imported>Gunnar.Kaestle: spezifischere Wikilink-Auswahl

2024-12-21T14:38:49Z

spezifischere Wikilink-Auswahl

Neue Seite

Unter '''Superpositionseigenschaft''' oder '''Superpositionsprinzip''' (von {{laS|super}} und ''positio''; [[Deutsche Sprache|dt.]] ''Überlagerung'') versteht man in der [[Mathematik]] eine Grundeigenschaft [[homogene Gleichung|homogener]] [[Lineare Gleichung|linearer Gleichungen]], nach der alle [[Linearkombination]]en von Lösungen der Gleichung weitere Lösungen der Gleichung ergeben. Mit Hilfe des Superpositionsprinzips lassen sich die Lösungen inhomogener linearer Gleichungen als Summe der Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung darstellen. Das Superpositionsprinzip wird oft bei schwer zu lösenden linearen Gleichungen, wie etwa [[Lineare Differentialgleichung|linearen Differentialgleichungen]], eingesetzt, indem das Ausgangsproblem auf einfacher zu lösende Teilprobleme zurückgeführt wird. Es besitzt vielfältige Anwendungen, insbesondere in der [[Physik]].

== Grundlagen ==
Die folgenden Ausführungen gelten allgemein für [[Vektor]]en (beispielsweise [[Zahl]]en, [[Tupel|Zahlentupel]] oder [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]]) aus einem [[Vektorraum]] über einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]] (beispielsweise die [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]).

=== Lineare Gleichungen ===
[[Datei:Superposition qtl3.svg|miniatur|Lösungen einer homogenen und einer inhomogenen reellen linearen Gleichung mit Unbekannten <math>x_1</math> und <math>x_2</math>]]
Eine [[Bestimmungsgleichung]] in der Unbekannten <math>x</math> heißt [[lineare Gleichung|linear]], wenn sie in die Form

:<math>T(x) = b</math>

gebracht werden kann, wobei <math>T</math> eine [[lineare Abbildung]] und die rechte Seite <math>b</math> unabhängig von <math>x</math> ist. Eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] <math>T</math> heißt dabei [[Linearität (Mathematik)|linear]], wenn für Konstanten <math>\lambda</math> und <math>\mu</math>

:<math>T\left(\lambda x + \mu y\right) = \lambda T\left( x \right) + \mu T\left( y\right)</math>

gilt. Eine lineare Gleichung heißt [[homogene Gleichung|homogen]], falls die rechte Seite gleich [[Nullvektor|Null]] ist, also wenn sie die Form

:<math>T(x) = 0</math>

besitzt, ansonsten nennt man die Gleichung inhomogen. Homogene lineare Gleichungen besitzen mindestens die triviale Lösung <math>x = 0</math>.

'''Beispiele'''

Die skalare lineare Gleichung

:<math>3 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 = 0</math>

mit der Unbekannten <math>x = (x_1, x_2)</math> ist homogen und wird insbesondere durch die triviale Lösung <math>x = (0, 0)</math> erfüllt, während die Gleichung

:<math>3 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 = 12</math>

inhomogen ist und nicht durch die triviale Lösung erfüllt wird.

=== Superpositionseigenschaft ===
[[Datei:Superposition qtl2.svg|miniatur|Superpositionseigenschaft am Beispiel der homogenen linearen Gleichung <math> 2 \cdot x_1 - 3 \cdot x_2 = 0</math>. Die Gleichung wird durch <math>(3,2)</math> und <math>(6,4)</math> sowie allen Linearkombinationen dieser Lösungen gelöst.]]
Sind <math>\hat{x}</math> und <math>\bar{x}</math> zwei Lösungen einer homogenen linearen Gleichung, dann lösen diese Gleichung auch alle Linearkombinationen <math>c\hat{x}+d\bar{x}</math> der beiden Lösungen, da

:<math>T(c\hat{x}+d\bar{x}) = T(c\hat{x})+T(d\bar{x}) = cT(\hat{x}) + dT(\bar{x}) = 0 + 0 = 0</math>.

Verallgemeinert gilt diese Aussage auch für alle Linearkombinationen mehrerer Lösungen zu einer neuen Lösung.

'''Beispiel'''

Die homogene lineare Gleichung

:<math>2 \cdot x_1 - 3 \cdot x_2 = 0</math>

wird beispielsweise durch die beiden Lösungen

:<math>(\hat{x}_1 = 3, \hat{x}_2 = 2)</math> und <math>(\bar{x}_1 = 6, \bar{x}_2 = 4)</math>

erfüllt. Damit sind auch

:<math>(\hat{x}_1 + \bar{x}_1, \hat{x}_2 + \bar{x}_2) = (9, 6)</math>

und

:<math>(4\hat{x}_1 + 3\bar{x}_1, 4\hat{x}_2 + 3\bar{x}_2) = (30, 20)</math>

Lösungen der Gleichung.

=== Partikulärlösung ===
[[Datei:Superposition qtl1.svg|miniatur|Superpositionsprinzip bei der linearen Gleichung <math> x_1 - 2 x_2 = 10</math>: Lösung der homogenen Gleichung (blau), Partikulärlösung (grün) und Lösung der inhomogenen Gleichung (rot)]]

Im Gegensatz zu einer homogenen linearen Gleichung, die stets mindestens Null als Lösung besitzt, muss eine inhomogene Gleichung nicht immer lösbar sein, das heißt, ihre Lösungsmenge kann [[Leere Menge|leer]] sein. Falls eine inhomogene Gleichung lösbar ist, lassen sich ihre Lösungen als Summe der Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung, also irgendeiner frei wählbaren Lösung der inhomogenen Gleichung darstellen: Sei <math>\bar{x}</math> eine konkrete Lösung einer inhomogenen linearen Gleichung und sei <math>y</math> die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Problems, dann ist <math>y+\bar{x}</math> die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung, da

:<math>T(y+\bar{x}) = T(y) + T(\bar{x}) = 0 + b = b</math>

gilt. Dieses Superpositionsprinzip wird oft zur Lösung inhomogener linearer Gleichungen eingesetzt, da die Lösung der homogenen linearen Gleichung und das Auffinden einer Partikulärlösung oft leichter als die Lösung des Ausgangsproblems ist.

'''Beispiel'''

Eine konkrete Lösung der inhomogenen Gleichung

:<math>x_1 - 2 x_2 = 10</math>

ist

:<math>\bar{x}_1 = 4, \bar{x}_2 = -3</math>.

Sind nun <math>y = (y_1, y_2)</math> die Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung

:<math>y_1 - 2 y_2 = 0</math>,

also alle <math>y</math> mit <math>y_1 = 2 y_2</math>, dann wird die inhomogene Gleichung allgemein gelöst durch

:<math>x = y + \bar{x} = (y_1 + \bar{x}_1, y_2 + \bar{x}_2) = (2 y_2 + 4, y_2 - 3) = (2t + 4, t - 3)</math>    mit    <math>t \in \mathbb{R}</math>.

=== Überlagerung von Lösungen ===
Eine wichtige Anwendung des Superpositionsprinzips stellt die Überlagerung von Teillösungen einer linearen Gleichung zu einer Gesamtlösung dar. Lässt sich die rechte Seite <math>b</math> einer inhomogenen linearen Gleichung als Summe <math>b_1 + b_2</math> darstellen, gilt also

:<math>T(x) = b_1 + b_2</math>,

und sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math> jeweils die Lösungen der Einzelprobleme

:<math>T(x_1) = b_1</math>   bzw.   <math>T(x_2) = b_2</math>,

dann ist die Gesamtlösung des Ausgangsproblems die Summe der beiden Einzellösungen, das heißt

:<math>x = x_1 + x_2</math>.

Ein solches Vorgehen ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn die Einzelprobleme leichter zu lösen sind, als das Ausgangsproblem. Die Konstruktion lässt sich, sofern die entsprechenden Summen konvergieren, auch auf die Überlagerung unendlich vieler Einzellösungen verallgemeinern. [[Joseph Fourier]] benutzte solche Reihen zum Lösen der [[Wärmeleitungsgleichung]] und begründete damit die [[Fourier-Analysis]].

== Einsatzbeispiele ==

=== Lineare diophantische Gleichungen ===
{{Hauptartikel|Lineare diophantische Gleichung}}
[[Datei:Dio solution qtl1.svg|miniatur|Superpositionsprinzip bei der linearen diophantischen Gleichung <math>2x_1+3x_2=26</math>: Lösungen der homogenen Gleichung (blau), Partikulärlösung (grün) und Lösungen der inhomogenen Gleichung (rot)]]

Bei linearen [[Diophantische Gleichung|diophantischen Gleichungen]] ist die Unbekannte <math>x</math> ein [[Ganze Zahl|ganzzahliger]] [[Vektor]] für den

:<math>a_1 x_1 + a_2 x_2 +\;\cdots \; + a_n x_n = b</math>

gelten soll, wobei <math>a_1, \ldots , a_n</math> und <math>b</math> ganzzahlige Koeffizienten sind. Die Lösungen linearer diophantischer Gleichungen kann man dann durch Kombination der Lösung der homogenen Gleichung mit einer Partikulärlösung, die mit dem [[Erweiterter euklidischer Algorithmus|erweiterten euklidischen Algorithmus]] gefunden werden kann, angeben.

'''Beispiel'''

Es sind die ganzzahligen Lösungen <math>x = (x_1, x_2)</math> der linearen diophantischen Gleichung

:<math>2x_1 + 3x_2 = 26</math>

gesucht. Die Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung

:<math>2y_1 + 3y_2 = 0</math>

ergeben sich als

:<math>y = (y_1,y_2) = (3t, -2t)</math>    mit    <math>t \in \mathbb{Z}</math>.

Eine Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung ist hier

:<math>\bar{x} = (4, 6)</math>

wodurch sich die Gesamtheit der Lösungen der inhomogenen Gleichung als

:<math>x = y + \bar{x} = (3t,-2t)+(4,6) = (3t+4, -2t+6)</math>    mit    <math>t \in \mathbb{Z}</math>

ergibt.

=== Lineare Differenzengleichungen ===
{{Hauptartikel|Lineare Differenzengleichung}}
[[Datei:Diffeq solution qtl1.svg|miniatur|Superpositionsprinzip bei der linearen Differenzengleichung <math>x_n - 2 x_{n-1} = 3</math>: Lösung der homogenen Gleichung für den Startwert <math> x_0=1</math> (blau), Partikulärlösung für <math>x_0=0</math> (grün) und Lösung der inhomogenen Gleichung für <math>x_0=1</math> (rot)]]

Bei linearen [[Differenzengleichung]]en ist die Unbekannte <math>(x_n)_n</math> eine [[Folge (Mathematik)|Folge]], für die

:<math>a_0(n) x_n + a_1(n) x_{n-1} +\;\cdots \; + a_k(n) x_{n-k} = b(n)</math>    für    <math>n \in \mathbb{N}, n \geq k</math>

gelten soll, wobei <math>a_0(n), \ldots , a_k(n)</math> sowie <math>b(n)</math> Koeffizienten sind. Die Lösung einer Differenzengleichung hängt von den Startwerten <math>x_0, \ldots , x_{k-1}</math> ab. Homogene lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten können beispielsweise mit Hilfe der zugehörigen [[Lineare Differenzengleichung#Lösung der homogenen Gleichung|charakteristischen Gleichung]] gelöst werden.

'''Beispiel'''

Die lineare Differenzengleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

:<math>x_n - 2 x_{n-1} = 3</math>

ergibt für den Startwert <math>x_0 = c</math> die Folge <math>(2c+3, 4c+9, 8c+21, 16c+45 \ldots)</math>. Um die explizite Lösungsdarstellung in Abhängigkeit vom Startwert zu finden,
betrachtet man die zugehörige homogene Differenzengleichung

:<math>y_n - 2 y_{n-1} = 0</math>,

deren Lösung für den Startwert <math>y_0 = c</math> die Folge <math>(2c, 4c, 8c, 16c \ldots)</math>, also

:<math>y_n = c 2^n</math>

ist. Eine Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung ergibt sich durch die Wahl des Startwerts <math>\bar{x}_0 = 0</math>, was dann die Folge <math>(3, 9, 21, 45 \dots)</math> ergibt, für die

:<math>\bar{x}_n = 3(2^n-1)</math>

gilt. Somit ergibt sich die explizite Lösung des inhomogenen Problems zu

:<math>x_n = y_n + \bar{x}_n = c2^n + 3(2^n-1) = (c+3)2^n-3</math>.

=== Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen ===
{{Hauptartikel|Lineare gewöhnliche Differentialgleichung}}
[[Datei:ODE solution qtl1.svg|miniatur|Superpositionsprinzip bei der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung <math>f'(x) + x f(x) = (1+x)e^x</math>: Lösungen der homogenen Gleichung (blau), Partikulärlösung (grün) und Lösungen der inhomogenen Gleichung (rot) für variierende Anfangsbedingungen]]

Bei linearen [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichungen]] ist die Unbekannte eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f</math>, für die

:<math>a_n(x) f^{(n)}(x) + \cdots + a_1(x) f'(x) + a_0(x) f(x) = g(x)</math>

gelten soll, wobei <math>a_0, \ldots , a_n</math> Koeffizientenfunktionen sind und <math>g</math> eine weitere Funktion als rechte Seite ist. Die Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung kann über das zugehörige [[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalsystem]] angegeben werden, eine Partikulärlösung kann beispielsweise mittels der [[Variation der Konstanten]] gefunden werden.

'''Beispiel'''

Gesucht ist die Lösung der inhomogenen [[gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichung]] erster Ordnung

:<math>f'(x) + x f(x) = (1+x)e^x</math>

Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung

:<math>h'(x) + x h(x) = 0</math>

ist gegeben durch

:<math>h(x) = e^{-\int x\;dx} = k e^{-x^2/2}</math>

mit der Integrationskonstanten <math>k \in \mathbb{R}</math>. Um eine Partikulärlösung <math>\bar{f}</math> zu ermitteln, verwendet man den Lösungsansatz des homogenen Problems

:<math>\bar{f}(x) = c(x) e^{-x^2/2}</math>

und versucht die Konstante <math>c(x)</math>, die nun von <math>x</math> abhängt, zu finden. Mittels der [[Produktregel]] erhält man für die Ableitung von <math>\bar{f}</math>

:<math>\bar{f}'(x) = c'(x) e^{-x^2/2} - c(x) x e^{-x^2/2}</math>

und durch Einsetzen in die Originalgleichung

:<math>\bar{f}'(x) + x \bar{f}(x) = c'(x) e^{-x^2/2} - c(x) x e^{-x^2/2} + c(x) x e^{-x^2/2} = c'(x) e^{-x^2/2} = (1+x)e^x</math>

und somit durch Integration

:<math>c(x) = e^{x+x^2/2}</math>,

wobei man die Integrationskonstante zu Null setzen kann, da man an nur einer speziellen Lösung interessiert ist. Insgesamt erhält man so die Lösung des inhomogenen Problems als

:<math>f(x) = h(x) + \bar{f}(x) = k e^{-x^2/2} + e^{x+x^2/2} e^{-x^2/2} = k e^{-x^2/2} + e^x</math>.

Durch Wahl einer [[Anfangsbedingung]], beispielsweise <math>f(0)=k+1</math>, ist die Lösung dann eindeutig bestimmt.

=== Lineare partielle Differentialgleichungen ===
[[Datei:PDE solution qtl2.svg|miniatur|Lösung der homogenen Wärmeleitungs-Gleichung <math> h_t - h_{xx} = 0</math> mit <math>2\sin(\pi x)</math> als Anfangsbedingung]]
[[Datei:PDE solution qtl3.svg|miniatur|Partikulärlösung der inhomogenen Wärmeleitungs-Gleichung <math>f_t - f_{xx} = \pi^2 \sin(\pi x)</math> mit Null-Anfangsbedingung]]
[[Datei:PDE solution qtl1.svg|miniatur|Lösung der inhomogenen Wärmeleitungs-Gleichung <math>f_t - f_{xx} = \pi^2 \sin(\pi x)</math> mit <math>2\sin(\pi x)</math> als Anfangsbedingung]]
Bei linearen [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] ist die Unbekannte eine Funktion mehrerer Veränderlicher <math>f</math>, für die

:<math>\sum_{\alpha_1=0}^n \cdots \sum_{\alpha_m=0}^n a_{\alpha}(x) \frac{\partial^{|\alpha|}f(x)}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_m^{\alpha_m}} = g(x)</math>

gelten soll, wobei <math>x = (x_1, \ldots , x_m)</math>, <math>\alpha = (\alpha_1, \ldots , \alpha_m)</math> und <math>a_{\alpha}(x)</math> sowie <math>g(x)</math> Koeffizientenfunktionen sind. Homogene sowie inhomogene lineare partielle Differentialgleichungen können beispielsweise über [[Fundamentallösung]]en oder den [[Separationsansatz]] gelöst werden.

'''Beispiel'''

Gegeben sei die folgende [[Wärmeleitungsgleichung]] als [[Partielle Differentialgleichung#Rand- und Anfangswertprobleme|Anfangs-Randwertproblem]]

:<math>f_t - f_{xx} = \pi^2 \sin(\pi x)</math>

mit den [[Dirichlet-Randbedingung]]en <math>f(0,t) = f(1,t) = 0</math> und der [[Anfangsbedingung]] <math>f(x,0) = 2\sin(\pi x)</math>. Die Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung

:<math>h_t - h_{xx} = 0</math>

mit gleichen Anfangs- und Randbedingungen erhält man mit Hilfe des Separationsansatzes

:<math>h(x,t) = F(x) G(t)</math>

womit gilt

:<math>h_t - h_{xx} = F(x) G'(t) - F''(x) G(t) = 0</math>

und somit

:<math>\frac{F(x)}{F''(x)} = \frac{G(t)}{G'(t)}</math>.

Nachdem nun die linke Seite der Gleichung nur von <math>x</math> und die rechte Seite nur von <math>t</math> abhängt, müssen beide Seiten gleich einer Konstanten <math>k</math> sein. Also müssen für <math>F</math> und <math>G</math> die gewöhnlichen Differentialgleichungen

:<math>F''(x) - kF(x) = 0</math>     und     <math>G'(t) - k G(t) = 0</math>

gelten, was für die gegebenen Anfangsbedingungen <math>k=-\pi^2</math> die Lösung

:<math>h(x,t) = 2\sin(\pi x) e^{-\pi^2t}</math>

ergibt. Mit dem gleichen Ansatz erhält man die Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung mit Null-Anfangsbedingung <math>f(x,0) = 0</math> als

:<math>\bar{f}(x,t) = \sin(\pi x) (1 - e^{-\pi^2t})</math>,

womit die Gesamtlösung durch

:<math>f(x,t) = h(x,t) + \bar{f}(x,t) = 2 \sin(\pi x) e^{-\pi^2t} + \sin(\pi x) (1 - e^{-\pi^2t}) = \sin(\pi x)(e^{-\pi^2t}+1)</math>

gegeben ist.

== Anwendungen ==
{{Hauptartikel|Superposition (Physik)}}

Das Superpositionsprinzip besitzt vielfältige Anwendungen insbesondere in der [[Physik]], beispielsweise bei der [[Kräfteparallelogramm|Überlagerung von Kräften]], der [[Interferenz (Physik)|Interferenz von Wellen]], der [[Zustand (Quantenmechanik)|Überlagerung quantenmechanischer Zustände]], [[Wärme|Erwärmungsvorgängen]] in der [[Thermodynamik]] oder der [[Netzwerkanalyse (Elektrotechnik)|Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik]].

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Hans Wilhelm Alt]] |Titel=Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung |Auflage=5 |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2008 |ISBN=3-540-34186-2}}
* {{Literatur |Autor=[[Bernd Aulbach]] |Titel=Gewöhnliche Differenzialgleichungen |Auflage=2 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Datum=2004 |ISBN=3-827-41492-X}}
* {{Literatur |Autor=[[Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen |Auflage=7 |Verlag=Vieweg |Datum=2009|ISBN=3-528-66508-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Peter Bundschuh]] |Titel=Einführung in die Zahlentheorie |Auflage=6 |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2010 |ISBN=3-540-76490-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] |Titel=Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger |Auflage=17 |Verlag=Vieweg Verlag |Datum=2009 |ISBN=3-834-80996-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Jürgen Jost]] |Titel=Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen |Auflage=1 |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2009 |ISBN=3-540-64222-6}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Superposition principle}}
* {{MathWorld|title=Superposition Principle|id=SuperpositionPrinciple}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

[[it:Principio di sovrapposizione]]

Superposition (Mathematik) - Versionsgeschichte

imported>Gunnar.Kaestle: spezifischere Wikilink-Auswahl