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2025-04-14T18:14:21Z

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In der [[Mengenlehre]] postuliert die '''Suslin-Hypothese''' (benannt nach dem russischen Mathematiker [[Michail Jakowlewitsch Suslin]]) eine spezielle Charakterisierung der Menge der [[reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Sie ist in dem üblichen System der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] weder beweis- noch widerlegbar.

== Motivation ==
[[Georg Cantor]] zeigte folgende [[Ordnungsrelation|ordnungstheoretische]] Charakterisierung der reellen Zahlen: Eine nichtleere [[lineare Ordnung]] <math>\langle P,<\rangle</math> ist genau dann [[Isomorphismus|isomorph]] zu <math>\langle\R,<\rangle</math> falls gilt:
* <math>P</math> ist unbeschränkt: Für jedes <math>p\in P</math> gibt es <math>q,r\in P</math> sodass <math>q<p<r</math>.
* <math>P</math> ist [[Dichte Ordnung|dicht]]: Für jedes Paar <math>p,q\in P</math> mit <math>p<q</math> gibt es ein <math>r\in P</math> sodass <math>p<r<q</math>.
* <math>P</math> ist [[vollständiger Raum|vollständig]]: Jede [[Leere Menge|nichtleere]] [[Beschränkte Menge|nach oben beschränkte Teilmenge]] von <math>P</math> hat ein [[Supremum]] in <math>P</math>.
* <math>P</math> ist [[Separabler Raum|separabel]]: <math>P</math> enthält eine abzählbare, [[dichte Teilmenge]].

Jede solche lineare Ordnung <math>\langle P,<\rangle</math> erfüllt zudem die sogenannte ''abzählbare Antikettenbedingung'':
* Jede Familie von [[offene Menge|offenen]], paarweise [[disjunkt]]en Intervallen von <math>P</math> ist höchstens abzählbar.
Der Beweis dieser zusätzlichen Eigenschaft folgt direkt der Separabilität. Suslin stellte 1920 die Hypothese auf, dass auch die Umkehrung gilt, also Separabilität und abzählbare Antikettenbedingung äquivalent sind<ref>Michail J. Suslin: ''Problème 3.'' In: ''Fundamenta Mathematicae.'' Band 1. 1920, S. 223.</ref>.

== Formulierung und Konsequenzen ==
Die Suslin-Hypothese lässt sich also ausdrücken:

:Jede unbeschränkte, dichte, vollständige lineare Ordnung, die die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt, ist isomorph zu der Ordnung der reellen Zahlen.

[[Ronald Jensen (Mathematiker)|Ronald Jensen]] zeigte 1968, dass in dem Modell <math>L</math> der [[Konstruierbarkeitsaxiom|konstruktiblen Mengen]] die Suslin-Hypothese ''falsch'' ist<ref>Ronald Jensen: ''Souslin’s hypothesis is incompatible with V=L.'' In: ''Notices of the American Mathematical Society.'' Band 15, 1968, S. 935.</ref>. Mit Hilfe der [[Forcing]]-Methode konstruierten [[Robert M. Solovay]] und [[Stanley Tennenbaum]] 1971 ein Modell, in dem die Hypothese ''wahr'' ist<ref>Robert M. Solovay, Stanley Tennenbaum: ''Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem.'' In: ''Annals of Mathematics.'' Serie 2, Band 94. 1971, S. 201–245.</ref>, sie ist also weder beweis- noch widerlegbar.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
*Jech, Thomas: ''Set Theory'', Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
*Kunen, Keneth: ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs'', North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Suslin-Hypothese - Versionsgeschichte

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