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In der [[Differentialtopologie]] bezeichnet man eine [[Differenzierbarkeit#Differenzierbare Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten|differenzierbare Abbildung]] zwischen zwei [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeiten]] als '''Submersion''', falls ihr [[Tangentialraum#Die Totalableitung einer Abbildung|Differential]] an jeder Stelle [[Surjektivität|surjektiv]] ist. Eine spezielle Klasse von Submersionen sind die in der [[Differentialgeometrie]] betrachteten [[Riemannsche Submersion|Riemannschen Submersionen]].

Punkte, an denen das Differential nicht surjektiv ist, nennt man [[kritischer Punkt (Mathematik)|''kritisch'']] oder ''singulär''.

Ein wichtiges Beispiel für eine Submersion ist die Projektion <math>\R^n \to \R^m \; ;\; (x_1;x_2;\cdots;x_m;\cdots;x_n) \mapsto (x_1;x_2;\cdots;x_m)</math> für <math>n \ge m</math> auf die ersten <math>m</math> [[Kartesisches Koordinatensystem|Koordinaten]] im [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raum]]. Tatsächlich lässt sich jede Submersion durch geeignete Wahl von [[Atlas (Mathematik)|Karten]] lokal in Form einer solchen Projektion darstellen.

Ist der Zielraum die reelle Gerade <math>\R</math>, so ist eine differenzierbare Funktion genau dann eine Submersion, wenn ihr Differential nirgendwo identisch verschwindet.

== Blätterungen und Faserbündel ==

Wenn <math>f\colon M\rightarrow B</math> eine Submersion ist, dann bilden die [[Niveaumenge]]n <math>f^{-1}(b), b\in B</math> eine [[Blätterung]] von <math>M</math>. Das folgt aus dem [[Satz von der impliziten Funktion]].

Wenn <math>M</math> kompakt und <math>f\colon M\rightarrow B</math> eine Submersion ist, dann ist <math>f\colon M\rightarrow f(M)</math> ein Faserbündel mit den Niveaumengen als Fasern. Das ist die Aussage des [[Satz von Ehresmann|Satzes von Ehresmann]].

[[File:Reebfoliation-ring-2d-2.svg|300px|thumb|2-dimensionale Reeb-Blätterung]]
Ein Beispiel einer Submersion, deren Niveaumengen eine Blätterung, aber kein Faserbündel bilden, ist
:<math>f\colon\left[-1,1\right]\times {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}</math>
:<math>f\left(x,y\right)=\left(x^2-1\right)e^y</math>.
Das Bild rechts zeigt die Projektion dieser Blätterung auf <math>\left[-1,1\right]\times S^1</math>, wobei die Identifikation <math>S^1=\mathbb R/\mathbb Z</math> benutzt wird.

== Siehe auch ==
* [[Immersion (Mathematik)|Immersion]]

== Literatur ==
* John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.
* R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: ''Manifolds, Tensor Analysis and Applications'' (= ''Applied Mathematical Sciences'' 75). 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Submersion}}

[[Kategorie:Differentialtopologie]]

Submersion - Versionsgeschichte

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