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2025-03-29T13:27:02Z

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Eine '''T-Norm''', oft auch klein ''t-Norm'', ist eine [[Funktion (Mathematik)|mathematische Funktion]], die im Bereich [[Mehrwertige Logik|mehrwertiger Logiken]], insbesondere in der [[Fuzzy-Logik]], Bedeutung erlangt hat. Der Begriff leitet sich vom Englischen ''triangular norm'', zu Deutsch ''Dreiecksnorm'' ab, und rührt daher, dass eine T-Norm eine dreiecksähnliche Fläche im <math>\mathbb{R}^3</math> beschreibt.

== Eigenschaften ==

Eine T-Norm ist auf dem [[Einheitsintervall]] [0,1] definiert

<math>T : [0,1] \times [0,1] \rightarrow [0,1]</math>

und muss folgende Eigenschaften aufweisen (zur exakten Definition dieser Eigenschaften siehe die Tabelle zu T-Norm und T-Conorm am Ende dieses Artikels):

* [[Assoziativität]]: T(''a'', T(''b'', ''c'')) = T(T(''a'', ''b''), ''c'')
* [[Kommutativität]]: T(''a'', ''b'') = T(''b'', ''a'')
* [[Monotonie (Logik)|Monotonie]]: T(''a'', ''b'') ≤ T(''c'', ''d''), falls ''a'' ≤ ''c'' und ''b'' ≤ ''d''
* 1 ist [[neutrales Element]]: T(''a'', 1) = ''a''

Die T-Norm dient dazu, für [[Mehrwertige Logik|mehrwertige Logiken]] einen verallgemeinerten [[Konjunktion (Logik)|Konjunktions]]-[[Operator (Mathematik)|Operator]] zu stellen. Die oben genannten Eigenschaften sind gleichsam allgemeinste Eigenschaften eines solchen Operators: Assoziativität und Kommutativität sind selbstverständlich. Die Monotonie garantiert eine gewisse Regelmäßigkeit in der Struktur von Definitions- und Zielmenge. Die „1“ als neutrales Element ermöglicht Konjunktionen, deren Ergebnis nur von einem Operanden abhängt.

Diese Eigenschaften werden im Zusammenhang mit [[Fuzzy-Menge]]n verwendet, um die [[Schnittmenge]]n-Operation nachzubilden.

== T-Conormen ==
Komplementär zu T-Normen werden ''T-Conormen'' (auch ''S-Normen'' genannt) verwendet, als [[Bezeichner]] ist entsprechend ⊥ oder S üblich:
:<math>\bot(a,b) = 1-\top(1-a, 1-b).</math>
Mit Hilfe der [[De Morgansche Gesetze|De Morganschen Gesetze]] lässt sich auf der Basis einer T-Norm, welche Konjunktion bzw. Schnittmenge liefert, und einer [[Negation]] die [[Disjunktion]]s- bzw. die [[Vereinigungsmenge]]n-Operation ableiten.

Verallgemeinerung: Es kann ein anderer als der Standard-Negator
:<math>\operatorname{n}(x) = 1-x</math>
verwendet werden. Damit wird obige Beziehung verallgemeinert zu
:<math>\bot(a,b) = \operatorname{n}(\top(\operatorname{n}(a), \operatorname{n}(b))).</math>
Die Mindestanforderungen an einen Negator sind im Allgemeinen: Monotonie (fallend), n(0)=1, n(1)=0. 
In diesem Zusammenhang wird aber ''strenge'' Monotonie und Involutivität n(n(''x'')) = x, d. h. n = n−1, gefordert: 
Das Tripel <math>(\top,\bot,n)</math> heißt dann De-Morgan-Triplett.

== Geläufige T-Normen und T-Conormen ==
<math>\begin{matrix}
\mathrm{\top_{min}}(a, b) &=& \min \{a, b\} &
\mathrm{\bot_{max}}(a, b) &=& \max \{a, b\} \\ \\
\mathrm{\top_{Luka}}(a, b) &=& \max \{0, a+b-1\} &
\mathrm{\bot_{Luka}}(a, b) &=& \min \{a+b, 1\} \\ \\
\mathrm{\top_{prod}}(a, b) &=& a \cdot b &
\mathrm{\bot_{sum}}(a, b) &=& a+b- a \cdot b \\ \\
\mathrm{\top_{-1}}(a, b) &=& \left\{\begin{matrix}a, & \mbox{falls }b=1 \\
b, & \mbox{falls }a=1 \\
0, & \mbox{sonst}\end{matrix} \right. &
\mathrm{\bot_{-1}}(a, b) &=& \left\{\begin{matrix}a, & \mbox{falls }b=0 \\
b, & \mbox{falls }a=0 \\
1, & \mbox{sonst}\end{matrix}\right.
\end{matrix}</math>

Die angegebenen T-Conormen sind jeweils bezüglich der Standardnegation N(x)=1-x zur entsprechenden T-Norm dual, also über die De Morganschen Gesetze verknüpft. Mit anderen [[Involution (Mathematik)|involutiven]] Negationen ergeben sich im Allgemeinen auch andere T-Conormen.

Die erstgenannte wird wegen ihrer Einfachheit und ihrer unten genannten Eigenschaften am häufigsten eingesetzt. Die 3. T-Norm, sowie deren T-Conorm kommen aus der [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
Weiterhin gelten folgende Zusammenhänge:

<math>\begin{matrix}
\mathrm{\top_{-1}}(a, b) & \le & \top(a, b) & \le & \mathrm{\top_{min}}(a, b) \\
\mathrm{\bot_{max}}(a, b) & \le & \bot(a, b) & \le & \mathrm{\bot_{-1}}(a, b)
\end{matrix}</math> D. h., dass die drastische T-Norm (T-1) die kleinste und die Minimum-T-Norm die größte ist. Umgekehrtes gilt für die T-Conorm. T(a, b) bzw. ⊥(a, b) steht hierbei für jede beliebige T-Norm bzw. T-Conorm.

== Zusammenhänge zwischen T-Norm und T-Conorm ==
Aufgrund der schon erwähnten De Morganschen Gesetze ergeben sich folgende komplementären Zusammenhänge:

: 1-⊥(a,b) = T(1-a, 1-b)     und     1-T(a,b) = ⊥(1-a, 1-b)

Den obigen Axiomen für T-Normen entsprechen folgende Bedingungen für eine T-Conorm:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!
! style="text-align:left; background:#F0F0F0;"| T-Norm
! style="text-align:left; background:#F0F0F0;"| T-Conorm
|-
| style="background-color:#F0F0F0" | Nullelement:
| T(0,a) = T(a,0) = 0
| ⊥(a,1) = ⊥(1,a) = 1
|-
| style="background-color:#F0F0F0" | Neutrales Element:
| T(a,1) = T(1,a) = a
| ⊥(0,a) = ⊥(a,0) = a
|-
| style="background-color:#F0F0F0" | Assoziativität:
| T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)
| ⊥(a,⊥(b,c)) = ⊥(⊥(a,b),c)
|-
| style="background-color:#F0F0F0" | Kommutativität:
| T(a,b) = T(b,a)
| ⊥(a,b) = ⊥(b,a)
|-
| style="background-color:#F0F0F0" | Monotonie:
| a ≤ b ⇒ T(a,c) ≤ T(b,c)
| a ≤ b ⇒ ⊥(a,c) ≤ ⊥(b,c)
|}
Diese Beziehungen gelten nicht nur für den Standard-Negator, sondern für jedes De-Morgan-Triplett.

== Zusammenhang zwischen T-Norm und Copula ==
Eine T-Norm hat die ''positive Rechteck-Eigenschaft'', wenn für <math>a_1\le a_2, b_1\le b_2</math> gilt:
:<math> \mathrm{\top}(a_1,b_1)+\mathrm{\top}(a_2,b_2)-\mathrm{\top}(a_1,b_2)-\mathrm{\top}(a_2,b_1)\ge 0</math>
Jede T-Norm mit positiver Rechteck-Eigenschaft ist eine bivariate [[Copula (Mathematik)|Copula]] (siehe Grabisch et al. 2009). Von obigen Beispielen sind <math>\mathrm{\top_{min}}, \mathrm{\top_{Luka}}, \mathrm{\top_{prod}}</math> gleichzeitig Copulae, <math>\mathrm{\top_{-1}}</math> jedoch nicht.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Frank Klawonn, Rudolf Kruse, Andreas Nürnberger |Titel=Fuzzy-Regelung: Grundlagen, Entwurf, Analyse |Verlag=Springer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=3-642-55812-7 |Seiten=15 ff. |Online={{Google Buch |BuchID=i-qGRdUakhYC |Seite=15}}}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Stöcker]] |Titel=Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren |Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]] |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2007 |ISBN=978-3-8171-1811-3 |Seiten=727 f. |Online={{Google Buch |BuchID=SEUOgXkZVD4C |Seite=727}}}}
* {{Literatur |Autor=Siegfried Gottwald |Titel=Mehrwertige Logik: Eine Einführung in Theorie und Anwendungen |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum=1989 |ISBN=3-05-000765-6 |Seiten=172 f. |Online={{Google Buch |BuchID=MePG64AJ5C4C |Seite=172}}}}
* {{Literatur |Autor=Grabisch,M., Marichal,J.-L., Mesiar,R. and E. Pap |Titel=Aggregation Functions |Verlag=Cambridge University Press |Datum=2009 |ISBN=978-0-521-51926-7 |Seiten=56 f. |Sprache=en |Online={{Google Buch |BuchID=gueKp7j49SMC |Seite=1}}}}

[[Kategorie:Fuzzylogik]]

T-Norm - Versionsgeschichte

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