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2025-07-06T11:47:50Z

Math-Umgebung, schönere Subscripts und Pfeile

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{{SEITENTITEL:T1-Raum}}
In der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und verwandten Gebieten der [[Mathematik]] sind '''T1-Räume''' spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Das <math>T_1</math>-Axiom ist ein Beispiel eines [[Trennungsaxiom]]s.

== Definition ==
Sei <math>X</math> ein [[topologischer Raum]]. <math>X</math> heißt ''<math>T_1</math>-Raum'', falls für zwei beliebige Punkte jeder eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] besitzt, in der der andere nicht liegt. Zur Abgrenzung: Bei einem [[T0-Raum|T0-Raum]] muss nur einer der beiden Punkte eine solche Umgebung besitzen, bei einem [[T2-Raum|T2-Raum]] müssen die beiden Umgebungen disjunkt gewählt werden können. Man sagt auch, dass ein <math>T_1</math>-Raum eine ''Fréchet-Topologie'' besitzt. Zu vermeiden ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung [[Fréchet-Raum]], die ein Begriff aus der [[Funktionalanalysis]] ist.

== Eigenschaften ==
Sei <math>X</math> ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:
* <math>X</math> ist ein <math>T_1</math>-Raum.
* <math>X</math> ist ein [[Kolmogoroff-Raum]] und ein [[R0-Raum|R0-Raum]].
* Alle einpunktigen Mengen in <math>X</math> sind [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]].
* Jede endliche Menge ist abgeschlossen.
* Jede Menge mit endlichem [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] ist [[Offene Menge|offen]].
* Jeder [[Elementarfilter]] zu einem beliebigen <math>x\in X</math> konvergiert nur gegen <math>x</math>.
* Für jede [[Teilmenge]] <math>S\subseteq X</math> gilt, dass ein Element <math>x</math> aus <math>X</math> genau dann ein [[Häufungspunkt]] von <math>S</math> ist, wenn jede offene Umgebung von <math>x</math> unendlich viele Elemente von <math>S</math> enthält.

In topologischen Räumen gelten immer folgende Implikationen
:getrennt <math>\implies</math> topologisch unterscheidbar <math>\implies</math> disjunkt
Falls der erste Pfeil umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen [[R0-Raum|R0-Raum]], genau in einem [[Kolmogoroff-Raum|T0-Raum]] gilt dies auch für die zweite Implikation. Damit sieht man, dass ein topologischer Raum genau dann <math>T_1</math> erfüllt, wenn er sowohl ein <math>R_0</math>-Raum und ein <math>T_0</math>-Raum ist.

== Beispiele ==
Die [[Zariski-Topologie]] auf einer [[Algebraische Varietät|algebraischen Varietät]] (im klassischen Sinne) ist T1. Um das zu sehen, betrachten wir einen Punkt mit lokaler Koordinate <math>(c_1,\ldots, c_n)</math>. Die dazugehörige einpunktige Menge ist die [[Nullstellenmenge]] der Polynome <math>X-c_1,\ldots,X-c_n</math>. Der Punkt ist somit abgeschlossen.

Für ein weiteres Beispiel betrachten wir die [[kofinite Topologie]] auf einer abzählbaren Menge, etwa der Menge der ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math>. Als offene Menge definieren wir genau die [[leere Menge]] und die Mengen mit endlichem Komplement. Sie haben also alle die Gestalt <math>O_A = \Z \setminus A</math> mit einer endlichen Menge ''A''. Seien nun ''x'' und ''y'' zwei verschiedene Punkte. Die Menge <math>O_{\{y\}}</math> ist eine offene Menge, die ''x'' enthält und ''y'' nicht. Andererseits enthält <math>O_{\{x\}}</math> das Element ''y'', aber ''x'' nicht. Somit handelt es sich tatsächlich um einen T1-Raum. Dies kann man aber auch aus der Tatsache folgern, dass einelementige Mengen abgeschlossen sind. Dieser Raum ist aber kein T2-Raum. Denn für zwei endliche Mengen ''A'' und ''B'' gilt <math>O_{A}\cap O_{B} = O_{A\cup B}</math>, was nie leer sein kann. Weiter ist die Menge der geraden Zahlen kompakt, aber nicht abgeschlossen, was in einem T2-Raum nie der Fall sein kann.

Allgemeiner gilt für jeden topologischen Raum, der das T1-Axiom erfüllt, dass seine Topologie bereits die kofinite Topologie umfasst. Die kofinite Topologie ist somit die gröbste T1-Topologie auf einer Menge.

== Literatur ==
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie'' (= ''Springer-Lehrbuch''). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.

{{Navigationsleiste Topologie}}

{{SORTIERUNG:T1raum}}

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Trennbarkeit]]

T1-Raum - Versionsgeschichte

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