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Die '''Swift-Hohenberg-Gleichung''' (nach den beiden US-amerikanischen Physikern Jack B. Swift und [[Pierre C. Hohenberg]]) ist eine mathematische [[Modell]]<nowiki/>gleichung zur Untersuchung von [[Musterbildung]]sprozessen.<ref>J. Swift, P. Hohenberg: ''Hydrodynamic fluctuations at the convective instability.'' In: ''Physical Review A.'' 15, 1977, S. 319, {{DOI|10.1103/PhysRevA.15.319}}.</ref> Eine mathematisch vereinfachte Form dieser Gleichung beschreibt das Muster der Faltenbildung von [[Papillarleiste]]n (''Dermatoglyphen'') an Fingern, also das Muster von [[Fingerabdruck|Fingerabdrücken]], sowie das Muster der Bildung von Rillen auf eintrocknenden [[Rosinen]].<ref>{{Internetquelle | url=https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematiker-erklaeren-muster-von-fingerabdruecken-a-1016501.html | titel=Mathematiker erklären Muster von Fingerabdrücken | autor=Holger Dambeck | hrsg=Spiegel Online | datum=2015-02-04 | zugriff=2015-02-05}}</ref><ref>Norbert Stoop, Romain Lagrange, Denis Terwagne, Pedro M. Reis, Jörn Dunkel: ''Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns.'' In: ''Nature Materials.'' 14, 2015, S. 337, {{DOI|10.1038/NMAT4202}}.</ref>

== Die Gleichung ==
Es handelt sich um eine [[partielle Differentialgleichung]] auf einer [[reell]]en oder [[Komplexe Zahl|komplex]]en [[Skalar (Mathematik)|skalaren]] Funktion <math>\psi</math> mit zwei räumlichen und einem zeitlichen Argument:

:<math>\partial_t \psi(x, y, t) = \left[ \epsilon - (\Delta + k_\text{crit}^2)^2 \right] \cdot \psi - R(\psi) </math>.

Dabei sind
* <math>\partial_t</math> die [[partielle Ableitung]] nach der Zeit
* der Parameter <math>\epsilon</math> das Analogon zur Temperatur im [[Bénard-Experiment]]
* <math>\Delta</math> der [[Laplaceoperator]]
* <math>k_\text{crit}</math> eine kritische [[Kreiswellenzahl]]
* <math>R(\psi)</math> eine [[nichtlinear]]e Funktion mit <math>R(0) = 0</math>.
Von Interesse ist vor allem das Aussehen von <math>\psi (x,y)</math> nach einer hinreichend langen Zeit <math>t</math>, d. h. die stabilen Lösungen der Gleichung, sofern solche jemals erreicht werden.

== Homogene Lösung ==
Für <math>\epsilon < 0</math> ergibt sich <math>\psi \equiv 0</math> als stabile Lösung der Gleichung.

== Kritischer Punkt ==
Das Verhalten um den kritischen Punkt <math>\epsilon = 0</math> wird nach einer [[Fouriertransformation]] des Linearanteils der Gleichung offensichtlich:

:<math>\partial_t \tilde{\psi}(k, t) = [\epsilon - (k_\text{crit}^2 - k^2)^2] \cdot \tilde{\psi}</math>

* Im Fall <math>\epsilon < 0</math> [[Grenzwert (Funktion)|konvergieren]] die [[Amplitude]]n <math>\tilde{\psi}</math> zu allen Wellenzahlen gegen [[Null]], es bildet sich also kein Muster aus.
* Ist <math>\epsilon > 0 </math>, so wachsen die Amplituden einiger überkritischer Wellenzahlen. Die überkritischen Wellenzahlen bilden einen Kreis mit dem Radius <math>k_\text{crit} </math>. Es bildet sich ein Muster mit der [[Wellenlänge]] <math> 2\pi/k_\text{crit} </math>.

== Überkritisches Verhalten ==
Das [[Kritischer Punkt (Thermodynamik)|überkritische]] Verhalten für <math>\epsilon > 0</math> wird durch die Ausformung von <math> R(\psi) </math> bestimmt. Ähnlich wie beim Bénard-Experiment sind die Lösungen typischerweise Rollen oder [[Sechseck|hexagon]]ale Muster.

== Literatur ==
* M. C. Cross and P. C. Hohenberg, Rev. Mod. Phys. 65, 851 (1993).
* J. Swift (Department of Physics, University of Texas, Austin), P. C. Hohenberg (Bell Laboratories, Murray Hill; Physik Department, Technische Universität München): ''Hydrodynamic fluctuations at the convective instability''. Phys. Rev. A 15, 319–328 (1977)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Nichtgleichgewichtsthermodynamik]]
[[Kategorie:Dynamisches System]]
[[Kategorie:Biophysik]]

Swift-Hohenberg-Gleichung - Versionsgeschichte

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