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2024-11-28T19:20:21Z

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In der [[Mathematik]] heißt ein [[Polynom]] in mehreren [[Unbestimmte]]n '''symmetrisch''', wenn man die Unbestimmten untereinander vertauschen kann, ohne das Polynom zu verändern.

== Formale Definition ==
Es sei <math>n\ge 0</math> eine [[natürliche Zahl]], <math>A</math> ein [[Ring mit Eins]] und <math>P:=A[x_1,\ldots,x_n]</math> der [[Polynomring]] in <math>n</math> [[Unbestimmte]]n über <math>A</math>. Dann heißt ein Polynom<ref group="Anm">In älterer Literatur ist mit gleicher Bedeutung auch von „symmetrischen Funktionen“ die Rede, z. B: im Lehrbuch ''Algebra I'' von [[Bartel Leendert van der Waerden]]. Hintergrund dieser heute nicht mehr üblichen Terminologie ist, dass seinerzeit die Unterscheidung zwischen „formalen“ Polynomen <math>f(X)</math>, die Elemente des Polynomrings <math>R^{(\N)}</math>, einer Polynomalgebra <math>K^{(\N)}</math>oder eines Polynommoduls <math>M^{(\N)}</math>sind, und den durch Einsetzen entstehenden Polynomfunktionen (Abbildungen) <math>f\colon I \to A, x \mapsto f(x)</math> (mit <math>A \in\{R, K, M\} </math> und <math>I\subset R</math> bzw. <math>I\subset K</math>) in der Terminologie nicht getroffen wurde. Stattdessen wurde dann häufig die Unbestimmtheit der Variablen („Unbestimmte“ <math>X</math>) betont, wenn anstelle von Funktionen von Polynomen die Rede sein sollte.</ref> <math>p\in P</math> '''symmetrisch in''' <math>x_1,\ldots,x_n</math>, wenn
: <math>p(x_{\pi(1)},\ldots,x_{\pi(n)})=p(x_1,\ldots,x_n)</math>       <big>(1)</big>
für alle [[Permutation]]en <math>\pi</math> aus der [[symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_n</math>
gilt.

Fall <math>n = 0</math>: Die Gruppe <math>S_0</math> ist [[leere Menge|leer]], also ist <big>(1)</big> für alle <math>\pi\in S_0</math> und damit auch für alle „Polynome“ aus <math>P=A</math> erfüllt.

Fall <math>n = 1</math>: Die Gruppe <math>S_1</math> besteht ausschließlich aus der [[identische Abbildung|identischen Abbildung]], die jedes Polynom auf sich selbst abbildet. Damit ist <big>(1)</big> für jedes Polynom <math>p\in P=A[x_1]</math> erfüllt.

Für <math>n \ge 2</math> sind zu <big>(1)</big> äquivalente Beschreibungen:
* Für alle <math>k\ne m</math> ist
:: <math>p(x_1,\ldots,x_{k-1},x_k,x_{k+1}\ldots,x_{m-1},x_m,x_{m+1},\ldots,x_n)=p(x_1,\ldots,x_{k-1},x_m,x_{k+1},\ldots,x_{m-1},x_k,x_{m+1},\ldots,x_n),</math>
: das heißt, man kann zwei beliebige Unbestimmte gegeneinander austauschen.
* Es sei
:: <math>p=\sum_{\alpha_1\geq0,\ldots,\alpha_n\geq0} a_{\alpha_1,\ldots,\alpha_n}x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}.</math>
: {{Anker|MonomKoeff}}Dann ist <math>p</math> genau dann symmetrisch, wenn
:: <math>a_{\alpha_1,\ldots,\alpha_n}=a_{\alpha_{\pi(1)},\ldots,\alpha_{\pi(n)}}</math> für alle <math>\pi\in S_n</math>
: gilt. Anschaulich bedeutet das, dass der [[Koeffizient]] eines [[Monom]]s von <math>p</math> nur davon abhängt, welche Exponenten wie oft vorkommen, und nicht, bei welchen Unbestimmten.
* Die symmetrische Gruppe <math>S_n</math> [[Gruppenoperation|operiert]] durch
:: <math>(\pi p)(x_1,\ldots,x_n)=p(x_{\pi(1)},\ldots,x_{\pi(n)})</math>
: auf dem Polynomring <math>A[x_1,\ldots,x_n]</math>. Ein Polynom ist genau dann symmetrisch, wenn es invariant unter dieser Operation ist, d. h., wenn
:: <math>\pi p = p</math> für alle <math>\pi\in S_n</math>
: gilt. Eine mögliche Schreibweise für den Ring der symmetrischen Polynome ist deshalb
:: <math>A[x_1,\ldots,x_n]^{S_n}.</math>

== Eigenschaften ==
Offensichtlich ist sowohl die Summe als auch das Produkt zweier symmetrischer Polynome wieder ein symmetrisches Polynom. Somit ist der Ring der symmetrischen Polynome <math>A[x_1,\ldots,x_n]^{S_n}</math> wiederum ein Ring mit Eins.

Die konstanten Polynome <math>p = a</math> mit <math>a\in A</math> sind trivialerweise symmetrisch.

== Körper der symmetrischen Polynome ==
Wir ersetzen nun den Grundring <math>A</math> durch einen Grundkörper <math>K</math>.
Der Körper der symmetrischen Funktionen <math>L</math> ist analog zu obiger Definition der [[Körpererweiterung|Fixkörper]] unter <math>S_n</math>, also: <math>L=K(x_1,\ldots,x_n)^{S_n}</math>.<br />
Die Körpererweiterung <math>K(x_1,\ldots,x_n)/L</math> ist [[galoissch]] mit [[Galoisgruppe]] <math>S_n</math> und hat damit Grad <math>n!~.</math>

== Beispiele ==
* Das Polynom <math>X+Y</math> ist symmetrisch in <math>X</math> und <math>Y</math>, jedoch nicht symmetrisch in <math>X,Y,Z</math>.
* Aus jedem beliebigen Polynom <math>p</math> in den Variablen <math>x_1,\ldots,x_n</math> lässt sich ein symmetrisches Polynom bilden, indem man die Bilder unter den Permutationen addiert, also:
::<math>\sum_{\pi\in S_n}\pi(p)</math>
:(s. a. unten [[#Monomial-symmetrische Polynome|§ Monomisch erzeugte symmetrische Polynome]]).

== Spezielle symmetrische Polynome ==

=== Elementarsymmetrische Polynome ===
Eine besonders wichtige Sorte symmetrischer Polynome sind die sog. elementarsymmetrischen Polynome.
Sie sind Grundbausteine der symmetrischen Polynome in dem Sinn, dass sich letztere stets als Polynom in ersteren ausdrücken lassen und dies auf nur eine Weise.

Zu jeder Anzahl (Symmetriegrad) <math>n</math> von Unbestimmten und jedem (Polynom-)Grad <math>k\le n</math> gibt es genau ein elementarsymmetrisches Polynom <math>\sigma_{n,k}</math>.

{{Hauptartikel|Elementarsymmetrisches Polynom}}

;Beispiele
* Die zwei elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen <math>X</math>, <math>Y</math> sind
::<math>\sigma_{2,1}=X+Y\qquad</math> sowie <math>\sigma_{2,2}=X\cdot Y</math>
* In drei Variablen <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> hat man die drei elementarsymmetrischen Polynome
::<math>\sigma_{3,1}=X+Y+Z\qquad\sigma_{3,2}=X\cdot Y+X\cdot Z+Y\cdot Z\qquad\sigma_{3,3}=X\cdot Y\cdot Z</math>

=== Potenzsummen ===
Mit den Potenzsummen
:<math>s_{n,m}(x_1,\ldots,x_n) := x_1^m+\ldots+x_n^m</math>, <math>m=0,1,2,\ldots</math>
für <math>m\in \N</math> hat man eine weitere Sorte symmetrischer Polynome. Sie sind über die [[Newton-Identitäten]] mit den elementarsymmetrischen Polynomen <math>\sigma_{n,k}</math> verbunden. Für <math>m=1,2,3</math> hat man beispielsweise:
<div style="text-align:left;"></div>
* <math>s_{n,1}=x_1+\dotsb+x_n=\sigma_{n,1}</math>
* <math>s_{n,2}=x_1^2+\dotsb+x_n^2=\sigma_{n,1}^2-2\sigma_{n,2}</math>
* <math>s_{n,3}=x_1^3+\dotsb+x_n^3=\sigma_{n,1}^3-3\sigma_{n,1}\sigma_{n,2}+3\sigma_{n,3}</math>
Und umgekehrt:
* <math>\sigma_{n,1}=s_{n,1}</math>
* <math>2\sigma_{n,2}=s_{n,1}^2 - s_{n,2}</math>
* <math>6\sigma_{n,3}=s_{n,1}^3 - 3s_{n,1}s_{n,2}+2s_{n,3}</math>
Enthält der Ring <math>A</math> die rationalen Zahlen <math>\Q</math>, so gilt ein ähnlicher Satz wie bei den elementarsymmetrischen Polynomen:
* Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in Potenzsummen schreiben.
* Diese Darstellung ist ''eindeutig''.

=== Monomial-symmetrische Polynome ===
Die monomial-symmetrischen Polynome ({{enS|monomial symmetric polynomials}}) sind für eine Folge <math>\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)</math>, bestehend aus nichtnegativen ganzzahligen Gliedern <math>\lambda_i</math>, definiert als<ref name="Macdonald">{{Literatur|Autor= Macdonald, I.G.|Titel=Symmetric functions and Hall polynomials|Auflage=2|Herausgeber=Oxford University Press|Ort=New York|ISBN=978-0198739128}}</ref>
:<math>m_{\lambda}(x)=m_{\lambda}(x_1,\ldots,x_n):=\sum_{\alpha\sim\lambda}x^{\alpha}=\sum_{\alpha\sim\lambda}x_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot x_n^{\alpha_n}</math>
wobei <math>\alpha\sim\lambda</math> bedeutet, dass <math>\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)</math> eine Permutation der Folgenglieder <math>\lambda_1,\ldots,\lambda_n</math> von <math>\lambda</math> ist. Da es beim Ergebnis der durch die Formel <math>m_{\lambda}(x)</math> definierten Menge ganz wesentlich auf die Vielfachheit <math>k_i</math> eines Gliedes (Exponenten) <math>\lambda_i</math> innerhalb der Folge <math>\lambda</math> ankommt, wird die Menge <math>m_{\lambda}(x)</math> besonders deutlich charakterisiert, wenn man die Folge
:<math>\lambda_1 \ge \cdots > \lambda_i = \dots = \lambda_j > \cdots \ge \lambda_n</math>
mit sortierten Gliedern notiert (hier absteigend, oder noch deutlicher ''streng'' absteigend: bspw. als <math>\lambda_1^{k_1} > \cdots > \lambda_s^{k_s}</math> mit hochgestellten Vielfachheiten <math>k_i</math>. Durch die Sortierung erhält die Folge eine Struktur, die die Permutierbarkeit der Potenzen mit gleichen Exponenten und damit eine „Partitionierung“ der Ganzzahl <math>n</math> in gleichartige Abschnitte deutlicher herausbringt. Näheres zur Partitionierung von Ganzzahlen findet sich bspw. im Artikel [[Young-Tableau]]). Die Gesamtzahl der verschiedenen Monome des symmetrischen Polynoms <math>m_{\lambda}(x)</math> lässt sich dann wie folgt berechnen: Sei <math>k_i := j-i+1</math> die Vielfachheit des Gliedes <math>\lambda_i</math> innerhalb der Folge <math>\lambda</math>, dann hat wegen <math>n = \textstyle\sum k_i = k_1 + \ldots + k_s</math><ref>Die Folge <math>k_1,\ldots,k_s</math> wird oft als [[Partition (Mengenlehre)|Partition]] der Ganzzahl <math>n</math> bezeichnet.</ref> nach der [[Permutation#Permutation mit Wiederholung|abzählenden Kombinatorik]] das Polynom <math>m_{\lambda}(x)</math> genau
: <math>\frac{(k_1 + \ldots + k_s)!}{k_1! \cdot \ldots \cdot k_s!} = \frac{n!}{k_1! \cdot \ldots \cdot k_s!}= \binom{n}{k_1, \ldots , k_s}</math>
Monome.

;Bemerkung
Jedes symmetrische Polynom lässt sich als (endliche) Summe von monomial-symmetrischen schreiben. Denn mit jedem Monom <math>a_{\lambda_1,\ldots,\lambda_n} \!\cdot x_1^{\lambda_1}\cdot\ldots\cdot x_n^{\lambda_n}</math> enthält es genau wie <math>m_{\lambda}(x_1,\ldots,x_n)</math> gemäß [[#MonomKoeff|→dieser Charakterisierung]] auch alle Permutationen <math>a_{\lambda_1,\ldots,\lambda_n} \!\cdot x_1^{\lambda_{\pi(1)}}\cdot\ldots\cdot x_n^{\lambda_{\pi(n)}}</math> von dessen Exponenten.

;Beispiele
{| class="wikitable"
|-
! monomial-<br />symmetrisch!!andere Form!!ausgeschrieben!!Anzahl<br />Monome!!Parti-<br />tionen
|-
| <math>m_{(1,0,0,\ldots,0)}(x_1,\ldots,x_n) </math>||<math> = \sigma_{n,1}(x_1,\ldots,x_n)</math>||<math>= x_1+\dots+x_n</math>||<math>n</math>||<math>(1,n\!-\!1)</math>
|-
| <math>m_{(1,1,0,\ldots,0)}(x_1,\ldots,x_n) </math>||<math> = \sigma_{n,2}(x_1,\ldots,x_n)</math>||<math>= x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_2x_3 + \dots + x_{n-1}x_n</math>||<math>\tbinom n2</math>||<math>(2,n\!-\!2)</math>
|-
| <math>m_{(1,1,1,\ldots,1)}(x_1,\ldots,x_n) </math>||<math> = \sigma_{n,n}(x_1,\ldots,x_n)</math>||<math>= x_1\cdot\ldots\cdot x_n</math>||<math>1</math>||<math>(1)</math>
|-
| <math>m_{(k,0,0,\ldots,0)}(x_1,\ldots,x_n) </math>||<math> = s_{n,k}(x_1,\ldots,x_n)</math>||<math>= x_1^k+\dots+x_n^k </math>||<math>n</math>||<math>(1,n\!-\!1)</math>
|-
| <math>m_{(2,1,0,\ldots,0)}(x_1,\ldots,x_n) </math>|| ||<math>= x_1^2x_2 + x_1^2x_3 + \dots + x_1x_2^2 + x_2^2x_3 + \dots + x_{n-1}x_n^2</math>||<math>n(n-1)</math>||<math>(1,1,n\!-\!2)</math>
|-
| <math>m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) </math>|| ||<math>= x_1^2x_2x_3 + x_1x_2^2x_3 + x_1x_2x_3^2</math>||<math>3</math>||<math>(1,2)</math>
|}
Die Reihenfolge der Partitionen entspricht der der Exponenten (erste Spalte). In den ersten 5 Zeilen partitionieren sie die Zahl <math>n</math>.

=== Macdonald-Polynome ===
{{Hauptartikel|Macdonald-Polynome}}
Die Macdonald-Polynome sind eine Familie symmetrischer orthogonaler Polynome mit zugehörigen Gewichten <math>\lambda</math> eines [[Wurzelsystem]]s und <math>q,t</math>-[[Deformation (Mathematik)|Deformationen]] der Schur-Funktionen.<ref name="Macdonald" />

=== Schur-Polynome und stabile Grothendieck-Polynome ===

Schubert-Polynome sind Polynom-Darstellungen der [[Schubert-Klassen]] im [[Kohomologie|Kohomologie-Ring]] der [[Fahnenmannigfaltigkeit]].<ref>{{Literatur|Titel=A combinatorial construction of the Schubert polynomials|Sammelwerk = Journal of Combinatorial Theory, Series A|Band=60|Nummer=2|Seiten=168-182|Jahr=1992|DOI=10.1016/0097-3165(92)90002-C|Autor=Nantel Bergeron}}</ref>

Sei <math>V</math> ein <math>n</math>-dimensionaler <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum und bezeichne seine Fahnenmannigfaltigkeit als <math>\mathcal{Fl}V</math>. Sei <math>\omega \in S_n</math> und sei <math>X_{\omega}</math> die [[Algebraische Varietät|Schubert-Varietät]] und <math>[X_{\omega}]\in H^{2l(\omega)}(\mathcal{Fl}V)</math> die Schubert-Klasse (die [[Poincaré-Dualität|Poincaré-dual]] zu der [[Fundamentalklasse]] von <math>X_{\omega}</math> in <math>X_{*}(\mathcal{Fl}V)</math> ist).<ref name="Lenart-Robinson-Sottle">{{Literatur|Autor=Cristian Lenart, Shawn Robinson und Frank Sottile|Titel=Grothendieck Polynomials via Permutation Patterns and Chains in the Bruhat Order|Sammelwerk=American Journal of Mathematics|Band=128|Nummer=4|Jahr=2006|Seiten=805-48|JSTOR=40068007}}</ref>

Sei <math>s_i</math> die Permutation <math>(x_i,x_{i+1})</math> und <math>I</math> der Identitätsoperator, definiere den Symmetrisierungs-Operator
:<math>\partial_i=\frac{I-s_i}{x_i-x_{i+1}}</math>
auf dem Polynomring <math>\mathbb{Q}[x_1,\dots,x_n]</math>.

Sei <math>\omega\in S_n</math> und <math>\omega=s_{a_1}\cdots s_{a_n}</math> seine reduzierte Darstellung, dann ist der Operator <math>\partial_\omega=\partial_{s_{a_1}}\cdots \partial_{s_{a_n}}</math> wohldefiniert und wenn <math>\omega=s_{a_1}\cdots s_{a_q}</math> nicht reduziert ist, dann ist <math>\partial_{s_{a_1}}\cdots \partial_{s_{a_q}}=0.</math>

Sei <math>\delta=(n-1,n-2,\dots,1,0)</math> und <math>x^{\delta}=x_1^{n-1}x_2^{n-2}\cdots x_{n-1}</math>. Für jede Permutation <math>\omega\in S_n</math> ist das <math>[X_{\omega}]</math> repräsentierende Schubert-Polynom <math>\mathcal{S}_{\omega}</math> definiert als
:<math>\mathcal{S}_{\omega}=\partial_{\omega^{-1}\omega_{0}}x^{\delta}.</math>

Im Falle der Grassmannischen Subvarietät der vollständigen Fahnenmannigfaltigkeit, werden sie symmetrisch und Schur-Polynome genannt.

==== Schur-Polynome ====

Sei <math>m_{\mu}</math> ein monomial-symmetrisches Polynom mit zugehöriger Partition <math>\mu</math>. Dann sind die Schur-Polynome definiert als
:<math>s_{\lambda}(x_1,\dots,x_n)=\sum\limits_{\mu \vdash n}K_{\lambda\mu}m_{\mu}</math>
wobei <math>K_{\lambda\mu}</math> die Kostka-Nummern sind, d. h. die Anzahl semistandard [[Young-Tableau]] (SSYT) der Form <math>\lambda</math> mit Gewicht <math>\mu</math>.<ref name="StanlegFomin">{{Literatur|Autor= Richard P. Stanley und Sergey P. Fomin|Titel= Enumerative Combinatorics|Band=2|Herausgeber=Cambridge University Press}}</ref>
Die Schur-Polynome besitzen eine natürliche [[Vandermonde-Determinante|determinantale]] Struktur durch die [[Weylsche Charakterformel]].

Eine weitere Definition ist die sogenannte Kostka-Definition der Schur-Polynome. Sei <math>T</math> ein SSYT vom Typ <math>\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math>, dann lautet die Kostka-Definition<ref name="StanlegFomin" />
:<math>s_{\lambda}(x_1,\dots,x_n)=\sum\limits_{T\in \text{SSYT}}x^{\alpha_1(T)}\cdots x^{\alpha_n(T)}.</math>

==== Stabile Grothendieck-Polynome ====
Grothendieck-Polynome sind inhomogenen Polynome, welche die Schubert-Polynome verallgemeinern. Sei <math>\mathcal{O}_{X_\omega}</math> die [[Garbe (Mathematik)|Struktur-Garbe]] der Schubert-Varietät <math>X_{\omega}</math>. Sei <math>\pi_i:=\partial_i(I-x_{i+1})</math>, die Grothendieck-Polynome <math>\mathfrak{G}_{\omega}</math> repräsentieren die Schubert-Klassen <math>[\mathcal{O}_{X_\omega}]</math> und sind definiert als<ref name="Lenart-Robinson-Sottle" />
:<math>\mathfrak{G}_{\omega}=\pi_{\omega^{-1}\omega_{0}}x^{\delta}.</math>
Die symmetrischen stabilen Grothendieck-Polynome erhält man durch
:<math>G_{\omega}(x):=\lim\limits_{k\to \infty} \mathfrak{G}_{1^k\times \omega}(x).</math>

== Ring der symmetrischen Funktionen ==
Sei <math>\Lambda_N=\mathbb{C}[x_1,\dots,x_N]^{S_N}</math> der Raum der symmetrischen Polynome und definiere die Abbildung <math>\pi_{N+1}:\mathbb{C}[x_1,\dots,x_{N+1}]\to \mathbb{C}[x_1,\dots,x_N]</math>, welche den Turm von [[Graduierung (Algebra)|graduierten]] Algebren erzeugt
:<math>\mathbb{C}\leftarrow \Lambda_1\leftarrow \Lambda_2\leftarrow \Lambda_3 \leftarrow \dots.</math>
Der ''Ring der symmetrischen Funktionen'' ist der [[Limes (Kategorientheorie)|projektive Limes]]<ref name="Macdonald" />
:<math>\Lambda=\varprojlim_{N}\Lambda_N=\{(f_1,f_2,\dots,):f_j\in \Lambda_N,\pi_j f_j=f_{j-1}, \operatorname{deg}(f_j)\ \text{beschränkt}\}.</math>

=== Spezialisierung ===
Sei <math>\Lambda</math> der Ring der symmetrischen Funktionen und <math>R</math> sei eine [[kommutative Algebra]] mit Einselement. Dann nennt man einen (Algebra)-[[Homomorphismus]] <math>\varphi:\Lambda\to R,\quad f\mapsto f(\varphi)</math> eine ''Spezialisierung''.<ref name="StanlegFomin" />

Beispiel:
*Sei <math>R=\R</math> und <math>\varphi(1_{\Lambda})=1_R</math>. Sei <math>f(x_1,x_2,\dots)</math> eine symmetrische Funktion, dann ist die Substitution <math>x_1=1,x_2=5,x_3=2</math> und <math>x_i=0, \forall i\geq 4</math> eine Spezialisierung.
*Sei <math>f(x_1,x_2,\dots)</math> eine symmetrische Funktion. Dann nennt man <math>f(1,q,q^2,q^3\dots,)</math> ''Hauptspezialisierung'' ({{EnS|principal specialization}}) und notiert diese häufig als <math>\operatorname{ps}^q(f)</math> oder <math>\operatorname{ps}(f)</math>. Analog definiert man auch <math>\operatorname{ps}_k^q(f):=f(1,q,q^2,\dots,q^{k-1})</math>.

== Siehe auch ==
* [[Lagrange-Resolvente]]
* [[Symmetrische Funktion]]

== Anmerkungen ==
<references group="Anm" />

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 8. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, Kapitel 4, Abschnitt 4.
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lehrbuch der Algebra.'' 3. Auflage. Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, Kapitel III, §4.1.
* [[Jens Carsten Jantzen]], [[Joachim Schwermer]]: ''Algebra.'' 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40532-7, Kapitel IV, §3.3.
* [[Bartel Leendert van der Waerden]]: ''Algebra I''. 8. Auflage, 1971, Heidelberger Taschenbücher Band 12, ISBN 3-540-03561-3.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theorie der Polynome]]
[[Kategorie:Polynom]]

Symmetrisches Polynom - Versionsgeschichte

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