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2019-12-09T09:51:15Z

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{{Dieser Artikel|behandelt sublineare Funktionen in der linearen Algebra; für sublineares asymptotisches Verhalten in der Komplexitätstheorie siehe [[Landau-Symbole]].}}
[[Datei:Sublinear Function qtl1.svg|miniatur|Beispiel einer sublinearen Funktion einer reellen Variablen]]
Eine '''sublineare Funktion''' oder '''sublineare Abbildung''' ist in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] eine [[reellwertige Funktion]] auf einem [[reelle Zahl|reellen]] oder [[komplexe Zahl|komplexen]] [[Vektorraum]], die [[Homogene Funktion#Positive Homogenität|positiv homogen]] und [[Additivität#Sub- und Superadditivität|subadditiv]] ist. Sublineare Funktionen stellen damit eine gewisse Verallgemeinerung von [[Lineare Abbildung|linearen Funktionen]] dar, die als jeweils stärkere Anforderungen [[Homogene Funktion|homogen]] und [[Additivität|additiv]] sein müssen. Jede sublineare Funktion ist insbesondere [[konvexe Funktion|konvex]]; umgekehrt ist jede positiv homogene und konvexe Funktion sublinear. Sublineare Funktionen spielen in der [[Funktionalanalysis]] im [[Satz von Hahn-Banach]] eine zentrale Rolle.

== Definition ==

Eine reellwertige [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f \colon V \rightarrow \R</math> auf einem [[Vektorraum]] <math>V</math> über den [[reelle Zahl|reellen]] oder [[komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] heißt sublinear, wenn für alle positiven reellen Zahlen <math>\alpha > 0</math> und für alle [[Vektor]]en <math>x,y \in V</math> die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:<ref name="werner93">{{Literatur|Autor=Werner|Titel=Funktionalanalysis|Seiten=93}}</ref>

*<math>f(\alpha \cdot x) = \alpha \cdot f(x)</math>    ([[Homogene Funktion#Positive Homogenität|Positive Homogenität]])
*<math>f(x + y) \leq f(x) + f(y)</math>    ([[Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]])

Die hierbei geforderte [[Homogene Funktion|Homogenität]] ist vom Grad eins. Die Einschränkung von <math>\alpha</math> auf die positiven reellen Zahlen in der Definition ist wichtig, denn subadditive und für alle reelle Zahlen homogene Funktionen sind bereits additiv und damit [[Lineare Abbildung|linear]].<ref>da dann <math> f(x+y) \, = \, -f((-x) + (-y)) \, \geq \, -(f(-x) + f(-y)) \, = \, f(x)+f(y)</math> und somit <math>f(x+y) \, = \, f(x) + f(y)</math> gilt</ref>

== Beispiele ==
[[Datei:Vector-2-Norm qtl1.svg|miniatur|Die [[euklidische Norm]] (hier in zwei reellen Dimensionen) ist eine sublineare Funktion]]
* Reellwertige lineare Funktionen sind sublinear; gleiches gilt auch für den [[Betragsfunktion|Betrag]] reell- oder komplexwertiger linearer Funktionen.
* [[Norm (Mathematik)|Normen]] und [[Halbnorm]]en sind sublinear; ebenso [[Minkowski-Funktional]]e auf [[Konvexe Menge|konvexen]] und [[Absorbierende Menge|absorbierenden]] Mengen.
* Für [[Beschränktheit|beschränkte]] komplexwertige [[Folge (Mathematik)|Folgen]] ist der [[Limes superior und Limes inferior|Limes superior]] der [[Komplexe Zahl#Definition|Realteile]] der Folgenglieder eine sublineare Abbildung.<ref name="werner93" />

== Eigenschaften ==

=== Nullstellen ===

Im [[Nullvektor|Nullpunkt]] besitzt eine sublineare Funktion immer den Wert [[Null]], was aus der positiven Homogenität durch Setzen von <math>x = 0</math> über

:<math>f(0) = f(\alpha \cdot 0) = \alpha \cdot f(0) ~~ \forall \alpha>0 ~ \Rightarrow ~ f(0) = 0</math>

folgt. Daher kann die Forderung der positiven Homogenität auch auf die nichtnegativen reellen Zahlen <math>\alpha \geq 0</math> erweitert werden. Eine sublineare Funktion kann aber auch noch weitere [[Nullstelle]]n haben; insbesondere ist die [[Nullfunktion]] <math>f \equiv 0</math> sublinear.

=== Positivität und Negativität ===

Sublineare Funktionen können grundsätzlich negative Werte annehmen. Ist aber <math>f(x)<0</math> an einer Stelle <math>x \in V</math>, so muss aufgrund von

:<math>0 = f(0) = f(x + (-x)) \leq f(x) + f(-x)</math>

an der Stelle <math>-x</math> gelten, dass <math>f(-x)>0</math> ist. Eine sublineare Funktion nimmt also an mindestens so vielen Stellen positive Werte an, wie sie negative Werte annimmt.

=== Konvexität ===

Jede sublineare Funktion ist [[konvexe Funktion|konvex]], was für reelle <math>0 \leq t \leq 1</math> aus der Subadditivität und der positiven Homogenität direkt über

:<math>f(tx + (1-t)y) \leq f(tx) + f((1-t)y) = tf(x) + (1-t)f(y)</math>

folgt. Umgekehrt ist jede positiv homogene und konvexe Funktion subadditiv und damit sublinear, was durch Setzen von <math>t=\tfrac{1}{2}</math> mittels

:<math>f(x+y) = 2f\left( \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{2}y \right) \leq 2 \left( f\left( \tfrac{1}{2}x \right) +f\left( \tfrac{1}{2}y \right) \right) = f(x) + f(y)</math>

gezeigt werden kann.<ref>{{Literatur|Autor=Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Seiten=46}}</ref> In der obigen Definition kann also die Subadditivität auch durch Konvexität ersetzt werden.

== Anwendung ==

Eine wichtige Anwendung von sublinearen Funktionen findet sich im [[Satz von Hahn-Banach]]. Demnach besitzt ein [[Funktional#Lineare Funktionale|lineares Funktional]] auf einem [[Untervektorraum]] eines reellen Vektorraums, das von einer sublinearen Funktion beschränkt wird, eine lineare [[Einschränkung|Fortsetzung]] auf dem Gesamtraum, die ebenfalls durch diese sublineare Funktion beschränkt wird. Als Konsequenz stellt der Satz von Hahn-Banach die Existenz von genügend vielen [[Stetige Funktion|stetigen]] und linearen Funktionalen auf einem [[Normierter Raum|normierten Raum]] sicher und bildet somit eine zentrale Grundlage für die [[Funktionalanalysis]].

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]|Titel=Funktionalanalysis|Verlag=Springer|Ort=Berlin|Jahr=2007|ISBN=978-3-540-72533-6}}
* {{Literatur|Autor=Peter Kosmol|Titel=Optimierung und Approximation|Verlag=de Gruyter|Jahr=2010|ISBN=978-3-110-21814-5}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Sublineare Funktion - Versionsgeschichte

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