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2025-12-25T13:18:04Z

Eigenschaften: Ergänze noch die Dimension

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In der [[Algebra]] ist die '''Sylvestermatrix''' zu zwei [[Polynom]]en eine spezielle mit den Koeffizienten der Polynome besetzte [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], deren [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] die [[Resultante]] der Polynome ergibt. Sie ist nach dem britischen Mathematiker [[James Joseph Sylvester|James J. Sylvester]] benannt.

== Definition ==
Seien <math>R</math> ein [[kommutativer Ring]] sowie <math>f</math> und <math>g</math> zwei Polynome
:<math>f = \sum_{i=0}^m f_i X^i = f_0 + f_1 X + \cdots + f_m X^m \quad</math> und <math>\quad g = \sum_{i=0}^n g_i X^i = g_0 + g_1 X + \cdots + g_n X^n</math>
aus dem [[Polynomring]] <math>R[X]</math> mit den Graden <math>\deg(f) = m \ge 1</math> und <math>\deg(g) = n \ge 1</math>.

Dann heißt die quadratische <math>(m+n)</math>-Matrix<ref>{{Literatur |Autor=Peter F. Stiller |Titel=An Introduction to the Theory of Resultants |Datum=2004 |Online=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:31644195 |Seiten=4}}</ref>
:<math>\operatorname{Syl}(f,g)=
\begin{pmatrix}
f_m & f_{m-1} & \cdots & f_1 & f_0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & f_m & f_{m-1} & \cdots & f_1 & f_0 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & & & & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & f_m & f_{m-1} & \cdots & f_1 & f_0 \\
g_n & g_{n-1} & \cdots & g_1 & g_0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & g_n & g_{n-1} & \cdots & g_1 & g_0 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & & & & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & g_n & g_{n-1} & \cdots & g_1 & g_0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
S_1(f) \\ \vdots \\ S_n(f) \\ S_1(g) \\ \vdots \\ S_m(g)
\end{pmatrix}
</math>
die Sylvestermatrix zu <math>f</math> und <math>g</math>. Die <math>S_i(P)</math> stehen für eine Zeile der Matrix mit Koeffizienten des Polynoms <math>P \in \{f,g\}</math>.

Für das Polynom <math>f</math> mit <math>\deg(f)+1</math> Koeffizienten gibt es <math>n=\deg(g)</math> Zeilen mit verschobenen Koeffizienten, weil <math>n+m-(\deg(f)+1)=n-1</math> Einträge in einer Zeile jeweils mit <math>0</math> gefüllt sind. Daraus folgt: Die erste Zeile, die ganz links in der Matrix beginnt, kann insgesamt <math>n-1</math> mal nach rechts verschoben werden.

Beispiel: Seien <math>\deg(f)=4</math> und <math>\deg(g)=3</math>, dann ist die Sylvestermatrix

:<math>\operatorname{Syl}(f,g)=
\begin{pmatrix}
f_4 & f_3 & f_2 & f_1 & f_0 & 0 & 0 \\[2mm]
0 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 & f_0 & 0 \\[1mm]
0 & 0 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 & f_0 \\[1mm]
g_3 & g_2 & g_1 & g_0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm]
0 & g_3 & g_2 & g_1 & g_0 & 0 & 0 \\[1mm]
0 & 0 & g_3 & g_2 & g_1 & g_0 & 0 \\[1mm]
0 & 0 & 0 & g_3 & g_2 & g_1 & g_0
\end{pmatrix}</math>

== Eigenschaften ==
Die trunkierte Sylvester-Matrix <math>M_{ji}</math> wird verwendet, um den Grad des [[Größter gemeinsamer Teiler#Größter gemeinsamer Teiler zweier Polynome|größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome]] <math>f</math> und <math>g</math> zu bestimmen.

Für <math>0 \leq i \leq j \leq \min(m,n)</math> entsteht <math>M_{ji}</math> aus der Sylvestermatrix durch folgende Schritte<ref>{{Literatur |Autor=Peter F. Stiller |Titel=An Introduction to the Theory of Resultants |Datum=2004 |Online=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:31644195}}</ref>
* Man behält die ersten <math>m-j</math> Zeilen von <math>f</math>-Koeffizienten,
* Man behält die ersten <math>n-j</math> Zeilen von <math>g</math>-Koeffizienten,
* Man behält die ersten <math>m+n-2j</math> Spalten

:<math>
M_{ji}=\begin{pmatrix}
f_m & & \cdots & & & f_0 & 0 & 0 \\
0 & \ddots & & & & & \ddots & 0 \\
0 & 0 & f_m & & & & & f_0 \\
0 & 0 & 0 & f_m & & & & f_1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & f_m & \cdots & f_j \\
g_n & & \cdots & & & g_0 & 0 & 0 \\
0 & \ddots & & & & & \ddots & 0 \\
0 & 0 & g_n & & & & & g_0 \\
0 & 0 & 0 & g_n & & & & g_1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & g_n & \cdots & g_j \\
\end{pmatrix}
</math>

<math>M_{ij}</math> ist dann eine <math>(m+n-2j)\times (m+n-2j)</math>-Matrix.

Das Polynom
:<math>S_j(f,g) = \sum_{i=0}^j \left(\det M_{ji}\right) \, X^i</math>
ist dann die <math>j</math>-te [[Subresultante]] von <math>f</math> und <math>g</math>; ihr Leitkoeffizient
:<math>\operatorname{psc}_j(f,g) = \det M_{jj}</math>
ist der <math>j</math>-te [[Hauptsubresultantenkoeffizient]]. Der <math>0</math>-te Hauptsubresultantenkoeffizient
:<math>\operatorname{res}(f,g) = \det \operatorname{Syl}(f,g)</math>
schließlich ist die [[Resultante]] von <math>f</math> und <math>g</math>.

== Bedeutung ==
Die Hauptsubresultantenkoeffizienten haben eine wichtige Bedeutung als „Gradmesser“ des [[Größter gemeinsamer Teiler|größten gemeinsamen Teilers]] von Polynomen: Der Grad von <math>\operatorname{ggT}(f,g)</math> für zwei Polynome ungleich 0 über einem kommutativen [[Faktorieller Ring|faktoriellen]] [[Integritätsring]] ist genau das kleinste <math>k \geq 0</math> mit <math>\operatorname{psc}_k(f,g) \neq 0</math>.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]

Sylvestermatrix - Versionsgeschichte

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