imported>Christian1985: /* Verallgemeinerung auf geordnete Mengen */

2026-03-24T20:07:57Z

Verallgemeinerung auf geordnete Mengen

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In der [[Mathematik]] ist die '''Supremumseigenschaft''' eine grundlegende Eigenschaft der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]], genauer ihrer [[Vergleich (Zahlen)|Anordnung]], und bestimmter anderer [[geordnete Menge|geordneter Mengen]]. Die Eigenschaft besagt, dass jede nichtleere und nach oben [[beschränkt]]e [[Menge (Mathematik)|Menge]] reeller Zahlen eine kleinste obere Schranke, ein [[Supremum]], besitzt. Sie kann verwendet werden, um viele grundlegende Resultate der [[Reelle Analysis|reellen Analysis]] zu zeigen, etwa den [[Zwischenwertsatz]], den [[Satz von Bolzano-Weierstraß]], den [[Extremwertsatz]] oder den [[Satz von Heine-Borel]]. Für die synthetische Konstruktion der reellen Zahlen wird sie üblicherweise als [[Axiom]] vorausgesetzt. Mit der Konstruktion der reellen Zahlen mittels des [[Dedekindscher_Schnitt|Dedekindschen Schnittes]] ist sie ebenso eng verbunden.

Die Supremumseigenschaft ist eine Form des [[Vollständigkeitsaxiom]]s für die reellen Zahlen. Sie ist äquivalent zur '''Dedekind-Vollständigkeit'''<ref>{{Literatur |Autor=Anton Deitmar |Titel=Analysis |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2016-10-14 |ISBN=978-3-662-53352-9 |Seiten=39 |Online=https://www.google.de/books/edition/Analysis/iXJCDQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Dedekind-Vollst%C3%A4ndigkeit&pg=PA39&printsec=frontcover |Abruf=2025-09-28}}</ref> der reellen Zahlen und wird in der Literatur auch als eine Form der [[Ordnungsvollständigkeit]] bezeichnet. Dabei ist zu beachten, dass der Begriff der Ordnungsvollständigkeit nicht einheitlich verwendet wird und in anderen Kontexten auch stärkere Vollständigkeitseigenschaften bezeichnen kann. In der [[Ordnungstheorie]] kann die Supremumseigenschaft zu einem [[Vollständiger Raum|Vollständigkeitsbegriff]] für jede [[Halbordnung|partiell geordnete Menge]] verallgemeinert werden. Eine [[Dichte_Teilmenge|dichte]], [[Totalordnung|total geordnete Menge]], welche die Supremumseigenschaft erfüllt, nennt man [[lineares Kontinuum]].

== Definition für reelle Zahlen ==
Sei <math>S</math> eine nichtleere Menge reeller Zahlen.
* Eine reelle Zahl <math>x</math> heißt [[obere Schranke]] für <math>S</math>, wenn <math>x \geq s</math> für alle <math>s \in S</math>.
* Eine reelle Zahl <math>x</math> ist die kleinste obere Schranke (oder das [[Supremum]]) für <math>S</math>, wenn <math>x</math> eine obere Schranke für <math>S</math> ist und <math>x \leq y</math> für jede obere Schranke <math>y</math> von <math>S</math>.
Die Supremumseigenschaft besagt, dass jede nichtleere Menge reeller Zahlen, die nach oben beschränkt ist, eine kleinste obere Schranke besitzen muss.<ref>{{Literatur |Autor=Harro Heuser |Titel=Lehrbuch Analysis |Auflage=14th ed |Verlag=Springer Vieweg. in Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH |Ort=Wiesbaden |Datum=2013 |Reihe=Mathematische Leitfäden Ser |ISBN=978-3-519-52233-1 |Seiten=74 |Abruf=2026-03-24}}</ref>

== Verallgemeinerung auf geordnete Mengen ==
Man kann für jede [[Teilmenge]] einer partiell geordneten Menge <math>X</math> eine obere Schranke und eine kleinste obere Schranke definieren, wenn man „reelle Zahl“ gegen „Element von <math>X</math>“ ersetzt. In diesem Fall sagt man, <math>X</math> habe die Supremumseigenschaft, wenn jede nach oben beschränkte nichtleere Teilmenge von <math>X</math> eine kleinste obere Schranke hat.<ref>{{Internetquelle |url=https://ncatlab.org/nlab/show/Dedekind+completion |titel=Dedekind completion in nLab |abruf=2026-03-24}}</ref>

Beispielsweise erfüllt die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] die Supremumseigenschaft nicht, wenn man die übliche Ordnung der rationalen Zahlen voraussetzt. So hat die Menge

: <math> \left(-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right) \cap \mathbb{Q} = \left\{ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \right\} \, </math>

eine obere Schranke in <math>\mathbb{Q}</math>, jedoch keine kleinste obere Schranke in <math>\mathbb{Q}</math>, denn die Quadratwurzel von zwei ist [[Irrationale Zahlen|irrational]]. Die Konstruktion der reellen Zahlen mittels des Dedekindschen Schnittes nutzt diese Tatsache, indem die irrationalen Zahlen als die Suprema bestimmter Teilmengen der rationalen Zahlen definiert werden.

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]

Supremumseigenschaft - Versionsgeschichte

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