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2025-01-01T13:00:19Z

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In der [[Elektrotechnik]] wird die Methode der '''Symmetrischen Komponenten''' verwendet, um eine vereinfachte [[Analyse]] durch symmetrische Teilsysteme bei asymmetrischen Mehrphasensystemen, üblicherweise [[Dreiphasenwechselstrom|Dreiphasensystemen]], durchführen zu können. Dabei wird ein unsymmetrisch gespeistes System symmetrischer Belastung von [[Phasor]]en in mehrere überlagerte Teilsysteme aufgeteilt. Bei den üblichen Dreiphasensystemen erfolgt die Aufteilung in ein symmetrisches ''Mitsystem'', dessen Zeiger sich mit dem [[Drehfeld]] bewegen, ein ''Gegensystem'' mit gegenläufigem Drehfeld und in ein ''Nullsystem''.<ref name="marx1" />

Die Methode der symmetrischen Komponenten stellt einen in Praxis bedeutenden Spezialfall der allgemeinen [[Modaltransformation]] ([[Modalanalyse]]) und der Methode der modalen Komponenten dar und findet Anwendung unter anderem bei der Analyse von [[Fehlerarten in Drehstromsystemen|unsymmetrischen Fehlern in Drehstromsystemen]] und bei der Untersuchung von [[Elektrische Maschine|elektrischen Maschinen]], insbesondere Mehrphasenmaschinen.

== Historische Entwicklung ==
[[Charles Legeyt Fortescue]] zeigte in der 1918 präsentierten Arbeit ''Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks'', dass jedes unsymmetrisch belastete Drehstromsystem als Summe von drei symmetrischen Phasoren-Sets dargestellt werden kann.<ref name="fort1" /> Diese Analyse wurde in Folge von Ingenieuren bei [[General Electric]] und [[Westinghouse Electric Corporation|Westinghouse]] aufgegriffen und verbessert. Nach dem [[Zweiter Weltkrieg|Zweiten Weltkrieg]] wurde die Methode der symmetrischen Komponenten zu einem allgemeinen Verfahren zur Analyse asymmetrischer Fehler ausgebaut.

== Methode ==
Jedes unsymmetrische Phasorenset, das sich nicht zu null addiert, kann in ein unsymmetrisches Set, das sich zu null addiert und ein System gleicher Phasoren eindeutig aufgetrennt werden. Weiterhin kann jedes unsymmetrische, jedoch zu null addierende Set von Phasoren in zwei symmetrische Sets gegenläufiger Umlaufrichtung der Drehfelder unterteilt werden. Somit ist immer eine eindeutige Aufteilung jedes beliebigen unsymmetrischen Phasorensets möglich. Das Verfahren ermöglicht beispielsweise bei einem symmetrisch gebauten [[Asynchronmotor]], welcher asymmetrisch gespeist wird, in eine Überlagerung von zwei im Drehsinn gegenläufigen aber symmetrisch gespeisten Asynchronmotoren zu zerlegen.

=== Beispiel Zweiphasensystem ===
[[Datei:Symmetrical components two phase.svg|mini|Unsymmetrisches Zweiphasensystem]]
Im einfachsten Fall liegt ein [[Zweiphasenwechselstrom|Zweiphasensystem]], dargestellt aus zwei Phasoren ''A'' und ''B'' vor, wie in nebenstehender Skizze dargestellt. Dies lässt sich in zwei Teilsysteme zerlegen: das ''Mitsystem'' ({{enS|positive sequence component}}) in rot, es wird von den beiden Phasoren ''A''m und ''B''m gebildet, sein Drehfeld besitzt die gleiche Umlaufrichtung wie das ursprüngliche System. Das ''Gegensystem'' ({{enS|negative sequence component}}) ist in grün mit den beiden Phasoren ''A''g und ''B''g dargestellt, sein Drehfeld hat eine gegenläufige Richtung wie das ursprüngliche System. Die Phasoren in jedem Teilsystem weisen den gleichen Betrag auf und stehen im Zweiphasensystem normal aufeinander:

:<math>A_m = \frac{A - \mathrm{j}B}{2}</math>
:<math>A_g = \frac{A + \mathrm{j}B}{2}</math>

und

:<math>B_m = \mathrm{j}A_m</math>
:<math>B_g = -\mathrm{j}A_g</math>

mit j als die [[imaginäre Einheit]].

=== Berechnung im Dreiphasensystem ===
[[Datei:Symmetrical components three phase.svg|mini|hochkant=1.5|Unsymmetrisches Dreiphasensystem (A,B und C) und seine symmetrischen Komponenten]]
[[Datei:Komplexe zeiger.png|mini|Geometrische Darstellung der drei komplexen Zeiger <math>\underline{a}</math>, <math>\underline{a^2}</math>, <math>\underline{a^3} = 1</math>]]
Mit Hilfe der Koeffizientenmatrix <math>T</math> können die Phasoren im Dreiphasensystem der symmetrischen Komponenten <math>\underline{I}_m</math> (Mitsystem), <math>\underline{I}_g</math> (Gegensystem), <math>\underline{I}_0</math> (Nullsystem) aus den Leiterströmen <math>\underline{I}_{L1}</math>, <math>\underline{I}_{L2}</math>, <math>\underline{I}_{L3}</math> des Drehstromsystems berechnet werden. Im Nullsystem ({{enS|zero sequence component}}) haben die Phasoren gleiche Richtung und gleiche Länge. Das Nullsystem tritt im asymmetrischen Dreiphasensystem auf und gleicht die „Nicht-Addition“ des ursprünglichen Systems zu null aus.

Die elektrischen Ströme als physikalische Größe sind in den folgenden Gleichungen beispielhaft gewählt, die Methode der symmetrischen Komponenten lässt sich auf alle Größen wie elektrischen Spannungen oder magnetische Flüsse analog anwenden.

Der komplexe Zeiger <math>\underline{a}</math> ist ein Drehoperator zur Verknüpfung der Außenleiterströme. Die Multiplikation mit <math>\underline{a}</math> bedeutet eine Drehung um 120o gegen den Uhrzeigersinn:

:<math> \underline a = e^{j120^{o}} = e^{j\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2} </math>
:<math> \underline{a}^2 = e^{j240^{o}} = e^{j\frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2} </math>
:<math> \underline{a}^3 = \underline{a}^0 = e^{j0^{o}} = {1} </math>

Des Weiteren gibt es folgende Theoreme:

:<math> \underline{a}^4= \underline{a},\quad{1}+\underline{a}+\underline{a}^2={0},\quad\underline{a}^2= \underline{a}^{-1} </math>

Man erhält die Koeffizientenmatrix:

: <math> T=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
\underline a^2 & \underline a & 1 \\
\underline a & \underline a^2 & 1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
\mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{-2\pi}{3}} & \mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{2\pi}{3}} & 1 \\
\mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{2\pi}{3}} & \mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{-2\pi}{3}} & 1
\end{pmatrix}
</math>
: <math> \begin{pmatrix}
\underline{I}_{1m}\\
\underline{I}_{1g}\\
\underline{I}_{10}
\end{pmatrix}
=T^{-1} \cdot
\begin{pmatrix}
\underline{I}_{L1}\\
\underline{I}_{L2}\\
\underline{I}_{L3}
\end{pmatrix}
=\frac{1}{3} \cdot
\begin{pmatrix}
1 & \underline a & \underline a^2 \\
1 & \underline a^2 & \underline a \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\underline{I}_{L1}\\
\underline{I}_{L2}\\
\underline{I}_{L3}
\end{pmatrix}
</math>

Daraus ergibt sich für das Mitsystem:

: <math>\underline{I}_{1m}=\frac{1}{3}\cdot(\underline{I}_{L1}+\underline{I}_{L2}\cdot \underline a + \underline{I}_{L3}\cdot \underline a^2)</math>

: <math>\underline{I}_{2m}=\underline{I}_{1m}\cdot \underline a^2</math>

: <math>\underline{I}_{3m}=\underline{I}_{1m}\cdot \underline a</math>

Für das Gegensystem gilt:

: <math>\underline{I}_{1g}=\frac{1}{3}\cdot(\underline{I}_{L1}+\underline{I}_{L2}\cdot \underline a^2 + \underline{I}_{L3}\cdot \underline a)</math>

: <math>\underline{I}_{2g}=\underline{I}_{1g}\cdot \underline a</math>

: <math>\underline{I}_{3g}=\underline{I}_{1g}\cdot \underline a^2</math>

Und für das Nullsystem:

: <math>\underline{I}_{10}=\frac{1}{3}\cdot(\underline{I}_{L1}+\underline{I}_{L2} + \underline{I}_{L3})</math>

: <math>\underline{I}_{20}=\underline{I}_{10}</math>

: <math>\underline{I}_{30}=\underline{I}_{10}</math>

Mit der Erweiterung einer einpoligen Darstellung, um die Mit-, Gegen- und Nullsysteme von Generatoren, [[Drehstromtransformator]]en und anderen elektrischen Komponenten anzuzeigen, wird die Analyse von unbalancierten Umständen wie beispielsweise bei [[Erdschluss|Erdschlüssen]] stark vereinfacht. Die Aufteilung in symmetrische Komponenten kann auch auf höhere Phasenordnungen ausgeweitet werden.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Symmetrical components}}
* {{Internetquelle |url=https://www.geogebra.org/m/p3jgae73 |titel=Interaktive Website zur Zerlegung eines unsymmetrischen Dreiphasensystems |werk=[[GeoGebra]] |abruf=2020-12-23}}

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Bernd R. Oswald
|Titel=Berechnung von Drehstromnetzen – Berechnung stationärer und nichtstationärer Vorgänge mit Symmetrischen Komponenten und Raumzeigern
|Verlag=Vieweg + Teubner
|Datum=2009
|ISBN=978-3-8348-0617-8}}

== Normen ==
* DIN EN 60909-0 (VDE 0102):2016-12 Kurzschlussströme in Drehstromnetzen - Teil 0: Berechnung der Ströme

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="fort1">
{{Literatur
|Autor=Charles LeGeyt Fortescue
|Titel=Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks
|Verlag=AIEE Transactions 37 (II)
|Datum=1918
|Seiten=1027–1140
|Sprache=en
|Online=https://uwaterloo.ca/power-energy-systems-group/sites/default/files/uploads/files/method_of.pdf
|Format=PDF
|KBytes=}}
</ref>
<ref name="marx1">
{{Internetquelle
|autor=Stephen E. Marx
|url=https://www.eiseverywhere.com/file_uploads/017a15339d47804e4eae457e5a960f39_Symmetrical_Components_v2.pdf
|titel=Symmetrical components 1 & 2
|datum=2012
|abruf=2016-08-30
|format=PDF
|sprache=en}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Elektrische Energietechnik]]
[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]

Symmetrische Komponenten - Versionsgeschichte

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