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Die '''Symbolische Dynamik''' ist ein Zweig der Theorie [[Dynamisches System|dynamischer Systeme]], in dem Methoden der [[Formale Sprache|Formalen Sprachen]] ([[Formale Grammatik|Grammatiktheorie]], [[Automatentheorie]], [[Komplexitätstheorie]]) und der Theorie [[stochastischer Prozess]]e zur Anwendung kommen.

Der Ausgangspunkt der symbolischen Dynamik ist ein zeitdiskretes dynamisches System <math> (X, \Phi) </math> mit [[Zustandsraum (Stochastik)|Zustandsraum]] <math> X </math> und Fluss <math> \Phi \colon \mathbb{T} \times X \to X </math>, wobei <math> \mathbb{T} </math> entweder gleich <math> \mathbb{N} </math> oder für reversible Dynamik gleich <math> \mathbb{Z} </math> ist. Durch eine [[Partition (Mengenlehre)|Partition]] des Zustandsraums <math> X </math> in eine endliche Anzahl von ''n'' Teilmengen <math> A_1, A_2, \dots A_n </math> gewinnt man eine Vorschrift, wie eine [[Anfangsbedingung]] <math> x_0 \in X </math> auf eine [[Symbolsequenz]] abzubilden ist:

Weise der Anfangsbedingung <math> x_0 </math> ein ''Symbol'' <math> a_{k_0} </math> zu, wenn <math> x_0 \in A_{k_0} </math>, weise dann dem Folgezustand <math> x_1 = \Phi(1, x_0) </math> ein Symbol <math> a_{k_1} </math> zu, wenn <math> x_1 \in A_{k_1} </math>, kurz: Weise dem Zustand <math> x_t = \Phi(t, x_0) </math> ein Symbol <math> a_{k_t} </math> zu, wenn <math> x_t \in A_{k_t} </math>. Die Folge der von der [[Bahnkurve]] <math> \{x_t | t \in \mathbb{T} \} </math> durchzogenen Teilmengen kann dann als [[Symbolsequenz]] <math> s = a_{k_0} . a_{k_1} a_{k_2} a_{k_3} \dots </math> mit Symbolen <math> a_{k_t} \in \mathbf{A} </math> angesehen werden. Dabei ist <math> \mathbf{A} </math> ein endliches [[Alphabet (Mathematik)|Alphabet]] bestehend aus so vielen Symbolen wie es Teilmengen der Partition gibt.

Abhängig von der Zeitmenge <math> \mathbb{T} </math> erhält man entweder einseitig unendliche Symbolsequenzen <math> s = s_0 . s_1 s_2 \dots </math>, wenn <math> \mathbb{T} = \mathbb{N} </math> (engl. ''one-sided shifts''), oder zweiseitig unendliche Symbolsequenzen <math> s = \dots s_{-2} s_{-1} s_0 . s_1 s_2 \dots </math>, wenn <math> \mathbb{T} = \mathbb{Z} </math> (engl. ''two-sided shifts''). Der Punkt nach <math> s_0 </math> kennzeichnet üblicherweise die Anfangsbedingung. Die Menge der Symbolsequenzen, der [[Zustandsraum (Stochastik)|Zustandsraum]] der symbolischen Dynamik, wird dann <math> \Sigma = \mathbf{A}^\mathbb{N} </math> (einseitig), bzw. <math> \Sigma = \mathbf{A}^\mathbb{Z} </math> geschrieben. Die obige Konstruktionsvorschrift einer Symbolsequenz entspricht dann einer Abbildung <math> \pi \colon X \to \Sigma </math>, so dass <math> \pi(x_0) = s </math>, wenn <math> \Phi(t, x_0) \in A_{k_t} </math>, wobei der Teilmenge <math> A_{k_t} </math> der Partition das Symbol <math> a_{k_t} \in \mathbf{A} </math> zugeordnet ist.

Zwischen den symbolischen Darstellungen einer Anfangsbedingung <math> x_0 </math> und ihrer ersten Iteration <math> x_1 = \Phi(1, x_0) </math> besteht ein simpler Zusammenhang: Während <math> x_0 </math> durch die Sequenz <math> s = s_0 . s_1 s_2 s_3 \dots </math> dargestellt wird, beginnt die Konstruktion der Symbolsequenz für <math> x_1 </math> mit dem Symbol <math> s_1 </math>. Daher wird <math> x_1 </math> durch die Folge <math> s' = s_1 . s_2 s_3 s_4 \dots </math> dargestellt. <math> s' </math> unterscheidet sich also von <math> s </math> dadurch, dass alle Symbole in <math> s </math> um eine Stelle nach links (oder der Punkt um eine Stelle nach rechts) gerückt sind. Daher gibt es eine Abbildung auf dem Raum der Symbolsequenzen <math> \sigma \colon \Sigma \to \Sigma </math>, mit <math> \sigma(s) = s' </math>. Die Abbildung <math> \sigma </math> wird ''Linksverschiebung'' (engl. ''left-shift'') genannt. <math> (\Sigma, \sigma) </math> heißen symbolische Dynamik. Zwischen dem ursprünglichen System <math> (X, \Phi) </math> und der symbolischen Dynamik <math> (\Sigma, \sigma) </math> besteht der Zusammenhang <math> \pi \circ \Phi = \sigma \circ \pi </math>.

== Literatur ==

* T. Schürmann, I. Hoffmann: {{arXiv|nlin/0208048}} In: ''J. Phys A: Math. Gen.'', 28, 1995, S. 5033–5039.
* T. Schürmann: ''Scaling behaviour of entropy estimates''. In: ''J. Phys A: Math. Gen.'', 35, 2002, S. 1589–1596, {{arXiv|cond-mat/0203409v1}}
* {{Literatur
|Autor=[[Gerald Teschl]]
|Titel=Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems
|Reihe=Graduate Studies in Mathematics
|BandReihe=140
|Verlag=American Mathematical Society
|Ort=Providence
|Datum=2012
|ISBN=978-0-8218-8328-0
|Online=[https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ mat.univie.ac.at]}}

[[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme]]

[[Kategorie:Stochastik]]

Symbolische Dynamik - Versionsgeschichte

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