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[[Datei:Vector-1-Norm qtl1.svg|mini|Summennorm in zwei Dimensionen]]
Die '''Summennorm''', '''Betragssummennorm''' oder '''1-Norm''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Vektornorm]]. Sie ist definiert als die Summe der [[Betragsfunktion|Beträge]] der Vektorkomponenten und ist eine spezielle [[p-Norm|''p''-Norm]] für die Wahl von <math>p=1</math>. Die [[Norm (Mathematik)#Normkugeln|Einheitssphäre]] der reellen Summennorm ist ein [[Kreuzpolytop]] mit minimalem Volumen über alle ''p''-Normen. Daher ergibt die Summennorm für einen gegebenen Vektor den größten Wert aller ''p''-Normen. Die von der Summennorm abgeleitete Metrik ist die [[Manhattan-Metrik]].

== Definition ==
Ist <math>x = ( x_1, x_2, \ldots , x_n )</math> ein ''n''-dimensionaler [[Vektor]] mit [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] Einträgen <math>x_i</math> für <math>i=1, \ldots , n</math>, dann ist die Summennorm <math>\| \cdot \|_1</math> des Vektors definiert als

: <math>\| x \|_1 := \sum_{i=1}^n | x_i |</math>.

Die Summennorm entspricht damit der Summe der [[Betragsfunktion|Beträge]] der Komponenten des Vektors und wird daher auch etwas genauer Betragssummennorm genannt.<ref>{{Literatur |Autor=Rolf Walter |Titel=Einführung in die Analysis 2 |Datum= |Seiten=37}}</ref> Sie ist eine spezielle [[p-Norm|''p''-Norm]] für die Wahl von <math>p=1</math> und heißt deswegen auch 1-Norm.

== Beispiele ==

'''Reeller Vektor'''

Die Summennorm des reellen Vektors <math>x = (3,-2,6) \in \R^3</math> ist gegeben als

: <math>\| x \|_1 = | 3 | + | {-2} | + | 6 | = 11</math>.

'''Komplexer Vektor'''

Die Summennorm des komplexen Vektors <math>x = (3-4i, {-2i}) \in \Complex^2</math> ist gegeben als

: <math>\| x \|_1 = |3-4i| + |{-2i}| = 5 + 2 = 7</math>.

== Eigenschaften ==

=== Normeigenschaften ===

Die Summennorm erfüllt wie alle ''p''-Normen die drei [[Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]], die hier besonders leicht zu zeigen sind. Die [[Definitheit]] folgt aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der [[Betragsfunktion]] durch

: <math>\| x \|_1 = 0 \; \Leftrightarrow \; \sum_{i=1}^n | x_i | = 0 \; \Rightarrow \; x = ( 0, \ldots , 0) = 0</math>,

die [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] folgt aus der Homogenität der [[Betragsfunktion#Betragsnorm|Betragsnorm]] über

: <math>\| \alpha \cdot x \|_1 = \sum_{i=1}^n | \alpha \cdot x_i | = \sum_{i=1}^n | \alpha | \cdot | x_i | = | \alpha | \cdot \sum_{i=1}^n | x_i | = | \alpha | \cdot \| x \|_1</math>

und die Subadditivität folgt direkt aus der [[Dreiecksungleichung]] für reelle oder komplexe Zahlen

: <math>\| x + y \|_1 = \sum_{i=1}^n | x_i + y_i | \leq \sum_{i=1}^n | x_i | + | y_i | = \sum_{i=1}^n | x_i | + \sum_{i=1}^n | y_i | = \| x \|_1 + \| y \|_1</math>.

=== Einheitssphäre ===
[[Datei:Euclid Octahedron 3.svg|mini|Die Einheitssphäre der Summennorm ist in drei Dimensionen ein Oktaeder]]
Die [[Einheitssphäre]] der reellen Summennorm, also die Menge

: <math>\{ x \in \R^n : \| x \|_1 = 1 \}</math>

hat in zwei Dimensionen die Form eines [[Quadrat (Geometrie)|Quadrats]], in drei Dimensionen die Form eines [[Oktaeder]]s und in allgemeinen Dimensionen die Form eines [[Kreuzpolytop]]s. Das [[Volumen]] der Einheitskugel der Summennorm ist dabei minimal über alle ''p''-Normen; es beträgt <math>\tfrac{2^n}{n!}</math>.

=== Vergleich mit den anderen ''p''-Normen ===

Die Summennorm ist von allen ''p''-Normen die größte, das heißt für einen gegebenen Vektor <math>x</math> und <math>1 gilt

: <math>\| x \|_1 \geq \| x \| _p</math>,

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn der Vektor der [[Nullvektor]] oder ein Vielfaches eines [[Einheitsvektor]]s ist. Umgekehrt kann die Summennorm aufgrund der [[Norm (Mathematik)#Äquivalenz von Normen|Äquivalenz von Normen]] in endlichdimensionalen Vektorräumen nach oben gegen jede ''p''-Norm durch

: <math>\| x \|_1 \leq n^{1-\frac{1}{p}} \cdot \| x \|_p</math>

abgeschätzt werden, wobei Gleichheit für einen konstanten Vektor gilt. Die Äquivalenzkonstante bezüglich der [[Maximumsnorm]] <math>(p = \infty)</math> ist dabei gleich <math>n</math>, was maximal zwischen allen ''p''-Normen ist.

== Anwendungen ==
=== Abgeleitete Begriffe ===
[[Datei:Manhattan distance bgiu.png|mini|Die Manhattan-Metrik ist der Abstand zweier Punkte, wenn man sich nur auf einem Raster bewegen darf. Dieser Abstand ist unabhängig davon welchen Weg man einschlägt (hier 12).]]

Die Summennorm ist im Gegensatz zur [[Euklidische Norm|euklidischen Norm]] (2-Norm) nicht von einem Skalarprodukt [[Skalarproduktnorm|induziert]]. Die von der Summennorm abgeleitete [[Metrischer Raum|Metrik]] ist die [[Manhattan-Metrik]] oder Taxi-Metrik

: <math>d(x, y) = \sum_{i=1}^n | x_i - y_i |</math>.

Im reellen zweidimensionalen Raum misst sie den Abstand zweier Punkte wie die Fahrtstrecke auf einem gitterförmigen Stadtplan, auf dem man sich nur in senkrechten und waagerechten Abschnitten bewegen kann. Die von der Summennorm [[Natürliche Matrixnorm|induzierte Matrixnorm]] ist die [[Spaltensummennorm]].

=== Betrag von Multiindizes ===

Die Summennorm wird häufig als Betrag eines [[Multiindex]] <math>\alpha = (\alpha_1, \dotsc, \alpha_n)</math> mit nichtnegativen Einträgen verwendet. Beispielsweise kann eine [[partielle Ableitung]] einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] mehrerer Veränderlicher <math>f(x_1, \dotsc, x_n)</math> als

: <math>f^{(\alpha)} = \frac{\partial^{| \alpha |} f}{\partial x_1^{\alpha_1} \dotso \partial x_n^{\alpha_n}} = \frac{\partial^{\alpha_1 + \dotsb + \alpha_n} f}{\partial x_1^{\alpha_1} \dotso \partial x_n^{\alpha_n}}</math>

geschrieben werden, wobei dann <math>| \alpha | = \| \alpha \|_1</math> die Ordnung der Ableitung ist.

== Verallgemeinerungen ==
Die Summennorm kann auch auf unendlichdimensionale Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen verallgemeinert werden und hat dann eigene Namen.

=== ''ℓ1''-Norm ===

Die [[Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓ1''-Norm]] ist die Verallgemeinerung der Summennorm auf den [[Folgenraum]] <math>\ell^1</math> der betragsweise summierbaren [[Folge (Mathematik)|Folgen]] <math>(a_n)_n \in {\mathbb K}^{\N}</math>. Hierbei wird lediglich die endliche Summe durch eine unendliche ersetzt und die ''ℓ1''-Norm ist dann gegeben als

: <math>\|(a_n)\|_{\ell^1} = \sum_{n=1}^\infty |a_n|</math>.

=== ''L1''-Norm ===

Weiter kann die Summennorm auf den [[Funktionenraum]] <math>L^1(\Omega)</math> der auf einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>\Omega</math> betragsweise integrierbaren [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] verallgemeinert werden, was in zwei Schritten geschieht. Zunächst wird die <math>{\mathcal L}^1</math>-Norm einer betragsweise [[Lebesgue-Integral|Lebesgue-integrierbaren]] Funktion <math>f \colon \Omega \rightarrow {\mathbb K}</math> als

: <math>\| f \|_{{\mathcal L}^1(\Omega)} = \int_\Omega | f(x) | \, dx</math>,

definiert, wobei im Vergleich zur ''ℓ1''-Norm lediglich die Summe durch ein Integral ersetzt wurde. Dies ist zunächst nur eine [[Halbnorm]], da nicht nur die [[Nullfunktion]], sondern auch alle Funktionen, die sich nur an einer Menge mit Lebesgue-Maß Null von der Nullfunktion unterscheiden, zu Null integriert werden. Daher betrachtet man die Menge der [[Äquivalenzklasse]]n von Funktionen <math>[ f ] \in L^1(\Omega)</math>, die fast überall gleich sind, und erhält auf diesem [[Lp-Raum|''L1''-Raum]] die [[Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L1''-Norm]] durch

: <math>\| \, [ f ] \, \|_{L^1(\Omega)} = \| f \|_{{\mathcal L}^1(\Omega)}</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Hans Wilhelm Alt
|Titel=Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung
|Auflage=5.
|Verlag=Springer-Verlag
|Datum=2008
|ISBN=3-540-34186-2}}
* {{Literatur
|Autor=Rolf Walter
|Titel=Einführung in die Analysis 2
|Verlag=de Gruyter
|Datum=2007
|ISBN=978-3-11-019540-8}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=L1-Norm |title=L^1-Norm}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Norm (Mathematik)]]

Summennorm - Versionsgeschichte

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