imported>Mathze: Änderung 256433435 von 176.6.130.161 rückgängig gemacht; Keine sprachliche Verbesserung

2025-05-29T09:08:20Z

Änderung 256433435 von 176.6.130.161 rückgängig gemacht; Keine sprachliche Verbesserung

Neue Seite

'''Synthetische Geometrie''' ist der Zweig der [[Geometrie]], der von geometrischen Axiomen und [[Theorem]]en ausgeht und häufig [[Synthese|synthetische]] Betrachtungen bzw. Konstruktionsmethoden benutzt – im Unterschied zur [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]], in der [[Algebraische Struktur|algebraische Strukturen]] wie [[Körper (Algebra)|Körper]] und [[Vektorraum|Vektorräume]] bereits zur ''Definition'' von geometrischen Strukturen verwendet werden.

Die moderne synthetische Geometrie geht von axiomatisch formulierten „geometrischen“ Grundsätzen aus, die die geometrischen Objekte, ''Punkte'', ''Geraden'', ''Ebenen'' usw. implizit durch ihre Beziehungen zueinander definieren, und untersucht die logischen Abhängigkeiten zwischen unterschiedlich formulierten Axiomensystemen. Dabei werden die geometrischen Axiome meistens durch algebraische Strukturen (Koordinatenmengen im weitesten Sinne oder strukturerhaltende Abbildungen, wie [[Kollineation]]en) modelliert und damit in die moderne Mathematik eingegliedert, die auf der [[Mengenlehre]] beruht und aus dem [[Anschauungsraum]] geschöpfte [[Evidenz (Philosophie)|Evidenz]]argumente, wie sie für [[Euklid]] noch selbstverständlich waren, aus Beweisen ausschließt.

== Geschichte ==
Die ''Geometrie des Euklid'' war im Wesentlichen synthetisch, auch wenn sich nicht alle seine Werke der ''reinen Geometrie'' widmeten. Sein Hauptwerk „[[Elemente des Euklid|Elemente]]“ baut die gesamte Mathematik auf geometrischen Grundlagen auf. Auch Zahlen werden zunächst als Verhältnisse von Längen etabliert und ihre Beziehungen geometrisch begründet.

Der umgekehrte Ansatz der analytischen Geometrie, in der geometrische Objekte erst durch Zahlen und Gleichungen – [[Koordinatensystem|Koordinaten]] – und später durch allgemeinere algebraische Strukturen ''definiert'' werden, ist im 17. Jahrhundert durch die [[Rezeption (Kultur)|Rezeption]] der Werke von [[René Descartes]] in der Mathematik vorherrschend geworden – vermutlich gehen die wesentlichen Ideen dazu auf andere Wissenschaftler zurück, siehe dazu den Abschnitt zur Mathematik bei [[René Descartes#Mathematik|Descartes]]. Der analytische Ansatz hat danach Verallgemeinerungen der euklidischen Geometrie angestoßen und vielleicht erst ermöglicht.

Die in der Einleitung beschriebene moderne synthetische Geometrie ''nach'' Descartes beschäftigte sich intensiv mit der Frage nach den logischen Voraussetzungen und Folgerungen des [[Parallelenaxiom]]s. Dies führte zu [[Nichteuklidische Geometrie|nichteuklidischen Geometrien]], zur [[Elliptische Geometrie|elliptischen]] und [[Hyperbolische Geometrie|hyperbolischen Geometrie]] und zu gemeinsamen Verallgemeinerungen in der [[Absolute Geometrie|absoluten Geometrie]].

Einen Höhepunkt erreichte die moderne synthetische Geometrie im [[19. Jahrhundert]] u. a. mit den Beiträgen von [[Jakob Steiner]] zur [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]].

== Geometrische Axiome ==
Da die synthetische Geometrie die axiomatischen Voraussetzungen für „Geometrie“ in einem sehr allgemeinen Sinn auslotet, gibt es hier eine Vielzahl von Axiomen, die nach unterschiedlichen Gesichtspunkten klassifiziert werden können.

* [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie]] hat 5 Gruppen von Axiomen, mit denen die Voraussetzungen für Sätze der „klassischen“ Geometrie (in der reellen Ebene und im dreidimensionalen reellen Raum) untersucht werden können.
** Meistens werden zunächst „Inzidenzaxiome“ vorausgesetzt, deren Gruppe (Gruppe I) auch bei Hilbert und Euklid grundlegend ist. Auf der Grundlage der [[Inzidenzgeometrie]] kann man sowohl [[Absolute Geometrie|absolute]] als auch [[Projektive Geometrie|projektive]] und [[affine Geometrie]]n aufbauen. Im affinen Fall werden häufig [[affine Ebene]]n, im projektiven [[projektive Ebene]]n untersucht. Die affinen und projektiven Geometrien stehen auch beim weiteren Aufbau der Geometrien durch ''projektive Erweiterung'' einer affinen bzw. ''Schlitzen'' einer projektiven Ebene in vielfältiger Beziehung.
** Die Gruppe II der Hilbertschen Axiome, die ''Axiome der Anordnung'', führen in gewissen affinen Ebenen zur Einführung von ''Zwischenbeziehungen'' für Punkte auf einer Geraden und zu Seiteneinteilungen und Halbebenen, die durch [[Seiteneinteilung]]sfunktionen definiert sind. Eine ''schwache'' Seiteneinteilung ist in einer ''pappusschen'' Ebene genau dann möglich, wenn deren Koordinatenkörper einen nichttrivialen quadratischen [[Charakter (Mathematik)|Charakter]] erlaubt, eine ''starke'' Anordnung genau dann, wenn der Koordinatenkörper eine [[Geordneter Körper|Körperanordnung]] zulässt.
** Die Gruppe III, die Axiome der Kongruenz, werden in der neueren Literatur als Eigenschaften von [[Untergruppe]]n in der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] der [[Kollineation]]en einer affinen Ebene behandelt und daher nicht mehr in der klassischen Form zugrunde gelegt. Stattdessen kann auch eine [[Präeuklidische Ebene|Orthogonalitätsrelation]] eingeführt und untersucht werden.
** Das Parallelenaxiom, das bei Hilbert eine eigene Gruppe IV bildet, wird in der neueren Literatur zu den Inzidenzaxiomen gerechnet. In der absoluten Geometrie entfällt es ganz, in der projektiven Geometrie wird es durch Inzidenzaxiome ersetzt, die seine Gültigkeit ausschließen.
** Die Axiome der Stetigkeit (Gruppe V bei Hilbert) werden in der neueren Literatur zur synthetischen Geometrie durch die schwächeren Axiome einer [[Euklidischer Körper|euklidischen Ebene]] ersetzt, in der die Möglichkeiten der klassischen [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstruktionen mit Zirkel und Lineal]] untersucht werden können.
* ''Schließungssätze'' der euklidischen Geometrie sind Axiome in der synthetischen Geometrie: Der [[Satz von Desargues]] und seine Spezialfälle und der [[Satz von Pappos]] entsprechen umkehrbar eindeutig unterschiedlichen Verallgemeinerungen des üblichen Koordinatenbegriffs für affine und auch für projektive Ebenen. Für einen Überblick siehe den Artikel über [[Ternärkörper]], eine Begrifflichkeit der [[Geometrische Algebra|Geometrischen Algebra]], die bestimmte Klassen von affinen und projektiven Geometrien hinreichend algebraisieren kann. Für eine vollständige isomorphe algebraische Beschreibung von Modellklassen synthetischer Geometrien einschließlich der genannten Schließungssätze sei auf den Hauptartikel [[Geometrische Relationenalgebra]] verwiesen.
* Der Satz von Desargues kann in mindestens dreidimensionalen Räumen aus sehr schwachen Inzidenzaxiomen sowohl für [[Affiner Raum|affine]] als auch für [[Projektiver Raum|projektive Räume]] bewiesen werden. Das ist einer der Gründe, aus denen die synthetische Geometrie besonders ''ebene'' Strukturen untersucht (siehe dazu auch [[Axiom von Veblen-Young]]).

== Rechnergestützte synthetische Geometrie ==
Obwohl die Beschäftigung mit Problemen der analytischen Geometrie der Schwerpunkt insbesondere der [[computer]]-gestützten [[Algorithmische Geometrie|algorithmischen Geometrie]] ist, wird in diesem Rahmen auch synthetische Geometrie (''computational synthetic geometry''<ref>{{Literatur |Autor=Jürgen Bokowski, [[Bernd Sturmfels]] |Titel=Computational synthetic geometry |TitelErg=Lecture Notes in Mathematics 1355 |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1988 |ISBN=0-387-50478-8}}</ref>) betrieben. Dabei wird zum Beispiel untersucht, zu welchen ''Ordnungen'' (Anzahl der Elemente einer Geraden) endliche Inzidenzebenen existieren können (siehe dazu [[Blockplan]]).

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Euklid
|Titel=Die Elemente – Bücher I–XIII. Herausgegeben und übersetzt von [[Clemens Thaer]]
|Auflage=4.
|Verlag=Harri Deutsch
|Ort=Frankfurt am Main
|Datum=2003
|ISBN=3-8171-3413-4
|Kommentar=zuerst erschienen 1933–1937}}
* {{Literatur
|Autor=Benno Artmann
|Titel=Euclid – The Creation of Mathematics
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin / Heidelberg
|Datum=1999
|ISBN=0-387-98423-2}} – englischsprachige Einführung in Aufbau und Beweistechnik der Elemente
* {{Literatur
|Autor=Jürgen Bokowski, [[Bernd Sturmfels]]
|Titel=Computational synthetic geometry
|TitelErg=Lecture Notes in Mathematics 1355
|Verlag=Springer
|Ort=New York
|Datum=1988
|ISBN=0-387-50478-8}}
* {{Literatur
|Autor=[[Gino Fano]]
|Titel=Gegensatz von synthetischer und analytischer Geometrie in seiner historischen Entwicklung im XIX. Jahrhundert. In: Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Dritter Band in drei Teilen: Geometrie
|Verlag=Teubner
|Ort=Leipzig
|Datum=1910
|Online=[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN360609635 Volltext] beim Göttinger Digitalisierungszentrum
|Format=PDF
|KBytes=}}
* {{Literatur
|Autor=[[David Hilbert]]
|Titel=Grundlagen der Geometrie
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1999
|ISBN=3-519-00237-X
|OrtEA=Leipzig
|JahrEA=1899}}
* {{Literatur
|Autor=Jeremy Gray
|Titel=Worlds out of nothing: a course of the history of geometry of the 19. Century
|Verlag=Springer
|Ort=
|Datum=2007
|ISBN=978-0-85729-059-5}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4508971-1}}

[[Kategorie:Synthetische Geometrie| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Synthetische Geometrie - Versionsgeschichte

imported>Mathze: Änderung 256433435 von 176.6.130.161 rückgängig gemacht; Keine sprachliche Verbesserung