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2025-05-10T07:07:56Z

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Eine '''symmetrische Gleichung''', [[symmetrisches Polynom]], reziproke Gleichung oder selbstreziprokes Polynom ist eine [[polynom]]iale (ganzrationale) [[Gleichung]], deren [[Koeffizient]]enfolge symmetrisch ist. [[Leonhard Euler]] hat diesen Gleichungstyp als reziproke Gleichung bezeichnet, da die Substitution von <math>\textstyle x</math> durch <math>\textstyle \frac{1}{x}</math> nach einfachen Umformungen wieder auf dieselbe Gleichung führt. Daneben ist mit jeder Nullstelle <math>\textstyle x</math> auch <math>\textstyle \frac{1}{x}</math> eine Nullstelle der Gleichung. Sind die Koeffizienten dem [[Betragsfunktion|Betrag]] nach symmetrisch, unterscheiden sich aber nach dem [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]], spricht man von einer ''antisymmetrischen Gleichung.''

== Definition ==
Eine polynomiale Gleichung <math>n</math>-ten Grades
:<math>a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \dotsb +a_1 \cdot x + a_0 = 0</math>
heißt
* ''symmetrisch'', ''[[palindrom]]isch''<ref>Frank Celler: Konstruktive Erkennungsalgorithmen klassischer Gruppen in GAP (Dissertation) [http://www.celler.de/wp-content/uploads/2011/09/phd.ps.gz] ([[Gzip|GZIP]]; 233 kB)</ref> (''engl.: palindromic polynomial'' oder auch ''self-reciprocal''), wenn <math>a_k = a_{n-k}</math> für alle <math>k = 0,1,\dotsc,n</math> gilt,
* ''antisymmetrisch'' oder ''antipalindromisch'', wenn <math>a_k = -a_{n-k}</math> für alle <math>k = 0,1,\dotsc,n</math> gilt.

Außerdem gilt im
* symmetrischen Fall <math>p(x) = x^n \cdot p\left(\frac{1}{x}\right) = a_0 \cdot x^n + a_1 \cdot x^{n-1} + \dotsb +a_1 \cdot x + a_0 </math>
* antisymmetrischen Fall <math>p(x) = -x^n \cdot p\left(\frac{1}{x}\right) = a_0 \cdot x^n + a_1 \cdot x^{n-1} + \dotsb - a_1 \cdot x - a_0</math>

== Eigenschaften ==
Betrachtet man das symmetrische Polynom
:<math>a_0 \cdot x^n + a_1 \cdot x^{n-1} + \dotsb +a_1 \cdot x + a_0 = 0 \qquad</math> (1)
und substituiert <math>\textstyle x:= \frac{1}{x}</math>
:<math>a_0 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^n + a_1 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^{n-1} + \dotsb +a_1 \cdot \left( \frac{1}{x} \right) + a_0 = 0 \qquad</math> (2)
so wird durch Multiplikation mit <math>\textstyle x^n</math> Gleichung (2) wieder die ursprüngliche Gleichung (1) überführt.<br />Aus dieser Äquivalenz folgt die von Euler erkannte reziproke Eigenschaft, dass mit <math>\textstyle x</math> auch <math>\textstyle \frac{1}{x}</math> eine Nullstelle einer symmetrischen Gleichung sein muss.

Weiterhin gilt mit <math>p(x)=a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \dotsb +a_1 \cdot x + a_0</math>, wobei <math>p(x)</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> mit reellen oder komplexen Koeffizienten ist:
* Wenn <math>p(x)</math> palindromisch oder antipalindromisch ist, ist <math>\textstyle a_0 \neq 0</math>
* Wegen <math>\textstyle a_0 \neq 0</math> kann <math>\textstyle x = 0</math> nie eine Nullstelle sein
* Wenn <math>p(x)</math> antipalindromisch und <math>n</math> gerade ist, gilt <math>a_{n/2}=0</math>.
* Wenn <math>p(x)</math> palindromisch und <math>n</math> ungerade ist, gilt <math>p(-1)=0</math>. Wenn <math>p(x)</math> antipalindromisch ist, gilt <math>p(1)=0</math>.
* Wenn <math>p(x)</math> palindromisch oder antipalindromisch und <math>p(x_0)=0</math> ist, so ist <math>x_0\neq0</math> und <math>\textstyle p(\frac {1}{x_0})=0</math>. <math>x_0</math> und <math>\textstyle \frac {1}{x_0}</math> sind dann Nullstellen derselben Vielfachheit der (anti-)symmetrischen Gleichung <math>p(x)=0</math>.
* Sind <math>p(x)</math> und <math>q(x)</math> palindromische Polynome, so ist auch das Produkt <math>p(x)\cdot q(x)</math> palindromisch. Sind beide Faktoren antipalindromisch, so ist das Produkt ebenfalls palindromisch. Ist ein Faktor palindromisch und der andere antipalindromisch, so ist das Produkt antipalindromisch.
* Sind <math>p(x)</math> und <math>p(x)\cdot q(x)</math> palindromische oder antipalindromische Polynome, so ist auch <math>q(x)</math> palindromisch oder antipalindromisch.
* Ist mit jeder Nullstelle <math>x_0</math> der Gleichung <math>p(x)=0</math> auch der Reziprokwert <math>\textstyle \frac {1}{x_0}</math> eine Nullstelle der Gleichung mit derselben Vielfachheit wie <math>x_0</math>, dann ist die Gleichung symmetrisch oder antisymmetrisch.
* Ist <math>r(x)</math> ein Polynom vom Grad <math>m</math>, so ist <math>x^m\cdot r\left(x+\tfrac 1x\right)</math> ein palindromisches und <math>x^m\cdot r\left(x-\tfrac 1x\right)</math> ein antipalindromisches Polynom vom Grad <math>\textstyle 2 \cdot m</math>.
* Ist <math>p(x)</math> ein palindromisches (bzw. antipalindromisches) Polynom vom Grad <math>\textstyle n=2 \cdot m</math>, so existiert genau ein Polynom <math>r(x)</math> vom Grad <math>m</math> mit <math>p(x)=x^m\cdot r\left(x+\tfrac 1x\right)</math> (bzw. <math>p(x)=x^m\cdot r\left(x-\tfrac 1x\right)</math>).
* Wenn alle Koeffizienten <math>a_i</math> reell sind und alle komplexen Nullstellen von <math>p(x)</math> den Betrag 1 haben, dann ist <math>p(x)</math> palindromisch oder antipalindromisch.<ref>The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials[http://www.mathpages.com/home/kmath294/kmath294.htm]</ref>

=== Anwendungsgebiete (Beispiele) ===
* Die [[Kreisteilungspolynom]]e sind symmetrisch.
* Alexanderpolynome von Knoten (siehe [[Knotentheorie]]) sind symmetrisch. Für ein [[Alexander-Polynom]] der Form <math>c_0+c_1 \cdot t + \cdots + c_0 \cdot t^n</math> führt (nach Skalierung mit <math>t^{-n/2}</math>) die Substitution <math> \textstyle z^2:= t+\frac{1}{t}-2</math> auf das Conway-Polynom, ein spezielles Alexander-Polynom.

== Allgemeine Lösungsstrategien ==
Für allgemeine Gleichungen ab dem 5. Grad existiert keine allgemeine Lösungsformel zur Bestimmung der Nullstellen mehr. Symmetrische und antisymmetrische Gleichungen können dagegen aufgrund ihrer speziellen Eigenschaften bis zum 9. Grade auf Gleichungen bis 4. Grades zurückgeführt werden.
{{Hauptartikel|Lösen von Gleichungen}}

=== Symmetrische Gleichungen ===
Aus dem verallgemeinerten [[Satz von Vieta|Wurzelsatz von Vieta]] lässt sich allgemein ableiten, dass bei einem Polynom <math>\textstyle a_0 = (-1)^n \cdot a_n \cdot x_1 \cdot x_2 \dotsm x_n</math> ist, also dass in <math>\textstyle a_0</math> das Produkt aller Nullstellen steckt. Bei einer symmetrischen Gleichung vom Grad <math>\textstyle n</math> ist der Koeffizient <math>\textstyle a_n \neq 0</math> und aus der Symmetrie der Koeffizienten folgt auch, dass <math>\textstyle a_0 \neq 0</math>. Daher kann <math>\textstyle x = 0</math> nie Nullstelle einer symmetrischen Gleichung sein kann, weil sonst <math>\textstyle a_0 = 0 \neq a_n</math> sein müsste.

==== Symmetrischen Gleichungen ungeraden Grades ====
Bringt man die symmetrische Gleichung auf [[Normalform]], d. h. ist der Koeffizient der höchsten Potenz <math>\textstyle a_n = 1</math>, so folgt daraus, dass auch der Koeffizient des absoluten Gliedes <math>\textstyle a_0 = 1</math> ist. Aus der oben gegebenen Darstellung von <math>\textstyle a_0</math> nach Vieta folgt, dass die Nullstellen paarweise reziprok zueinander sind und das Produkt dieser Paare jeweils mit dem Faktor 1 zu <math>\textstyle a_0</math> beiträgt. Die verbliebene Nullstelle muss bei ungeradem Grad und reellen Koeffizienten stets <math>\textstyle -\frac{a_0}{a_n} = -1</math> sein. Der entsprechende Linearfaktor <math>\textstyle (x+1)</math> wird mit Hilfe der [[Polynomdivision]] abdividiert, so dass eine symmetrische Gleichung mit einem um eins erniedrigten, geraden Grad entsteht.

==== Symmetrischen Gleichungen geraden Grades ====
Die allgemeine Lösungsstrategie für symmetrische Gleichungen mit ''geradem'' Grad <math>n</math> und reellen Koeffizienten beruht auf folgenden Schritten<ref>{{Literatur |Hrsg=Bibliographisches Institut |Titel=MEYERS Großer Rechenduden |Verlag=Bibliographisches Institut AG |Ort=Mannheim |Datum=1961 |Kapitel=Stichwort ‘Gleichungen’ |Fundstelle=S. 215 ff |Sprache=de |DNB=453937608}}</ref>:
# Division aller Glieder des Polynoms durch <math>\textstyle x^\frac{n}{2}</math>
# Zusammenfassen der Glieder mit gleichem Koeffizienten und Ausklammern des Koeffizienten <math>a_i = a_{n-i}</math>
# Substitution <math>\textstyle (x^i + \frac{1}{x^i})</math> anwenden, siehe Abschnitt Substitutionen
# Ausmultiplizieren führt zu einem Polynom in <math>u</math> vom Grad <math>\textstyle \frac{n}{2}</math>
# Nullstellen für <math>u</math> berechnen
# Einsetzen jeder Nullstelle von <math>u</math> in die Substitutionsgleichung <math>\textstyle (x + \frac{1}{x}) = u</math> und Auflösung nach <math>x</math>, so dass mit jedem <math>u</math> zwei Nullstellen <math>x</math> aus der Gleichung <math>x^2 - u \cdot x + 1 = 0</math> bestimmt werden können.

==== Substitutionen ====
Für die Berechnung werden folgende Substitutionen verwendet:
: <math> \begin{align}
x \; + \ \frac{1}{x} \ & = u\\
x^2 + \frac{1}{x^2} & = u^2 - 2\\
x^3 + \frac{1}{x^3} & = u^3 - 3 \cdot u\\
x^4 + \frac{1}{x^4} & = u^4 - 4 \cdot u^2 + 2\\
\end{align}</math>

Weitere [[Substitution (Mathematik)|Substitutionen]] für Potenzen ab <math> \textstyle n \ge 2</math> lassen sich mit der folgenden Rekursionsformel aus bereits bekannten Substitutionen ermitteln:

: <math>x^n + \frac{1}{x^n} = \left( x + \frac{1}{x} \right) \cdot \left( x^{n-1} + \frac{1}{x^{n-1}} \right) - \left( x^{n-2} + \frac{1}{x^{n-2}}\right)</math>

==== Resubstitution zur Berechnung der Nullstellen ====
Sobald man eine Nullstelle <math>u_i</math> gefunden hat, löst man die einfachste Substitutionsgleichung <math>\textstyle (x + \frac{1}{x}) = u</math> nach <math>\textstyle x</math> auf. Dadurch ergeben sich für jedes <math>\textstyle u_i</math> zwei Nullstellen für <math>\textstyle x</math> aus der quadratischen Gleichung:

: <math>x^2 - u_i \cdot x + 1 = 0</math>

Aus der Symmetrie dieser Gleichung und weil das absolute Glied dieser quadratischen Gleichung in Normalform 1 ist, folgt aus dem Vietaschen Wurzelsatz, dass die beiden Nullstellen dieser quadratischen Gleichung zueinander reziprok sein müssen. Die Nullstellen ergeben sich nach der [[Quadratische Gleichung#p-q-Formel|p-q-Formel]] zu:

: <math>x_{1/2} = \frac{1}{2} \cdot \left( u_i \pm \sqrt{u_i^2-4} \right)</math> mit <math> x_1 = \frac{1}{x_2}</math>.

=== Antisymmetrische Gleichungen ===
Bei antisymmetrischen Gleichungen vom Grade <math> \textstyle n</math> gibt es bei ungeradem <math> \textstyle n</math> zu jedem Koeffizienten das negative Gegenstück, so dass <math> \textstyle a_i + a_{n-i} = 0</math> gilt. Bei antisymmetrischen Gleichungen geraden Grades gibt es jedoch nur einen mittleren Koeffizienten, der für den folgenden Lösungsweg Null sein muss (<math> \textstyle a_{n/2} = 0</math>), siehe auch Abschnitt ‘Eigenschaften’.

==== Antisymmetrische Gleichungen ungeraden Grades ====
Aus dem Vietaschen Wurzelsatz lässt sich ableiten, dass asymmetrische Gleichungen bei ungeradem Grad <math> \textstyle n</math> und reellen Koeffizienten stets <math>\textstyle -\frac{a_0}{a_n} = +1</math> sein muss. Der entsprechende Linearfaktor <math>\textstyle (x-1)</math> wird mit Hilfe der Polynomdivision abdividiert, so dass eine Gleichung von geraden Grade <math> \textstyle n-1</math> entsteht.

==== Antisymmetrische Gleichungen geraden Grades ====
Betrachtet man den Lösungsweg am Beispiel einer Gleichung 8. Grades, so ist die Ausgangsgleichung folgendermaßen aufgebaut:
: <math> a \cdot x^8 + b \cdot x^7 + c \cdot x^6 + d \cdot x^5 + 0 \cdot x^4 - d \cdot x^3 - c \cdot x^2 - b \cdot x - a = 0</math>

Nun werden die zusammengehörigen Koeffizienten ausgeklammert, so dass nach Division durch <math>\textstyle \frac{1}{x^4}</math> und umordnen die folgende Darstellung ergibt

: <math> a \cdot \left( x^4 - \frac{1}{x^4} \right) + b \cdot \left( x^3 - \frac{1}{x^3} \right) + c \cdot \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right) + d \cdot \left( x - \frac{1}{x} \right) = 0</math>

Hier lässt sich sofort der Faktor <math> \textstyle x - \frac{1}{x}</math> ausklammern und die Gleichung faktorisieren:

: <math> \left( x - \frac{1}{x} \right) \cdot \Bigg( a \cdot \left( x^3 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} \right) + b \cdot \left( x^2 + 1 + \frac{1}{x^2} \right) + c \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + d \Bigg) = 0</math>

Der Faktor <math> \textstyle x - \frac{1}{x}</math> offenbart bereits zwei Nullstellen der antisymmetrischen Gleichung geraden Grades, nämlich –1 und +1.

Der andere Faktor wird zunächst auf die Form einer kubischen Gleichung gebracht und so wie bei der symmetrischen Gleichung zusammengefasst:

: <math> a \cdot \left( x^3 + \frac{1}{x^3} \right) + a \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + b \cdot \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) + b + c \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + d = 0 \qquad \Leftrightarrow</math>

: <math> a \cdot \left( x^3 + \frac{1}{x^3} \right) + b \cdot \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) + (a + c) \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + (b + d) = 0</math>

Wendet man die von der symmetrischen Gleichung bekannten Substitutionen mit <math> \textstyle u</math> an, ergibt sich:
: <math> a \cdot \left(u^3- 3 \cdot u \right) + b \cdot \left(u^2 -2 \right) + (a + c) \cdot u + b + d = 0</math>

Der weitere Lösungsweg entspricht dem der symmetrischen Gleichung.

=== Andere reziproke Gleichungen ===
Für reziproke Gleichungen, bei denen neben jedem <math> \textstyle x_i</math> auch immer <math>\textstyle - \frac{1}{x_i}</math> eine Nullstelle ist, lassen sich Substitutionen konstruieren und damit Nullstellen berechnen.
Dazu eignet sich die Substitution
: <math>x - \frac{1}{x} = u</math>

Mit den bereits beschriebenen Methoden können Substitutionen von höheren Potenzen ermittelt werden:
: <math>x^2 + \frac{1}{x^2} = u^2 + 2; \qquad x^3 - \frac{1}{x^3} = u^3 + 3 \cdot u; \qquad x^4 + \frac{1}{x^4} = u^4 + 4 \cdot u^2 + 2</math>
Wie sich hier zeigt, ist <math> \textstyle x^{2 \cdot n} + \frac{1}{x^{2 \cdot n}}</math> für die geraden Potenzen von <math>x</math> eine Summe, keine Differenz.

Damit lassen sich beispielsweise folgende spezielle Gleichungstypen lösen:
: <math>x^4 \pm a \cdot x^3 + b \cdot x^2 \mp a \cdot x + 1 = 0</math>

: <math>x^6 \pm a \cdot x^5 + b \cdot x^4 + c \cdot x^3 + b \cdot x^2 \mp a \cdot x + 1 = 0</math>

: <math>x^8 \pm a \cdot x^7 + b \cdot x^6 \pm c \cdot x^5 + d \cdot x^4 \mp c \cdot x^3 + b \cdot x^2 \mp a \cdot x + 1 = 0</math>

Wie an den Beispielen leicht zu erkennen ist, haben diese Gleichungen nicht die Struktur einer antisymmetrischen Gleichung im Sinne der oben gegebenen Definition. Die Lösung durch Substitution ist nur möglich, wenn ungleiche Vorzeichen stets und nur bei den Koeffizienten von ungeraden Potenzen auftreten.

== Lösungsformeln für spezielle Gleichungen ==
Die folgenden Beispiele zeigen, wie die Substitution auf eine Gleichung in <math>\textstyle u</math> führt.

=== Symmetrische Gleichung 4. Grades ===
Für eine [[quartische Gleichung]]
: <math>a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + b \cdot x + a = 0</math>

ergibt sich nach Division durch <math>x^2</math> und Zusammenfassung der Glieder:

: <math>a \cdot \left( x^2+ \frac{1}{x^2} \right) + b \cdot \left( x + \frac{1}{x}\right) + c = 0</math>

Nach der Substitution mit <math>\textstyle (x + \frac{1}{x}) = u</math> und <math>\textstyle (x^2 + \frac{1}{x^2}) = u^2-2</math> ergibt sich die quadratische Gleichung in <math>u</math>:

: <math>a \cdot u^2 + b \cdot u + c - 2 \cdot a = 0</math>

Daraus ermittelt man die beiden Nullstellen <math>u_1</math> und <math>u_2</math>. Im nächsten Schritt wird die Substitution rückgängig gemacht und alle vier Nullstellen <math> \textstyle x_i </math> der quartischen Gleichung durch Auflösung von <math>\textstyle (x_i + \frac{1}{x_i}) = u</math> für jedes der beiden <math> \textstyle u </math> berechnet.

''Beispiel'': Die Gleichung <math> \textstyle 6x^4 - 5x^3 - 38x^2 - 5x + 6 = 0</math> wird durch die gezeigte Substitution zur quadratischen Gleichung <math> \textstyle 6u^2 - 5u - 50 = 0</math>. Daraus ergeben sich die Nullstellen <math> \textstyle u_1 = \frac{10}{3}</math> und <math> \textstyle u_2 = -\frac{5}{2}</math>.

Für die Resubstitution sucht man sich die einfachste Gleichung aus, nämlich <math>\textstyle (x + \frac{1}{x}) = u</math>, formt sie zur quadratischen Gleichung <math> \textstyle x^2 - u \cdot x + 1 = 0</math> um und setzt <math> \textstyle u_1 </math> und <math> \textstyle u_2</math> ein:
* Mit <math> \textstyle u_1</math> ergibt sich <math> \textstyle x^2 - \frac{10}{3} \cdot x + 1 = 0</math> und die Nullstellen 3 und <math> \textstyle \frac{1}{3}</math>
* Mit <math> \textstyle u_2</math> ergibt sich <math>\textstyle x^2 + \frac{5}{2} \cdot x + 1 = 0</math> und die Nullstellen −2, <math> \textstyle -\frac{1}{2}</math>

Dies sind auch die Nullstellen der quartischen Ausgangsgleichung.

=== Symmetrische Gleichung 6. Grades ===

Für eine Gleichung 6. Grades in Normalform
: <math>x^6 + a \cdot x^5 + b \cdot x^4 + c \cdot x^3 + b \cdot x^2 + a \cdot x + 1 = 0</math>

ergibt sich nach Division durch <math>x^2</math> und Zusammenfassung der Glieder:

: <math>\left( x^3+ \frac{1}{x^3} \right) + a \cdot \left( x^2+ \frac{1}{x^2} \right) + b \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + c = 0</math>

Nach der Substitution mit <math>\textstyle (x + \frac{1}{x}) = u</math> und <math>\textstyle (x^2 + \frac{1}{x^2}) = u^2-2</math> und <math>\textstyle (x^3 + \frac{1}{x^3}) = u^3 - 3 \cdot u</math> ergibt sich die kubische Gleichung in <math>u</math>:

: <math>u^3 +a \cdot u^2 + (b - 3) \cdot u - 2 \cdot a + c = 0</math>

Daraus ermittelt man die Nullstellen <math>u_1</math>, <math>u_2</math> und <math>u_3</math> mit Hilfe der Lösungsformeln für die [[Kubische Gleichung|kubischen Gleichung]].

=== Symmetrische Gleichung 8. Grades ===

Für eine Gleichung 8. Grades in Normalform
: <math>x^8 + a \cdot x^7 + b \cdot x^6 + c \cdot x^5 + d \cdot x^4 + c \cdot x^3 + b \cdot x^2 + a \cdot x + 1 = 0</math>

ergibt sich nach Division durch <math>x^2</math> und Zusammenfassung der Glieder:

: <math>\left( x^4+ \frac{1}{x^4} \right) + a \cdot \left( x^3+ \frac{1}{x^3} \right) + b \cdot \left( x^2+ \frac{1}{x^2} \right) + c \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + d = 0</math>

Nach der Substitution mit <math>\textstyle (x + \frac{1}{x}) = u</math> und <math>\textstyle (x^2 + \frac{1}{x^2}) = u^2-2</math>, <math>\textstyle (x^3 + \frac{1}{x^3}) = u^3 - 3 \cdot u</math> und <math>\textstyle (x^4 + \frac{1}{x^4}) = u^4 - 4 \cdot u^2 + 2</math> ergibt sich die quartische Gleichung in <math>u</math>:

: <math>u^4 +a \cdot u^3 + (b - 4) \cdot u^2 + (c -3\cdot a) \cdot u - 2 \cdot b + d + 2 = 0</math>

Daraus ermittelt man die Nullstellen <math>u_1</math>, <math>u_2</math>, <math>u_3</math> und <math>u_4</math> mit Hilfe der Lösungsformeln für die quartische Gleichung.

=== Weitere Beispiele ===

* Die Nullstellen der [[Quadratische Gleichung|quadratischen Gleichung]] lassen sich mit den bekannten [[Quadratische Gleichung#Allgemeine Lösungsformeln|Lösungsformeln]] am schnellsten bestimmen.
* Bei symmetrischen kubischen Gleichungen mit reellen Koeffizienten ist −1 eine Nullstelle. Danach führt eine [[Polynomdivision]] zu einer quadratischen (symmetrischen) Gleichung.
: Beispiele:
:* Die symmetrische Gleichung 3. Grades <math>f(x) = 3 \cdot x^3 + 13 \cdot x^2 + 13 \cdot x + 3</math> hat eine Nullstelle bei –1. Division durch <math>(x + 1)</math> führt zu <math>g(x) = 3 \cdot x^2 + 10 \cdot x +3 </math>, woraus sich die weiteren Nullstellen <math> \textstyle -\frac{1}{3}</math> und –3 berechnen lassen.
:* Die antisymmetrische Gleichung 3. Grades <math>f(x) = 6 \cdot x^3 + 7 \cdot x^2 - 7 \cdot x - 3</math> hat eine Nullstelle bei 1. Division durch <math>(x - 1)</math> führt wieder zu <math>g(x) = 3 \cdot x^2 + 10 \cdot x +3</math>, woraus sich die weiteren Nullstellen <math> \textstyle -\frac{1}{3}</math> und –3 berechnen lassen.
:* Die symmetrische Gleichung 5. Grades <math>f(x) = 6 \cdot x^5 + 11 \cdot x^4 - 33 \cdot x^3 - 33 \cdot x^2 + 11 \cdot x + 6</math> hat eine Nullstelle bei –1. Division durch <math>(x + 1)</math> führt zu <math>g(x) = 6 \cdot x^4 + 5 \cdot x^3 - 38 \cdot x^2 + 5 \cdot x + 6</math>, woraus sich die weiteren Nullstellen –3, <math> \textstyle -\frac{1}{3}</math>, 2, <math> \textstyle \frac{1}{2}</math> berechnen lassen.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Franz Lemmermeyer |Titel=Mathematik à la Carte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2016 |ISBN=978-3-662-50340-9 |Kapitel=3.3 Wurzelgleichungen |Fundstelle=Reziproke Gleichungen, S. 59 ff. |Sprache=de}}
* {{Internetquelle |autor=Helmut Meyn, Werner Götz |url=https://www.mat.univie.ac.at/~slc/opapers/s21meyn.pdf |titel=Self-reciprocal Polynomials Over Finite Fields |hrsg=Universität Wien |abruf=2022-01-30 |format=PDF |sprache=en}}
* {{Internetquelle |autor=David Joyner |url=https://wdjoyner.files.wordpress.com/2016/07/polynomials-survey2c-springer.pdf |titel=Zeros of some self-reciprocal polynomials |abruf=2022-01-30 |format=PDF |sprache=en}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Theorie der Polynome]]
[[Kategorie:Polynom]]

Symmetrische Gleichung - Versionsgeschichte

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