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2024-10-21T16:31:34Z

typografische Anführungszeichen, Kleinkram

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In der [[Mathematik]] bezeichnen '''subharmonische''' und '''superharmonische''' Funktionen wichtige Klassen von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], die ihre Anwendungen in der Theorie [[Partielle Differentialgleichung|Partieller Differentialgleichungen]], [[Funktionentheorie]] und [[Potentialtheorie]] haben.

Subharmonische Funktionen sind zu [[konvexe Funktion|konvexen Funktion]]en einer Variable folgendermaßen verbunden: Wenn der Graph einer konvexen Funktion und eine Gerade sich an zwei Punkten schneiden, ist der Graph der konvexen Funktion ''unter'' der Geraden zwischen diesen beiden Punkten. Auf die gleiche Art sind die Werte einer subharmonischen Funktion im Inneren einer [[Kugel]] nicht größer als die einer [[harmonische Funktion|harmonischen Funktion]], wenn dies für den [[Rand (Topologie)|Rand]] der Kugel gilt. Durch diese Eigenschaften können subharmonische Funktionen definiert werden.

''Superharmonische'' Funktionen können auf die gleiche Art definiert werden, wobei „nicht größer“ durch „nicht kleiner“ ersetzt wird. Alternativ kann eine Funktion <math>f</math> als superharmonisch definiert werden, wenn <math>-f</math> subharmonisch ist. Daher kann jede Eigenschaft subharmonischer Funktionen leicht auf superharmonische Funktionen übertragen werden.

== Formale Definition ==

Sei <math>G</math> eine Teilmenge des [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raums]] <math>{\mathbb{R}}^n</math> und sei

:<math>\varphi \colon G \to {\mathbb{R}} \cup \{ - \infty \}</math>

eine [[oberhalbstetig|oberhalbstetige Funktion]]. Dann ist <math>\varphi</math> ''subharmonisch'', falls für jede abgeschlossene Kugel <math>\overline{B(x,r)}</math> mit Mittelpunkt <math>x</math> und Radius <math>r</math> aus <math>G</math> und für jede reellwertige, [[stetig]]e Funktion <math>h</math> auf <math>\overline{B(x,r)}</math>, die harmonisch in <math>B(x,r)</math> ist und <math>\varphi(y) \leq h(y)</math> für alle <math>y</math> auf dem Rand <math>\partial B(x,r)</math> von <math>B(x,r)</math> erfüllt, stets <math>\varphi(y) \leq h(y)</math> für alle <math>y \in B(x,r)</math> gilt.

Damit ist auch die Funktion, die identisch <math>-\infty</math> ist, subharmonisch. Allerdings schließen manche Autoren diesen Fall per Definition aus.

== Eigenschaften ==
* Eine oberhalbstetige Funktion <math>\varphi \colon G \to \R \cup \{ - \infty \}</math> ist genau dann subharmonisch, wenn für jedes <math>x \in G</math> mit <math>\overline{B(x,r)} \subseteq G</math> gilt
::<math> \varphi(x) \leq \frac{1}{|\partial B(x,r)|} \int_{\partial B(x,r)} \varphi(s) d\eta,</math>
:wobei <math>d\eta</math> das [[Oberflächenmaß]] bezeichnet. Dies bedeutet, dass eine subharmonische Funktion an keinem Punkt größer als das [[arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] ihrer Werte auf einem Kreis um diesen Punkt ist.
* Das Maximum einer subharmonischen Funktion kann nicht im Inneren ihres Definitionsbereichs angenommen werden, falls die Funktion nicht konstant ist. Dies ist das sogenannte [[Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzip]], das unmittelbar aus der vorangehenden Eigenschaft folgt.
* Eine Funktion ist genau dann harmonisch, wenn sie sowohl subharmonisch als auch superharmonisch ist.
* Wenn <math>\varphi</math> [[differenzierbar|zweimal stetig differenzierbar]] auf einer [[Offene Menge|offen]]en Menge <math>G</math> aus <math>\R^n</math> ist, dann ist <math>\varphi</math> subharmonisch genau dann, wenn
::<math> \Delta \varphi \ge 0</math> in <math>G</math> gilt,
:wobei <math>\Delta</math> den [[Laplace-Operator]] bezeichnet.

== Subharmonische Funktionen in der komplexen Zahlenebene ==

Subharmonische Funktionen sind in der [[Funktionentheorie]] vom besonderen Interesse, da sie eng mit [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] verbunden sind.

Eine reellwertige, stetige Funktion <math>\varphi</math> einer komplexen Variablen (d. h. von zwei reellen Variablen), die auf einer offenen Menge <math>G\subset \mathbb{C}</math> definiert ist, ist genau dann subharmonisch, wenn für jede abgeschlossene Kreisscheibe <math>D(z,r) \subset G</math> mit Mittelpunkt <math>z</math> und Radius <math>r</math> gilt

:<math> \varphi(z) \leq \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \varphi(z+ r e^{i\theta}) d\theta. </math>

Falls <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, dann ist
:<math>\varphi(z) = \log \left| f(z) \right|</math>
subharmonisch, wenn man <math>\varphi(z)</math> an den Nullstellen auf −∞ setzt.

In der komplexen Zahlenebene kann die Verbindung zu den konvexen Funktionen auch durch den Fakt begründet werden, dass eine subharmonische Funktion <math>f</math> auf einem Gebiet <math>G\subset\mathbb{C}</math>, die konstant in Richtung der Imaginärachse ist, konvex in Richtung der reellen Achse ist, und andersherum.

== Stochastik ==

In der Markov-Theorie werden superharmonische Funktionen verwendet.
Ist <math>P</math> der Übergangsoperator, so ist eine Funktion <math>f</math> superharmonisch genau dann, wenn <math>Pf\leq f</math>. Statt superharmonisch wird auch der Begriff exzessiv benutzt.

Die kleinste superharmonische bzw. exzessive Funktion, die die Auszahlungsfunktion majorisiert, ist der Wert des Spiels.

== Quellen ==

* John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable.'' 1. Band 2. edition. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1978, ISBN 0-387-90328-3 (''Graduate Texts in Mathematics'' 11).
* [[Joseph L. Doob]]: ''Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart.'' Springer-Verlag, New York NY u. a. 1984, ISBN 3-540-90881-1 (''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' 262).
* [[Steven G. Krantz]]: ''Function Theory of Several Complex Variables.'' 2. edition, reprinted with corrections. AMS Chelsea Publishing, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2724-3.

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Theorie partieller Differentialgleichungen]]

Subharmonische Funktion - Versionsgeschichte

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