77.4.36.10: gr. Dativ

2022-10-11T05:52:55Z

gr. Dativ

Neue Seite

Das '''Tafelintervall''' von tabellierten [[Rechenhilfsmittel]]n ist neben der Anzahl der [[Dezimalstelle]]n die wichtigste Kennzahl von [[Tafelwerk (Buch)|Tafelwerk]]en, z. B. von [[Winkelfunktion]]s- oder [[Logarithmentafel]]n, astronomischen [[Ephemeride]]n oder Hilfstafeln für das [[Erdellipsoid]].

Als Tafelintervall wird die Schrittweite jenes [[Funktion (Mathematik)|Argument]]s bezeichnet, mit dem man in die [[Tabelle]] eingeht. Beispielsweise ist dies für Winkelfunktionen der [[Winkel]] selbst, für vorausberechnete [[Planet]]en das [[Kalenderdatum|Datum]].

== Effizienz der Benutzung ==
Ein ausgewogenes Verhältnis zwischen dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] und der Stellenanzahl eines [[Tabellenwerk]]es ist für die [[Wirkungsgrad|Effizienz]] und Geschwindigkeit des Nachschlagens wesentlich, weil man bei höherer Genauigkeit zwischen den tabellierten Werten [[Interpolation (Mathematik)|interpolieren]] muss.

Eine Ausnahme sind lediglich drei- oder vierstellige Tabellen, bei denen man jeden Wert ''direkt'' entnehmen kann.

Bei mehr als 5 Dezimalen will das Tafelintervall bereits gut überlegt sein, wenn die Zahlen nicht mehrere [[Band (Buch)|Bände]] füllen sollen:
* Ist das Intervall zu groß, so genügt die [[Interpolation (Mathematik) #Lineare Interpolation|lineare Interpolation]] zwischen den Spalten nicht mehr, sodass der Benutzer auf die zeitaufwendige [[Polynominterpolation|quadratische Interpolation]] übergehen muss.
* Ist das Tafelintervall hingegen zu fein, so wächst die Größe der Tabelle bzw. der Umfang des Buches rasch an – bis hin zur Unbenutzbarkeit oder zum raschen [[Verschleiß]] eines ''zu dicken'' Buches.

== Zahlenbeispiel aus dem „Vega-Bremiker“ ==
Als Beispiel für ein sehr effizientes und ausgewogenes Tafelwerk möge der 7-stellige ''[[Vega-Bremiker]]'' dienen. Diese von 1795 bis etwa 1960 in über 100 [[Auflage (Publikation)|Auflage]]n publizierte Logarithmentafel
''[[Logarithmisch]]-[[Trigonometrie|trigonometrische Tafeln]], nebst andern zum Gebrauch der Mathematik eingerichteten Tafeln und Formeln''
wurde 1793–97 vom [[Slowenien|slowenisch]]-[[österreich]]ischen Offizier [[Jurij Vega|Freiherrn von Vega]] für die [[Militärtechnik]] berechnet und verbreitete sich rasch in den verschiedenen Fachgebieten und Anwendungen.

Der trigonometrische Teil des „Vega-Bremiker“ (Teile II und III) enthält die Winkelfunktionen [[Sinus]] und [[Tangens]], und zwar in 2 Abstufungen:
* für Winkel von 0° bis 5° im Tafelintervall 1" (d. h. 1 [[Winkelsekunde]]), insgesamt <math>5 \cdot 60^2 = 18000</math> Einträge
* für Winkel von 0° bis 45° (infolge der Co-Funktionen de facto bis 90°) im Tafelintervall 10", insgesamt <math>45 \cdot 60 \cdot 6 = 16200</math> Einträge.
Wie klug diese Wahl schon vor über 200 Jahren getroffen wurde, zeigen einige Werte der Logarithmen (vermehrt um 10):

log sin Tafeldiff. log tan
Intervall 1" und
2°00'00" 8,542 8192 (603 604) 8,543 0838 Tafeldifferenzen von 600:
2 00 01 8,542 8795 603 603 8,543 1442 zur Interpolation auf 0,01"
2 00 02 8,542 9397 602 603 8,543 2045 genügt [[Rechenschieber]],
2 00 03 8,543 0000 603 604 8,543 2649 für 0,1" kurze [[Kopfrechnung]].

4°00'00" 8,843 5845 (301 302) 8,844 6437 Die Tafeldifferenz ist
4 00 01 8,843 6146 301 303 8,844 6740 nur mehr halb so groß,
4 00 02 8,843 6447 301 302 8,844 7042 deshalb bei 5° Übergang
4 00 03 8,843 6748 301 303 8,844 7345 auf 10" Tafelintervall:

6°00'00" 9,019 2346 (2004 2026) 9,021 6202 Intervall 10":
6 00 10 9,019 4348 2002 2025 9,021 8227 Bis 45° sinken die Tafel-
6 00 20 9,019 6350 2002 2024 9,022 0251 differenzen auf 210 und 420,
6 00 30 9,019 8351 2001 2023 9,022 2274 sind also noch sinnvoll.

Theoretisch könnte man mehrere Abstufungen vornehmen und damit den Umfang des Buches (das 4,5 cm dick ist) etwas reduzieren – beispielsweise
0 - 5° Tafelintervall  1" (wie oben)
5 - 10° Tafelintervall  5" (statt 10" wie oben)
10 - 25° Tafelintervall 10" (wie oben)
25 - 45° Tafelintervall 20" (statt 10" wie oben)

Die Tafeldifferenzen, zwischen denen jeweils zu interpolieren ist, würden dadurch gleichmäßiger – z. B. für den Sinus (2-45°) etwa im Bereich 250-900 (statt Vega-Bremiker 210-2400) .. und das Buch etwa 15 % dünner. Dieser geringe Vorteil hätte aber eine starke Zunahme der [[Rechenfehler]] zur Folge, weil die überschaubare Abstufung (1 : 10) ersetzt würde durch mehrere ''unrunde'' Stufen (1 : 5 : 10 : 20).

== Heutige Bedeutung von Tafelwerken ==
Seit dem Aufkommen elektronischer [[Taschenrechner]] in den 1970er Jahren haben die o. e. Logarithmentafeln zwar stark an Bedeutung verloren, doch sind ähnliche Tafelwerke immer noch wichtig für verschiedene [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] wie harmonische [[Kugelflächenfunktionen]], [[Elliptisches Integral|elliptische Integrale]] oder zur Lösung [[transzendente Gleichung| transzendenter Gleichungen]]. Auch als Hilfstafeln für komplexe Aufgaben der Technik, der [[Statik (Physik)|Statik]] usw. besitzen sie bleibende Bedeutung.

In der [[Geschichte der Mathematik]] und der [[Technikgeschichte]] war die optimale Wahl von Tafelintervallen eine wichtige Aufgabe bei der Vorbereitung verschiedener Berechnungen. Auch heute zeigt jedes [[Astronomisches Jahrbuch|Astronomische Jahrbuch]] dem erfahrenen Benutzer, ob dieser Wahl genügendes Augenmerk gewidmet wurde.

== Variable Geschwindigkeit der Planeten ==
Als Beispiel mögen die [[Ephemeride]]n (Vorausberechnungen) der 5 hellen Planeten [[Merkur (Planet)|Merkur]] bis [[Saturn (Planet)|Saturn]] für das Jahr 2008 dienen. Diese [[freiäugig]] sichtbaren Planeten haben [[Umlaufzeit]]en zwischen 0,24 und 30 Jahren. Im üblichen Tafelintervall von 10 Tagen bewegt sich Merkur am Sternhimmel um bis zu 20° weiter, [[Venus (Planet)|Venus]] und [[Mars (Planet)|Mars]] um etwa 10°, [[Jupiter (Planet)|Jupiter]] und [[Saturn (Planet)|Saturn]] nur mehr um maximal 2,5° bzw. 1°. Daher ist es sinnvoll, die Tafelintervalle diesen Geschwindigkeiten anzupassen.

Der deutsche [[Kalender für Sternfreunde]] tut dies nur für Merkur (5-Tage-Intervalle), während die anderen vier Planeten in 10-Tages-Intervallen tabelliert sind. Ein sehr praxisorientiertes Jahrbuch, der [[Österreichischer Himmelskalender|österreichische Himmelskalender]], benutzt hingegen Zeit recht nützlich, weil man meist nur in Viertel eines Intervalls interpolieren muss und dies im Kopf leichter als mit Zehnteln ist.

== Quellen ==
* [[Vega-Bremiker]], ''Logarithmisch-trigonometrisches Handbuch''. 100. Auflage, Weidmannsche Verlagsbuchhandlung, Berlin 1959.
* Th.Neckel, O.Montenbruck, ''Ahnerts Astronomisches Jahrbuch 2008''. Sterne und Weltraum-Verlag, Heidelberg 2007.
* H.Mucke, ''Himmelskalender 2008''. Österreichischer Astroverein, Wien 2007.

[[Kategorie:Rechenhilfsmittel]]
[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

Tafelintervall - Versionsgeschichte

77.4.36.10: gr. Dativ