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2026-02-16T16:34:42Z

HC: Entferne Kategorie:Mathematischer Grundbegriff

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[[Datei:Symmetrie Graph.png|mini|Drei symmetrische Relationen, als [[Gerichteter Graph|gerichtete Graphen]] dargestellt]]

Die '''Symmetrie''' einer zweistelligen [[Relation (Mathematik)|Relation]] ''R'' auf einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] ist gegeben, wenn aus ''x R y'' stets ''y R x'' folgt. Man nennt ''R'' dann '''symmetrisch'''.

Die Symmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine [[Äquivalenzrelation]].

Zur Symmetrie gegensätzliche Begriffe sind [[Antisymmetrische Relation|Antisymmetrie]] und [[Asymmetrische Relation|Asymmetrie]].<ref>{{Internetquelle |autor=Michaela Geierhos |url=https://www.cis.lmu.de/~micha/kurse/mathe-SS2010/begleitmaterial/Merkblatt_Eigenschaften_Relationen.pdf |titel=Merkblatt zur Vorlesung „Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik“ SoSe 2010 |hrsg=LMU, Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung Studiengang Computerlinguistik |sprache=de |abruf=2022-11-21}}</ref>

== Formale Definition ==
Ist <math>M</math> eine Menge und <math>R \subseteq M \times M</math> eine zweistellige Relation auf <math>M</math>, dann heißt <math>R</math> ''symmetrisch'', wenn (unter Verwendung der [[Infixnotation]]) gilt:
:<math>\forall x, y \in M: (x R y \Rightarrow y R x)</math>

== Beispiele ==
=== Gleichheit der reellen Zahlen ===
Die gewöhnliche Gleichheit <math>=</math> auf den reellen Zahlen ist symmetrisch, denn aus <math>x=y</math> folgt <math>y=x</math>. Sie ist darüber hinaus eine [[Äquivalenzrelation]].

Die Ungleichheitsrelation <math> \neq</math> auf den reellen Zahlen ist zwar keine Äquivalenzrelation, aber ebenfalls symmetrisch, denn aus <math>x \neq y</math> folgt <math>y \neq x</math>.

=== Ähnlichkeit von Dreiecken ===
Ist das Dreieck ABC zum Dreieck DEF ähnlich, so ist das Dreieck DEF zum Dreieck ABC ähnlich. Die Relation der Ähnlichkeit von Dreiecken ist also symmetrisch. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

=== Kongruenz modulo ''m'' ===
Eine [[ganze Zahl]] ''a'' heißt zu der ganzen Zahl ''b'' [[Kongruenz (Zahlentheorie)|kongruent]] modulo ''m'' (mit der ganzen Zahl ''m'' ≠ 0, Modul genannt), wenn sowohl ''a'' als auch ''b'' bei der [[Division mit Rest|Division]] durch ''m'' denselben Rest haben. Beispielsweise ist die Zahl 11 zur Zahl 18 kongruent modulo 7, da sich bei der Division dieser beiden Zahlen durch 7 jeweils der Rest 4 ergibt. Diese Relation ist symmetrisch. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

=== Ordnung der reellen Zahlen ===
Die Kleiner-Relation <math><</math> auf den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] ist nicht symmetrisch, denn aus <math>x<y</math> folgt nicht <math>y<x</math>. Gleiches gilt für die Kleiner-Gleich-Relation.

== Darstellung als gerichteter Graph ==
Jede beliebige Relation ''R'' auf einer Menge ''M'' kann als [[gerichteter Graph]] aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von ''M''. Vom Knoten ''a'' zum Knoten ''b'' wird genau dann eine [[gerichtete Kante]] (ein Pfeil <math>a \longrightarrow b</math>) gezogen, wenn ''a R b'' gilt.

Die Symmetrie von ''R'' lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Wann immer es einen Pfeil <math>a \longrightarrow b</math> zwischen verschiedenen Knoten ''a'' und ''b'' des Graphen gibt, dann gibt es gleichzeitig einen Pfeil <math>b \longrightarrow a</math>. (Einen Graphen mit dieser Eigenschaft nennt man auch einen ''[[symmetrischer Graph|symmetrischen Graphen]]''.)

Pfeile <math>a \longrightarrow a</math> erfüllen dieses Kriterium automatisch.

== Eigenschaften ==
* Mit Hilfe der [[Relation (Mathematik)#Umkehrrelation|konversen Relation]] <math>R^{-1}</math> lässt sich die Symmetrie einer Relation <math>R</math> charakterisieren durch
*: <math>R = R^{-1}</math>
* Ist die Relation <math>R</math> symmetrisch, dann gilt dies auch für die [[Komplement (Mengenlehre)|komplementäre]] Relation <math>R^{\rm c}</math>. Diese ist definiert durch
*: <math> x R^{\rm c} y :\Longleftrightarrow \neg x R y</math>.
* Sind die Relationen <math>R</math> und <math>S</math> symmetrisch, dann gilt dies auch für ihre [[Schnittmenge]] <math>R \cap S</math> und ihre [[Vereinigungsmenge]] <math>R \cup S</math>. Diese Aussage lässt sich von zwei Relationen auf den Durchschnitt <math>\textstyle\bigcap_{i\in I} R_i </math> und die Vereinigung <math>\textstyle\bigcup_{i\in I} R_i </math> einer beliebigen (nichtleeren) [[Familie (Mathematik)|Familie]] von symmetrischen Relationen verallgemeinern. Damit bildet <math> M \times M </math> einen [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] mit den symmetrischen Relationen als offenen Mengen. Darüber hinaus ist die Menge der symmetrischen Relationen dann auch eine [[Mengenalgebra]] über <math> M \times M </math>.
* Die kleinste symmetrische Relation <math>S</math>, die eine gegebene Relation <math>R</math> umfasst, wird der '''symmetrische Abschluss''' von <math>R</math> genannt. Dieser lässt sich leicht angeben als
*: <math> S := R \cup R^{-1}</math>
* Zu einer beliebigen zweistelligen Relation <math>R</math> auf einer Menge lassen sich die Potenzen <math>R^n</math> bezüglich der [[Komposition (Mathematik)#Komposition von Relationen|Verkettung]] von Relationen bilden. Ist nun <math>R</math> symmetrisch, dann gilt dies auch für alle Potenzen <math>R^n</math>.
* Eine Relation (auf einer endlichen Menge) ist genau dann symmetrisch, wenn die ihrem Graphen zugeordnete [[Adjazenzmatrix]] symmetrisch (zur [[Hauptdiagonale]]) ist.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Symmetrische Relation - Versionsgeschichte

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