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2024-05-30T05:18:22Z

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[[Datei:Graf arctg.svg|miniatur|Die Supremumsnorm der reellen [[Arkustangens]]-Funktion ist <math>\pi/2</math>. Auch wenn die Funktion diesen Wert betragsmäßig nirgendwo annimmt, so bildet er dennoch die kleinste obere Schranke.]]
Die '''Supremumsnorm''' (auch '''Unendlich-Norm''' genannt) ist in der [[Mathematik]] eine [[Norm (Mathematik)|Norm]] auf dem [[Funktionenraum]] der [[Beschränkte Abbildung|beschränkten Funktionen]]. Im einfachsten Fall einer [[Reelle Zahl|reell-]] oder [[Komplexe Zahl|komplexwertigen]] beschränkten [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] ist die Supremumsnorm das [[Supremum]] (die kleinste obere Schranke) der [[Betragsfunktion|Beträge]] der Funktionswerte. Allgemeiner betrachtet man Funktionen, deren [[Zielmenge]] ein [[normierter Raum]] ist, und die Supremumsnorm ist dann das Supremum der Normen der Funktionswerte. Für [[Stetige Funktion|stetige]] Funktionen auf einer [[Kompakter Raum|kompakten Menge]] ist die [[Maximumsnorm]] ein wichtiger Spezialfall der Supremumsnorm.

Die Supremumsnorm spielt insbesondere in der [[Funktionalanalysis]] beim Studium normierter Räume eine zentrale Rolle.

== Definition ==

Sei <math>M</math> eine nichtleere [[Menge (Mathematik)|Menge]] und <math>(Y, \|\cdot\|_Y)</math> ein [[normierter Raum]], dann bezeichnet <math>B(M, Y)</math> den [[Funktionenraum]] der [[Beschränktheit|beschränkten]] Funktionen von <math>M</math> nach <math>Y</math>. Die Supremumsnorm auf diesem Funktionenraum ist dann die Abbildung

:<math>\| \cdot \|_\infty \colon B(M, Y) \rightarrow \mathbb R</math>

mit

:<math>\| f \|_\infty := \sup_{x \in M} \| f(x)\|_Y</math>.

Die Supremumsnorm einer Funktion ist also das [[Supremum]] der Normen aller Funktionswerte und damit eine nichtnegative reelle Zahl. Hierbei ist es wichtig, dass die Funktion beschränkt ist, weil sonst das Supremum unendlich ist. Der Raum <math>B(M, Y)</math> wird auch als <math>\ell^\infty(M,Y)</math> bezeichnet.

== Beispiel ==

Wählt man als Menge <math>M=(0,1)</math> das offene [[Intervall (Mathematik)|Einheitsintervall]] und als Zielraum <math>Y=\R</math> die Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] mit der [[Betragsnorm]] <math>| \cdot |</math>, dann ist <math>B(M,Y)</math> der Raum der beschränkten reellwertigen Funktionen auf dem Einheitsintervall und die Supremumsnorm ist durch

:<math>\| f \|_\infty = \sup_{0 < x < 1} | f(x) |</math>

gegeben. So ist etwa die Supremumsnorm der [[Lineare Funktion|linearen Funktion]] <math>f(x) = x</math> in diesem Intervall gleich <math>1</math>. Die Funktion nimmt diesen Wert zwar innerhalb des Intervalls nicht an, kommt ihm jedoch beliebig nahe. Wählt man stattdessen das abgeschlossene Einheitsintervall <math>M=[0,1]</math>, dann wird der Wert <math>1</math> angenommen und die Supremumsnorm entspricht der [[Maximumsnorm]].

== Eigenschaften ==

=== Normaxiome ===

Die Supremumsnorm erfüllt die drei Normaxiome [[Definitheit]], [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und [[Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]]. Die Definitheit folgt für <math>f \in B(M, Y)</math> aus der Definitheit der Norm <math>\| \cdot \|_Y</math> über

:<math>\| f \|_\infty = 0 \; \Leftrightarrow \; \sup_{x \in M} \|f(x)\|_Y = 0 \; \Rightarrow \; \forall x: \;\| f(x) \|_Y = 0 \; \Rightarrow \; \forall x: \; f(x) = 0 \; \Rightarrow \; f = 0</math>,

da, wenn das Supremum einer Menge nichtnegativer reeller oder komplexer Zahlen null ist, alle diese Zahlen null sein müssen. Die absolute Homogenität folgt für reelles oder komplexes <math>\alpha</math> aus der absoluten Homogenität der Norm <math>\| \cdot \|_Y</math> über

:<math>\| \alpha f \|_\infty = \sup_{x \in M} \| \alpha f(x) \|_Y = \sup_{x \in M} | \alpha | \| f(x) \|_Y = | \alpha | \sup_{x \in M} \| f(x) \|_Y = | \alpha | \, \| f \|_\infty</math>.

Die Subadditivität (oder [[Dreiecksungleichung]]) folgt für <math>f,g \in B(M, Y)</math> aus der Subadditivität der Norm <math>\| \cdot \|_Y</math> über

:<math>\| f + g \|_\infty = \sup_{x \in M} \| f(x) + g(x) \|_Y \leq \sup_{x \in M} (\| f(x) \|_Y + \| g(x) \|_Y) \leq \sup_{x \in M} \| f(x) \|_Y + \sup_{x \in M} \| g(x) \|_Y = \| f \|_\infty + \| g \|_\infty</math>,

wobei zudem genutzt wurde, dass das Supremum der Summe zweier Funktionen durch die Summe der Suprema beschränkt ist, was durch punktweise Betrachtung der Funktionswerte ersichtlich ist.<ref name="werner3">{{Literatur|Autor=Dirk Werner|Titel=Funktionalanalysis|Jahr=2005|Seiten=3}}</ref>

=== Weitere Eigenschaften ===

* Ist der Bildraum [[Vollständiger Raum|vollständig]], also ein [[Banachraum]], so ist es auch der gesamte Funktionenraum <math>B(M, Y)</math>.
* Ist <math>M</math> endlich, so ist jede Funktion von <math>M</math> nach <math>Y</math> beschränkt, es gilt also <math>B(M, Y) = \mathrm{Abb}(M, Y)</math>. Wählt man insbesondere <math>M=\{1,...,n\}</math>, für ein <math>n \in \N</math>, so erhält man durch die natürliche Identifizierung von <math>\mathrm{Abb}(M, Y)</math> mit <math>Y^n</math> eine Definition der Supremumsnorm auf diesem [[Kartesisches Produkt|kartesischen Produkt]].
* Insbesondere kann man die Supremumsnorm also auf dem [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raum]] <math>\R^n</math> betrachten. Sie wird in diesem Fall auch als [[Maximumsnorm#Als Vektornorm|Maximumsnorm]] bezeichnet.
* Ist <math>M</math> nicht endlich oder <math>Y</math> [[Dimension (Mathematik)#Dimension eines Vektorraumes (Hamel-Dimension)|unendlichdimensional]], so ist nicht jede [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]], beschränkte Teilmenge von <math>B(M, Y)</math> automatisch [[Kompakter Raum|kompakt]].
* Ist <math>M</math> nicht endlich oder <math>Y</math> unendlichdimensional, so ist <math>\|\cdot\|_\infty</math> nicht zu allen Normen auf <math>B(M, Y)</math> [[Äquivalente Normen|äquivalent]].
* Die Supremumsnorm induziert auf einem Raum beschränkter Funktionen gerade die Topologie der [[gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]].
* Ist der Zielraum <math>Y=\mathbb{R}</math> oder <math>Y=\mathbb{C}</math>, dann lassen sich Funktionen in <math>B(M, Y)</math> nicht nur punktweise addieren, sondern auch multiplizieren. Die Supremumsnorm ist dann [[submultiplikativ]], das heißt <math>\|f\cdot g\|_\infty \leq \|f\|_\infty\cdot \|g\|_\infty</math>. Der Raum <math>B(M, Y)</math> wird mit der [[Punktweises Produkt|punktweisen Multiplikation]] zu einer kommutativen [[Banachalgebra]]. Im Falle <math>Y=\mathbb{C}</math> ist diese sogar eine [[C*-Algebra]].
* Man kann den Begriff der beschränkten Funktion und der Supremumsnorm in natürlicher Weise verallgemeinern auf [[Vektorbündel]], bei denen jede Faser ein normierter Raum ist. Die Supremumsnorm ist dann eine Norm auf dem Raum der beschränkten [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitte]] dieses Vektorbündels.

== Siehe auch ==
* [[Wesentliches Supremum]]

== Literatur ==
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis''. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Norm (Mathematik)]]

Supremumsnorm - Versionsgeschichte

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