imported>Wfstb: Formulierung

2026-04-29T08:00:04Z

Formulierung

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Unter '''Substitution''' versteht man in der [[Mathematik]] allgemein das Ersetzen eines [[Term]]s durch einen anderen mit dem Ziel der Überführung des Ausgangsterms in eine einfach lösbare Standardform. Die Substitution wird unter anderem verwendet, um lineare wie nichtlineare Gleichungen zu lösen, im Besonderen auch [[biquadratische Gleichung]]en, darüber hinaus bei Variablentransformationen zum Lösen von [[Differentialgleichungen]], bei [[Reihe (Mathematik)|Reihen]] zur Vereinfachung komplizierter [[Indexmenge (Mathematik)|Indizes]], bei [[Koordinatentransformation]]en in der [[Geometrie]] und [[Analysis]], zur Lösung von [[Integration durch Substitution|Integralen mittels Substitution]] oder zur Transformation von [[Zufallsvariable]]n in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitsrechnung]].

== Beispiele ==
[[Datei:Substitutionsbeispiel.jpg|mini|Funktionsgraphen vor und nach der Substitution]]

=== Biquadratische Gleichung ===
Folgendes Beispiel nutzt die Substitution, um die [[Lösungsmenge]] einer gegebenen biquadratischen Gleichung bzw. die [[Nullstelle]]n einer [[Ganzrationale Funktion|ganzrationalen Funktion]] bzw. eines [[Polynom]]s 4. Grades zu bestimmen.<ref>{{Literatur|Autor=Jan Peter Gehrk|Titel=Mathematik im Studium: Brückenkurs für Wirtschafts- und Naturwissenschaften|Verlag=[[R. Oldenbourg Verlag]]|Jahr=2010|Ort=München|ISBN=978-3486599107|Seiten=116–117}}</ref>

Die Gleichung
:<math>x^4 + x^2 - 2 = 0</math>
lässt sich durch die Substitution
<math>t:=x^2</math>
in
:<math>t^2 + t - 2 = 0</math>
überführen. Diese [[quadratische Gleichung]] lässt sich nun mit Standardverfahren wie zum Beispiel mit der [[p-q-Formel]] lösen. Man erhält als Lösungen
<math>t_1=1</math> und <math>t_2=-2</math>.
Durch Rücksubstitution erhält man für <math>x</math> die Gleichungen
: <math>x^2=1</math>
mit den Lösungen <math>x_1 = 1</math> und <math>x_2 = -1</math> sowie
: <math>x^2=-2</math>
mit den [[Komplexe Zahl|komplexen]] Lösungen <math>x_3 = i \sqrt{2}</math> und <math>x_4 = -i \sqrt{2}</math>.
Die Ausgangsgleichung hat somit als Lösungsmenge <math>\{1, -1\}</math> in <math>\R</math> bzw. <math>\{1, -1, i\sqrt 2, -i\sqrt 2\}</math> in <math>\Complex</math>.

=== Gleichung mit Exponentialfunktion ===
Nun soll die Gleichung
:<math>\exp(2x) - 2\, \exp(x) - 3 = 0</math>
gelöst werden, wobei <math> \exp(x) = \mathrm{e}^x </math> die natürliche [[Exponentialfunktion]] ist. Diese Gleichung lässt sich durch die Substitution <math>t:=\exp(x) </math> umformulieren zu
:<math>t^2 - 2t - 3 = (t-3)(t+1) = 0, </math>
mit Lösungen <math>t_1=3, t_2=-1</math>. Durch Resubstitution erhält man die Lösungen der ursprünglichen Gleichung. In <math>\mathbb{R}</math> ergibt sich die Lösungsmenge <math>\{\ln(3)\}</math>, in <math>\Complex</math> die Lösungsmenge <math>\{ \ln(3) + 2 k \pi \mathrm{i} \mid k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ (2k+1) \pi \mathrm{i} \mid k \in \mathbb{Z} \}</math>.

== Siehe auch ==
* [[Substitution (Logik)]]
* [[Symmetrische Gleichung#Symmetrische Gleichung 4. Grades|Symmetrische Gleichung]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elementare Algebra]]

Substitution (Mathematik) - Versionsgeschichte

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