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2020-01-31T19:07:48Z

Halbgeviertstrich

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In der [[Gruppentheorie]] wird eine [[Untergruppe]] <math>S</math> einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>G</math> als '''Subnormalteiler''' (oder '''subnormale Untergruppe''') bezeichnet, falls eine [[Reihe (Gruppentheorie)|Subnormalreihe]] von <math>G</math> nach <math>S</math> existiert, das heißt, falls es eine endliche Kette <math>S=S_0</math> ≤ … ≤ <math>S_k=G</math> von Untergruppen von <math>G</math> gibt, so dass jeweils <math>S_i</math> [[Normalteiler]] von <math>S_{i+1}</math> ist.

Subnormalteiler wurden – noch unter der Bezeichnung ''nachinvariante Untergruppe'' – erstmals von [[Helmut Wielandt]] in seiner 1939 erschienenen Habilitationsschrift ''Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen'' betrachtet. Wielandt konnte unter anderem zeigen, dass in [[endliche Gruppe|endlichen Gruppen]] das Erzeugnis zweier Subnormalteiler stets wieder subnormal ist, die Subnormalteiler also einen [[Verband (Mathematik)|Verband]] bilden.

Der Begriff des Subnormalteilers ist insofern eine Verallgemeinerung des Begriffs des Normalteilers, als ein Subnormalteiler nicht unbedingt normal in der ganzen Gruppe sein muss. Jeder Normalteiler ist aber stets ein Subnormalteiler.

== Beispiel ==
Die von einer Spiegelung erzeugte Untergruppe <math>Z = \{ e,(1 2)(3 4) \} </math> der [[symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_4</math> ist ein Normalteiler der [[Kleinsche Vierergruppe|Kleinschen Vierergruppe]] <math>V</math>, welche wiederum normal in <math>S_4</math> liegt. <math>Z</math> ist also Subnormalteiler von <math>S_4</math>, allerdings kein Normalteiler, da <math>((1 2)(3 4))^{(1 2 3)}=(1 3)(2 4)</math> nicht in <math>Z</math> liegt.

== Literatur ==
* Helmut Wielandt: ''Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen.'' In: Mathematische Zeitschrift '''45''' (1939), S. 209–244.

[[Kategorie:Untergruppe]]

Subnormalteiler - Versionsgeschichte

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