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Eine '''symmetrische Algebra''' ist ein Hilfsmittel zur Definition von [[Polynom]]en über beliebigen [[Vektorraum|Vektorräumen]]. Symmetrische Algebren spielen eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der [[Lie-Gruppe]]n und in der Theorie der [[Charakteristische Klasse|charakteristischen Klassen]].

== Formale Definition ==

Es sei <math>V</math> ein Vektorraum über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math>. Weiter sei
: <math> T^k(V) = \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{k\text{-mal}}</math>
das <math>k</math>-fache [[Tensorprodukt]] von <math>V</math> mit den Konventionen <math>T^0(V)=K</math> und <math>T^1(V)=V</math>. Die [[direkte Summe]]
:<math>T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty T^k(V)</math>
ist die [[Tensoralgebra]] von <math>V</math>.

Das zweiseitige, homogene [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] <math>I(V)\subseteq T(V)</math> sei erzeugt durch Differenzen von Elementartensoren mit „vertauschter Reihenfolge“:
:<math> I(V) := \mathrm{span}\left\{v\otimes w - w \otimes v\;\Big|\; v, w\in V \right\}</math>.

Die ''symmetrische Algebra'' ist dann definiert als der [[Faktorraum|Quotientenraum]]
:<math>S(V) = T(V) / I(V)</math>.

Die <math>k</math>-te ''symmetrische Potenz'' von <math>V</math> ist definiert als das [[Bild (Mathematik)|Bild]] von <math>T^k(V)</math> in <math>S(V)</math>, sie wird mit <math>S^k(V)</math> bezeichnet. Man hat eine Zerlegung
: <math>S(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty S^k(V)</math>.

Das Produkt in der symmetrischen Algebra wird traditionell als <math>a b</math> geschrieben.

Analog kann man die symmetrische Algebra von [[Modul (Mathematik)|Moduln]] über [[kommutativer Ring|kommutativen Ringen]] definieren.

== Beispiele ==

Für <math>V=K</math> ist <math>S(V)</math> isomorph zum [[Polynomring]] <math>K[X]</math>.

Allgemein kann man die Elemente von <math>S(V)</math> als Polynome in den Elementen einer fest gewählten <math>K</math>-Basis von <math>V</math> interpretieren.

Speziell für <math>V:=\mathfrak{gl}(n,K)=\operatorname{Mat}(n,K)</math>, den Vektorraum der <math>n\times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] über <math>K</math>, kann man die Elemente von <math>S(V)</math> als Polynome in den Einträgen der Matrizen interpretieren:
:<math>S(\mathfrak{gl}(n,K))\simeq K\left[x_{11},\ldots,x_{nn}\right]</math>.

== Polynome über Vektorräumen ==

[[Homogenes Polynom|Homogene Polynome]] vom Grad <math>k</math> über einem <math>\mathbb K</math>-Vektorraum <math>V</math> sind – per Definition – die Elemente aus <math>S^k(V^*)</math>, wobei <math>V^*</math> den [[Dualraum]] bezeichnet. Diese Polynome sind [[lineare Abbildung]]en
:<math>P:\underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{k\text{-mal}}\rightarrow \mathbb K</math>
welche unter der Wirkung der [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_k</math> invariant sind. (Man beachte, dass ein solches Polynom durch seine Werte <math>P(x,x,\ldots,x)</math> für alle <math>x\in V</math> bereits eindeutig festgelegt wird.)

Das Produkt
:<math>S^k(V^*)\otimes S^l(V^*)\rightarrow S^{k+l}(V^*)</math>
ist definiert durch
:<math>(PQ)(v_1,\ldots,v_{k+l})=\frac{1}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in S_{k+l}}P(v_{\sigma(1)},\ldots.v_{\sigma(k)})Q(v_{\sigma(k+1)},\ldots,v_{\sigma(k+l)})</math>.

== Siehe auch ==

* [[Graßmann-Algebra]]

== Literatur ==
* [[Johan L. Dupont]]: ''Curvature and characteristic classes.'' Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer, Berlin-New York 1978. ISBN 3-540-08663-3

[[Kategorie:Algebra]]

Symmetrische Algebra - Versionsgeschichte

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