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2025-12-10T14:01:45Z

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Die '''Summenregel'''<ref>{{Literatur |Titel=Schülerduden Die Mathematik II |Auflage=3. |Verlag=Dudenverlag |Ort=Mannheim / Wien / Zürich |Datum=1991 |ISBN=3-411-04273-7 |Seiten=13}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=dtv-Atlas Schulmathematik |Auflage=2. |Verlag=Deutscher Taschenbuchverlag |Ort=München |Datum=2003 |ISBN=3-423-03099-2 |Seiten=123}}</ref> ist eine grundlegende [[Ableitungsregel]]. Sie besagt: Sind zwei Funktionen <math>u</math> und <math>v</math> auf einem Intervall an der Stelle <math>x_0</math> differenzierbar, so ist auch die Summenfunktion <math>f=u+v</math> an dieser Stelle differenzierbar und man erhält die Ableitung der Summenfunktion durch gliedweises Ableiten:

:<math>(u+v)'(x_0)=u'(x_0)+v'(x_0)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=[[Harro Heuser]] |Titel=Lehrbuch der Analysis Teil 1 |Auflage=17. |Verlag=Vieweg+Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2009 |ISBN=978-3-8348-0777-9 |Seiten=270}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Otto Forster]], Florian Lindemann |Titel=Analysis. 1 |Auflage=13. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2023 |ISBN=978-3-658-40129-0 |Seiten=235}}</ref>
[[Datei:Summenregel-graphish.svg|300px|mini|Veranschaulichung der Summenregel: Die Tangentensteigung von <math>f=u+v</math> ist die Summe der Tangentensteigungen von <math>u</math> und <math>v</math>.]]
== Beispiel ==

Die Funktion

:<math>f(x)=x^4+x^3</math>

ist die Summe der Funktionen

:<math>\ u(x) = x^4</math> und <math>\ v(x) = x^3</math>,

welche auf <math>\mathbb{R}</math> differenzierbar sind mit

:<math>\ u'(x) = 4x^3</math> und <math>\ v'(x) = 3x^2</math>

Daher ist auch <math>f(x)</math> auf <math>\mathbb{R}</math> differenzierbar und es gilt

: <math>\ f'(x) = 4 x^3 + 3 x^2</math>.

== Herleitung ==
Seien <math>u</math> und <math>v</math> zwei Funktionen einer Variablen <math>x</math> und <math>f</math> die Summe von <math>u</math> und <math>v</math>. Dann führt eine Änderung <math>\Delta x</math> der unabhängigen Variablen zu Änderungen <math>\Delta u</math> und <math>\Delta v</math> der Summanden und damit mittelbar zu einer Änderung <math>\Delta f</math> von <math>f</math>:
:<math>\Delta f = \Delta u + \Delta v </math>.
Hieraus folgt, indem man durch <math>\Delta x</math> teilt, die Gleichung
:<math>\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta u + \Delta v}{\Delta x}=\frac{\Delta u}{\Delta x} + \frac{\Delta v}{\Delta x}</math>.
Lässt man nun <math>\Delta x \to 0</math> gehen, so erhält man die Summenregel.<ref>{{Literatur |Autor=[[Silvanus Phillips Thompson]] |Titel=Analysis leicht gemacht |Auflage=12. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Ort=Thun / Frankfurt am Main |Datum=1998 |ISBN=3-87144-739-0 |Seiten=29 f.}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]] |Titel=Differential- und Integralrechnung I |Sammelwerk= |Band= |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1989 |ISBN=3-326-00398-6 |Seiten=186 |Online=https://archive.org/details/fic1_20230721/fic1/page/186/mode/2up}}</ref>

== Beweis ==

Sei <math>I</math> ein Intervall und seien <math>u, v\colon\ I \to \R</math> in <math>x_0 \in I</math> differenzierbar. Dann gilt für <math>f=u+v</math>:<ref>{{Literatur |Autor=[[Michael Spivak]] |Titel=Calculus |Auflage=3. |Verlag=Publish or Perish |Ort=Houston (Texas) |Datum=1994 |Seiten=167}}</ref>
:<math>
\begin{align}
\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
&=\lim_{x \to x_0}\frac{u(x)+v(x)-(u(x_0)+v(x_0))}{x-x_0} \\
&=\lim_{x \to x_0}\frac{u(x)-u(x_0)+v(x)-v(x_0)}{x-x_0} \\
&=\lim_{x \to x_0}\left(\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}+\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\right) \\
&=\lim_{x \to x_0}\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x \to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}. \\
\end{align}
</math>
Dabei folgt die letzte Gleichheit aus dem [[Grenzwert (Funktion)#Grenzwertsätze|Grenzwertsatz]] für Funktionengrenzwerte von Summen. Da per Voraussetzung die beiden Grenzwerte der letzten Zeile existieren, existieren auch die Grenzwerte in den Zeilen darüber und es gilt <math>f'(x_0)=u'(x_0)+v'(x_0)</math>.

== Folgerungen ==
* ''Differenzregel'': Betrachtet man die Differenz <math>f=g-h=g+(-h)</math> für Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>, die in <math>x_0</math> differenzierbar sind, ergibt sich aus der Summenregel und der [[Faktorregel]], dass <math>f</math> in <math>x_0</math> differenzierbar ist und für die Ableitung <math>f'(x_0)=g'(x_0)-h'(x_0)</math> gilt.
* Zusammen mit der Faktorregel ergibt sich: Sind <math>g_1, \ldots, g_n</math> in <math>x_0 \in \mathbb{R}</math> differenzierbare Funktionen und <math>c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{R}</math> reelle Konstanten, dann ist die [[Linearkombination]] <math>f(x) := \sum_{i=1}^nc_ig_i(x)</math> wiederum in <math>x_0</math> differenzierbar mit (gliedweise differenzierter) Ableitungsfunktion
*:<math>f'(x_0) = \left(\sum_{i=1}^nc_ig_i\right)'(x_0) = \sum_{i=1}^nc_i {g_i}'(x_0)</math>.

* Daraus folgt: Die differenzierbaren Funktionen (auf einem gegebenen Intervall) bilden einen reellen [[Vektorraum]], und die Differentiation ist eine [[lineare Abbildung]] von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen.

== Siehe auch ==
* [[Faktorregel]]
* [[Produktregel]]
* [[Quotientenregel]]
* [[Umkehrregel]]
* [[Kettenregel]]

== Literatur ==
* [[Karl Strubecker]]: ''Einführung in die Höhere Mathematik. Band II: Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen''. Oldenbourg Verlag, München / Wien 1967, S. 86–87.

== Weblinks ==
* [https://mathworld.wolfram.com/SumRule.html Summenregel] auf [[MathWorld]] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Summenregel - Versionsgeschichte

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