Symmetrische Funktion - Versionsgeschichte

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{{Dieser Artikel|behandelt symmetrische Funktionen mehrerer Variablen; zur Achsen- und Punktsymmetrie reeller Funktionen einer Variablen siehe [[gerade und ungerade Funktionen]].}}
Eine '''symmetrische Funktion''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] mehrerer Variablen, bei der die Variablen untereinander vertauscht werden können, ohne den Funktionswert zu verändern. Wichtige Spezialfälle symmetrischer Funktionen sind symmetrische [[Multilinearform]]en und [[Symmetrisches Polynom|symmetrische Polynome]]. In der [[Quantenmechanik]] sind [[Boson]]en genau diejenigen Teilchen, deren [[Wellenfunktion]] symmetrisch bezüglich des Austauschs der Teilchenpositionen ist. Das Gegenstück zu den symmetrischen Funktionen sind [[antisymmetrische Funktion]]en.

== Definitionen ==
Sind <math>X</math> und <math>Y</math> zwei [[Menge (Mathematik)|Mengen]], dann heißt eine multivariate Funktion <math>f\colon X^n\to Y</math> ''symmetrisch,'' wenn für alle [[Permutation]]en <math>\sigma\in S_n</math> der [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_n</math> und alle Elemente <math>x_1, \dotsc , x_n \in X</math>

: <math>f(x_1, \dotsc , x_n)=f(x_{\sigma(1)}, \dotsc , x_{\sigma(n)})</math>

gilt. In der Praxis werden als Mengen <math>X</math> und <math>Y</math> meist [[Vektorraum|Vektorräume]] über den [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen verwendet.

Diese Definition kann folgendermaßen auf Funktionen mit [[Abzählbarkeit|abzählbar]] vielen Argumenten verallgemeinert werden. Eine Funktion <math>f\colon X^\N\to Y</math> heißt ''<math>n</math>-symmetrisch,'' wenn für alle Permutationen <math>\sigma\in S_n</math> und alle Elemente <math>x_i \in X</math>
:<math>f(x_1, \dotsc , x_n, x_{n+1}, \dots )=f(x_{\sigma(1)}, \dotsc , x_{\sigma(n)}, x_{n+1}, \dots )</math>

gilt. Eine <math>n</math>-symmetrische Funktion ist also symmetrisch in den ersten <math>n</math> Argumenten. Eine Funktion <math>f \colon X^\N\to Y</math> heißt dann ''symmetrisch'', wenn sie <math>n</math>-symmetrisch für alle <math> n \in \N </math> ist.

== Beispiele ==
=== Konkrete Beispiele ===
Die Summe und das Produkt

: <math>f(x_1,x_2) = x_1 + x_2</math>   bzw.   <math>f(x_1,x_2) = x_1 \cdot x_2</math>

sind symmetrisch, denn durch Vertauschung der beiden Operanden <math>x_1</math> und <math>x_2</math> verändert sich das Ergebnis nicht. Eine symmetrische Funktion dreier Variablen ist beispielsweise die [[Diskriminante]]

: <math>f(x_1,x_2,x_3) = ( x_1 - x_2 )^2 ( x_1 - x_3 )^2 ( x_2 - x_3 )^2</math>,

Ein Beispiel für eine symmetrische Funktion, die keine Polynomfunktion ist, ist

:<math>f(x_1,x_2,x_3) = \max\{ | x_1 - x_2 | , | x_1 - x_3 | , | x_2 - x_3 | \}</math>.

=== Allgemeinere Beispiele ===
* jede [[konstante Funktion]] ist symmetrisch
* eine [[Kommutativgesetz|kommutative]] [[zweistellige Verknüpfung]] ist eine symmetrische Funktion der beiden Operanden
* der [[Mittelwert]] einer Menge gegebener Werte ist eine symmetrische Funktion dieser Werte
* eine symmetrische [[multilineare Abbildung]] ist eine symmetrische Funktion, die linear in jedem Argument ist
* ein [[symmetrisches Polynom]] ist eine symmetrische Polynomfunktion

== Weitere Kriterien ==

Für den Nachweis der Symmetrie einer Funktion müssen nicht alle <math>n!</math> möglichen Permutationen der [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_n</math> überprüft werden.

=== Vertauschungen zweier Variablen ===
Nachdem sich jede Permutation als [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] von [[Vertauschung|Transpositionen]] der Form <math>(i ~ j)</math> schreiben lässt, ist eine Funktion bereits genau dann symmetrisch, wenn sich der Funktionswert durch die Vertauschung zweier beliebiger Variablen <math>x_i</math> und <math>x_j</math> nicht verändert, also

: <math>f(\dotsc , x_i , \dotsc , x_j, \dotsc) = f(\dotsc , x_j , \dotsc , x_i, \dotsc)</math>

für <math>i,j \in \{ 1, \ldots , n \}</math> mit <math>i < j</math> ist.

=== Vertauschungen benachbarter Variablen ===
Da sich jede Transposition auch als Hintereinanderausführung von Nachbarvertauschungen der Form <math>(i ~ i+1)</math> schreiben lässt, reicht es sogar aus, nur aufeinanderfolgende Variablen <math>x_i</math> und <math>x_{i+1}</math> zu betrachten. Es muss also für das Vorhandensein von Symmetrie lediglich

: <math>f(\dotsc , x_i , x_{i+1}, \dotsc) = f(\dotsc , x_{i+1} , x_i, \dotsc)</math>

für <math>i=1, \ldots , n-1</math> gelten.

=== Vertauschungen mit einer festen Variablen ===
Alternativ kann man auch die Transpositionen der Form <math>(1 ~ i)</math> betrachten; eine Funktion ist damit genau dann symmetrisch, wenn die erste mit der <math>i</math>-ten Variablen vertauscht werden kann, ohne dass sich der Funktionswert ändert. Zum Nachweis der Symmetrie reicht es also aus, wenn

: <math>f(x_1 , \dotsc , x_i, \dotsc) = f(x_i , \dotsc , x_1, \dotsc)</math>

für <math>i=2, \ldots , n</math> gilt. Statt der ersten Variablen kann man auch eine beliebige Variable auswählen und diese mit allen anderen Variablen vertauschen.

=== Minimalkriterium ===
Ein minimales [[Erzeugendensystem]] der symmetrischen Gruppe <math>S_n</math> stellen die beiden Permutationen <math>(1 ~ 2 ~ \ldots ~ n)</math> und <math>(1 ~ 2)</math> dar. Deswegen ist eine Funktion bereits genau dann symmetrisch, wenn die beiden Bedingungen

: <math>f(x_1, x_2, \dotsc , x_n) = f(x_2, \ldots , x_n, x_1)</math>

und

: <math>f(x_1, x_2, \dotsc , x_n) = f(x_2, x_1, \ldots , x_n)</math>

erfüllt sind. Das Paar <math>(1 ~ 2 ~ \ldots ~ n)</math> und <math>(1 ~ 2)</math> kann dabei auch durch einen beliebigen [[Zyklische Permutation|Zyklus]] der Länge <math>n</math> sowie irgendeine Transposition aufeinanderfolgender Elemente in diesem Zyklus ersetzt werden.

== Eigenschaften ==
Die symmetrischen Funktionen bilden einen [[Untervektorraum]] im Vektorraum aller Funktionen von <math>X^n</math> nach <math>Y</math> (mit der komponentenweisen Addition und [[Skalarmultiplikation]]), das heißt

* ein skalares Vielfaches einer symmetrischen Funktion ist wieder eine symmetrische Funktion und
* die Summe zweier symmetrischer Funktionen ist ebenfalls wieder symmetrisch,

wobei die [[Nullfunktion]] trivialerweise symmetrisch ist.

== Symmetrisierung ==
Durch Symmetrisierung, das heißt durch Summation über alle möglichen Permutationen

: <math>Sf(x_1, \dotsc , x_n) = \frac{1}{n!}\sum_{\sigma \in S_n} f(x_{\sigma(1)}, \dotsc , x_{\sigma(n)})</math>,

lässt sich jeder nichtsymmetrischen Funktion <math>f</math> eine zugehörige symmetrische Funktion <math>Sf</math> zuordnen. Der Symmetrisierungsoperator <math>S</math> führt dabei eine [[Projektion (lineare Algebra)|Projektion]] auf den Untervektorraum der symmetrischen Funktionen durch.

== Siehe auch ==
* [[Lagrange-Resolvente]]
* [[Symmetrische Algebra]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Christian Karpfinger]], Kurt Meyberg
|Titel=Algebra: Gruppen – Ringe – Körper
|Verlag=Springer
|Datum=2008
|ISBN=3-8274-2018-0}}

== Weblinks ==
* {{EoM|Autor=V.M. Khrapchenko|Titel=Symmetric function|Url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Symmetric_function}}
* {{MathWorld |id=SymmetricFunction |title=Symmetric Function}}

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]