardinalfunktionen]]''.<ref>[https://mathworld.wolfram.com/CardinalFunction.html Cardinal Function], Eric W. Weisstein, Wolfram Web Resource.</ref>

== Eigenschaften ==

=== Allgemeines ===
An der [[Stetig behebbare Definitionslücke|hebbaren Singularität]] bei <math>x=0</math> werden die Funktionen durch den Grenzwert <math>\operatorname{tanc}(0)=1</math> bzw. <math>\operatorname{tanc}(0)=1</math> stetig fortgesetzt, der sich aus der [[Regel von de L’Hospital]] ergibt; manchmal wird die Definitionsgleichung auch mit Fallunterscheidung geschrieben:

:<math>\operatorname{tanc}(x)=\begin{cases}
\frac{\tan x}{x}& x\neq 0\vee x\neq \pi n\\
1 & x=0
\end{cases}</math>.

=== Nullstellen ===
Die tanc-Funktion hat ihre [[Nullstellenmenge|Nullstellen]] bei ganzzahligen Vielfachen von <math>\pi</math>:

:<math>\operatorname{tanc}(x) = \frac{\tan (x)}{x}=0</math> gilt für <math> \ x \in \{n\pi \ \mid \ n \in \mathbb Z \setminus \{0\} \}</math>

=== Asymptotisches Grenzverhalten ===
Für <math>x</math>-Koordinaten der Form <math>x_n=\frac{1}{2}+\pi n</math> mit ganzzahligem <math>n</math> hat die <math>\operatorname{tanc}(x_n)</math>-Funktion ein [[Asymptote|asymptotisches Grenzverhalten]], da <math>\tan(x_n)</math> divergiert.

=== Ableitungen ===
Die erste [[Differentialrechnung|Ableitung]] von <math>\operatorname{tanc}(x)</math> ist gegeben durch:

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\;\operatorname{tanc}(x) = \frac{\sec^2(x)}{x} - \frac{\tan (x)}{x^2}</math>

=== Integrale ===
Das Integral vom Kehrwert der tanc-Funktion hat bis zur ersten Nullstelle folgenden Wert:

:<math>\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\operatorname{tanc}(x)} = \frac{\pi}{2}\ln(2)</math>

Dies wird im Folgenden bewiesen:

:<math>\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\operatorname{tanc}(x)} \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \frac{\operatorname{arcsin}(x)}{x} \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{-x^2y^2+1}\,\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x =</math><math>= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{-x^2y^2+1}\,\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \frac{\pi}{2}\,\frac{y}{\sqrt{1-y^2}(1+\sqrt{1-y^2})} \,\mathrm{d}y = \frac{\pi}{2}\ln(2)</math>

== Abgrenzung ==
Die <math>\operatorname{tanc}(x)</math> hat strukturell große Ähnlichkeit zu der <math>\operatorname{sinc}(x)</math>-Funktion, ist allerdings keine Kardinalfunktion, hat aber Definitionslücken bei <math>(n+\frac{1}{2})\pi</math>. Daher ist bspw. in der Physik die Verwendung von <math>\operatorname{sinc}(x)</math> gebräuchlicher.

== Weblinks ==
* [https://mathworld.wolfram.com/TancFunction.html Information zur Tanc-Funktion bei Wolfram Research]

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Tanc-Funktion - Versionsgeschichte

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