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Unter '''Superposition''' versteht man in der klassischen [[Physik]] eine Addition gleicher [[Physikalische Größe|physikalischer Größen]] gemäß den Regeln einer [[Superposition (Mathematik)|Superposition]] in der Mathematik. In der Quantenmechanik bezeichnet dies einen [[Quantenmechanischer Zustand|Zustand]], der eine Kombination mehrerer [[Wellenfunktion]]en darstellt. Das Prinzip lässt sich in vielen Bereichen der Physik und für verschiedene Größen nutzen. So werden etwa in der linearen [[Optik]] und [[Akustik]] die Amplituden mehrerer [[Kohärenz (Physik)|kohärenter]] Wellenfelder an einem Ort addiert, um Interferenzmuster zu erklären. Bei verschiedenen [[Kraftfeld]]ern wird die Gesamtkraft an einem Ort durch Addition der Einzelkräfte ermittelt.

Gemäß dem '''Superpositionsprinzip''' lassen sich komplizierte Lösungen von linearen [[Lineare Algebra|algebraischen]] oder [[Differentialgleichung]]en oft als eine Superposition einfacher Lösungen darstellen. Das Prinzip setzt [[Lineare Gleichung|lineare Beziehungen]] für die zu überlagernden Größen voraus. Bei nicht-linearen Theorien wie etwa der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] ist es nicht anwendbar.

Werden anstelle der physikalischen Größen deren Quadrate (oder [[Betragsquadrat]]e) addiert, wie z. B. bei der Ermittlung der [[Intensität (Physik)|Intensität]] in superponierten Wellenfeldern, im [[Fehlerfortpflanzung#Mehrere fehlerbehaftete Größen|Fehlerfortpflanzungsgesetz]] oder der [[Standardabweichung]] für das Ergebnis einer [[Messreihe]], spricht man nicht von Superposition, sondern von [[inkohärent]]er Überlagerung oder [[Pythagoreische Addition|Pythagoreischer Addition]].

== Mathematischer Hintergrund ==
{{Hauptartikel|Superposition (Mathematik)}}

Mathematisch lässt sich eine Superposition als [[Linearkombination]]
:<math>x(t) = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_i x_i(t)} </math>
darstellen. Die Summenformel sagt aus, dass beliebige Funktionen oder Größen <math>x_i(t)</math> derselben Art zu einer neuen Größe <math>x(t)</math> addiert werden können. Der Faktor <math>\alpha_i</math> gibt die [[Gewichtung]] der jeweiligen Komponente an.

Die Gültigkeit des Prinzips bei vielen physikalischen Systemen ist eine Folge der Tatsache, dass sie [[Linearität (Mathematik)|linearen]] [[Differentialgleichung]]en gehorchen. Besitzt eine homogene lineare Differentialgleichung die beiden Lösungen <math>f_1</math> und <math>f_2</math>, so ist aufgrund der [[Summenregel]] auch ihre Summe <math>f_1 + f_2</math> eine Lösung. Allgemein formuliert ergibt sich:
:''Sind <math>f_1</math> bis <math>f_n</math> Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung, dann ist auch jede Summe dieser Lösungen eine Lösung der Differentialgleichung.''

== Wellenlehre ==
[[Datei:Standing waves1.gif|mini|Zwei Wellen durchdringen einander, ohne sich zu beeinflussen.]]
{{Hauptartikel|Interferenz (Physik)}}

In der Wellenlehre bedeutet Superposition die ungestörte Überlagerung (''Interferenz'') mehrerer Wellen des gleichen Typs. Die relevante Größe der Überlagerung ist die Amplitude (die „Höhe“) der einzelnen Wellen. So können sich beispielsweise mehrere [[elektromagnetische Welle]]n gegenseitig überlagern, wodurch sich ihre Amplituden zur gleichen Zeit an manchen Punkten gegenseitig verstärken und an anderen gegenseitig abschwächen.

Der daraus resultierende Amplitudenverlauf wirkt jedoch – von möglichen Energieverlusten abgesehen – nicht auf die ihm zugrunde liegenden einzelnen Amplitudenverläufe zurück. Er ist lediglich das Gesamtergebnis der „übereinander gelegten“ Einzelverläufe.
Die Wellen durchqueren einander also, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Sie beeinflussen lediglich ihr Ausbreitungsmedium.

Mathematisch ergibt sich für die resultierende [[Wellenfunktion]] <math>\Psi(\vec x, t)</math> der Zusammenhang
:<math>\Psi(\vec x, t) = \sum_{i=1}^n \Psi_i(\vec x, t)</math>,
wobei die <math>\Psi_i(\vec x, t)</math> die Wellenfunktionen der ursprünglichen einzelnen Wellen sind.

== Klassische Mechanik ==
=== Kräfte ===
[[Datei:Kräfteparallelogramm7.png|mini|Überlagerung zweier Kräfte]]
{{Hauptartikel|Newtonsche Gesetze|Kräfteparallelogramm}}

Mechanische Kräfte lassen sich ebenfalls überlagern. Man spricht in diesem Zusammenhang auch vom ''Prinzip der ungestörten Überlagerung der Kräfte'', ''Prinzip der resultierenden Kraft'' oder vom ''Vierten newtonschen Gesetz''.

Mathematisch formuliert ergibt sich der Zusammenhang
:<math>\vec F = \sum_{i=1}^{n} \vec F_i</math>.
Dieser Ausdruck besagt, dass verschiedene Kräfte, die alle ''einzeln'' auf den gleichen Körper wirken, dasselbe bewirken, als würde lediglich ihre Summe auf den Körper wirken.

Als Beispiel lässt sich das Schieben einer Kiste anführen: Es spielt im Hinblick auf das Endergebnis keine Rolle, ob eine Kiste erst nach vorne und dann nach links oder ob sie direkt schräg nach links-vorne geschoben wird.

=== Lastfälle ===
Mehrere Lastfälle lassen sich überlagern, jedoch bei nichtlinearen Problemen, beispielsweise in der [[Balkentheorie#Theorie Zweiter Ordnung: Knickstab|(linearisierten) Theorie II. Ordnung]] ist dies nicht einfach durch Addition der einzelnen Kräfte der jeweiligen Lastfälle möglich, sondern erfordert eine Neuermittlung der Schnittgrößen unter Einwirkung sämtlicher Belastungen, da die Kräfte sich umlagern, als auch eine Verweichung (oder Versteifung) des Systems in der verformten Lage vorliegt. In der Theorie II. Ordnung, haben Belastungen auch einen Systemcharakter, da die [[Steifigkeit]]en insbesondere von der Normalkraft abhängen.

== Quantenmechanik ==
{{Hauptartikel|Zustand (Quantenmechanik)}}

In der [[Quantenmechanik]] ist Superposition die Fähigkeit eines Quantensystems, einen [[Reiner und gemischter Zustand|gemischten Zustand]] anzunehmen, in dem mehrere andere Zustände mit bestimmten [[Komplexe Zahl|komplexen]] Amplitudenfaktoren kombiniert sind. Das wird umgangssprachlich oft so dargestellt, dass eine [[Observable]] des Systems gleichzeitig mit mehreren Werten vorliegen kann, von denen sich erst bei einer [[Quantenmechanische Messung|Messung]] ein einziger als real herausstellt. Als Beispiel wird häufig [[Schrödingers Katze]] angeführt, die bis zu einer Messung gleichzeitig teilweise tot und lebendig ist.

Die Superposition ist vergleichbar mit der Überlagerung der Amplituden aus der klassischen Wellenlehre, da quantenmechanische Zustände ebenfalls durch [[Wellenfunktion]]en beschrieben werden können. Zu beachten ist hierbei jedoch, dass im Gegensatz zu den klassischen Wellen den Werten der quantenmechanischen Wellenfunktionen selbst noch keine Bedeutung in der beobachtbaren Welt zugeschrieben wird.

Die Superposition kann auch als [[Linearkombination]] verschiedener [[Vektor]]en verstanden werden. Mathematisch wird dies in der [[Bra-Ket]]-Notation durch
:<math>|\psi\rangle=\sum\limits_{i=1}^n c_i|\varphi_i\rangle</math>
ausgedrückt. Diese Gleichung sagt aus, dass sich der Zustand <math>|\psi\rangle</math> durch eine Überlagerung der Zustände <math>|\varphi_i\rangle</math> mit [[Komplexe Zahl|komplexen]] Koeffizienten <math>c_i</math> beschreiben lässt. Er wird daher auch ''Überlagerungszustand'' genannt. Sind diese <math>|\varphi_i\rangle</math> alle orthogonal zueinander (und normiert), so geben die [[Betragsquadrat]]e <math>|c_i|^2</math> der ''Wahrscheinlichkeitsamplituden'' <math>c_i</math> die Wahrscheinlichkeit dafür an, das Quantensystem im Zustand <math>|\varphi_i\rangle</math> vorzufinden, wenn eine entsprechende [[Quantenmechanische Messung|Messung]] durchgeführt wird.

In der Informatik hat das Konzept der Überlagerung wichtige Auswirkungen auf die Art, wie [[Quantencomputer]] Daten verarbeiten und speichern (siehe [[Qubit]]).<ref>[https://www.computerweekly.com/de/definition/Superposition ''Definition Superposition''] Redaktion ComputerWeekly.de 2021</ref> Die Superposition ermöglicht es, durch Anwendung einer Quantenrechenoperation auf einen Überlagerungszustand, diese Operation simultan an allen überlagerten Teilzuständen durchzuführen.<ref>{{Literatur |Autor=A. J. C. Woitzik, O. Passon |Hrsg=Physikalisches Institut, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg |Titel=Fehlvorstellungen zur Superposition in der Quantenphysik |Datum=2023-01-06 |arXiv=2301.06299}}</ref>

== Thermodynamik ==
[[Datei:Superpositionsprinzip Erwärmung.svg|mini|Superpositionsprinzip bei einem transienten Erwärmungsvorgang]]
Das Superpositionsprinzip wird in der [[Thermodynamik]] zur Berechnung von [[Instationarität|transienten]] Erwärmungsvorgängen angewandt. Überlagert werden dabei alle Prozesse, die zur Wärmeabfuhr und -zufuhr beitragen. Man kann so beispielsweise die Temperatur eines [[Leistungshalbleiter]]s zu einem gewissen Zeitpunkt <math>t</math> bestimmen, wenn ein Leistungsimpuls auf dieses Bauteil gewirkt hat.

Im nebenstehenden Beispiel wirkt vom Zeitpunkt <math>t=0</math> bis <math>t=t_1</math> eine Leistung, was eine Erwärmung des Bauteils bewirkt. Die Temperatur steigt nach einer [[Exponentialfunktion]] an (rote Kurve):
:<math>\Delta T = k \, \left(1 - e^{-\frac{t}{t_1}}\right)</math>.
Um nun die Temperatur des Bauteils nach dem Ende der Erwärmung zu ermitteln, lässt man den Leistungsimpuls fortwirken und setzt zum Erwärmungsende einen gleich großen negativen Leistungsimpuls an. Daraus resultiert eine „negative“ Erwärmungskurve (grüne Kurve). Die Summe der beiden Erwärmungskurven ergibt dann die Abkühlfunktion (blaue Kurve).

== Elektrotechnik ==
{{Hauptartikel|Netzwerkanalyse (Elektrotechnik)}}

In der [[Elektrotechnik]] versteht man unter '''Überlagerungssatz''' das [[Netzwerkanalyse (Elektrotechnik)#Überlagerungsverfahren nach Helmholtz|Überlagerungsverfahren nach Helmholtz]]. Es ist ein ''vereinfachtes Verfahren zur Berechnung linearer elektrischer Schaltungen'' mit mehreren Spannungs- und/oder Stromquellen. Der Überlagerungssatz besagt, dass die Berechnung für jede Quelle getrennt erfolgen kann, wobei alle anderen (idealen) Quellen auf den Wert Null gesetzt werden. Spannungsquellen werden dabei durch Kurzschlüsse ersetzt (0 V) und Stromquellen durch Unterbrechungen (0 A), die Innenwiderstände der Quellen verbleiben jedoch in der Schaltung. Am Schluss erfolgt die lineare Überlagerung durch vorzeichenrichtige Addition der errechneten Teilergebnisse.

Ursprünglich wurde der Überlagerungssatz nur für [[Gleichstrom]] bzw. [[Gleichspannung]] formuliert. Seine Gültigkeit wird jedoch im Rahmen der [[Komplexe Wechselstromrechnung|komplexen Wechselstromrechnung]] auch auf [[Wechselstrom]] und [[Wechselspannung]] übertragen. Durch Anwendung der [[Operatorenrechnung]], beispielsweise der [[Laplace-Transformation]], ist er sogar für beliebige Signalformen gültig. Generell gilt der Überlagerungssatz aber nur für [[Elektrische Schaltung|Schaltungen]] aus [[Elektrisches Bauelement#Lineare und nichtlineare Bauelemente|linearen Bauelementen]].

== Literatur ==
Elektrodynamik:
* [[John David Jackson (Physiker)|J. D. Jackson]]: ''[[Classical Electrodynamics|Klassische Elektrodynamik]].''4., überarbeitete Auflage, Walter de Gruyter, 2006, ISBN 3-11-018970-4.
* [[Eugene Hecht]]: ''Optik.'' 4. Auflage, Oldenbourg, 2005, ISBN 3-486-27359-0.

Quantenmechanik:
* [[Claude Cohen-Tannoudji]], Bernard Diu, Frank Laloë: ''Quantenmechanik. Band 1.'' 3. Auflage, de Gruyter, 2007, ISBN 978-3-11-019324-4.

== Siehe auch ==
* [[Lineares System (Systemtheorie)]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Physikalisches Grundkonzept]]

Superposition (Physik) - Versionsgeschichte

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