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2025-05-09T18:44:22Z

Unterhaltungsmathematik: Verlinkt

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{| class="wikitable float-right" style="text-align:right;"
|-
! style="width:10%"| <math>n</math>
! style="width:45%"| Subfakultät <math>{!}n</math>
! style="width:45%"| Fakultät <math>n!</math>
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 0 || 1
|-
| 2 || 1 || 2
|-
| 3 || 2 || 6
|-
| 4 || 9 || 24
|-
| 5 || 44 || 120
|-
| 6 || 265 || 720
|-
| 7 || 1.854 || 5.040
|-
| 8 || 14.833 || 40.320
|-
| 9 || 133.496 || 362.880
|-
| 10 || 1.334.961 || 3.628.800
|}

Die '''Subfakultät''' ist eine vornehmlich in der [[Kombinatorik]] auftretende [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]. Sie gibt die Anzahl der [[Fixpunktfreie Permutation|fixpunktfreien Permutationen]] einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] mit <math>n</math> Elementen an und wird durch <math>{!}n</math> notiert. Die Subfakultät ist eng mit der [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] <math>n!</math> verwandt, die die Gesamtzahl der [[Permutation]]en einer <math>n</math>-elementigen Menge angibt. Die Subfakultät ist näherungsweise gleich dem [[Quotient]]en aus der Fakultät und der [[Eulersche Zahl|eulerschen Zahl]] <math>e</math>: <math>{!}n \approx n{!}/e</math>.

== Definition ==

Die Subfakultät einer [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] <math>n \geq 0</math> wird mit Hilfe der [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] durch

:<math>{!}n = n!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!} = n! \cdot \left(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+ \cdots +(-1)^n\frac{1}{n!}\right)</math>

definiert. Die Subfakultät <math>{!}n</math> entspricht der Anzahl der [[Fixpunktfreie Permutation|fixpunktfreien Permutationen]] (Derangements) einer <math>n</math>-elementigen Menge, während die Fakultät <math>n!</math> die Anzahl aller möglichen [[Permutation]]en angibt.

== Beispiel ==

Angenommen, man hat sechs verschiedenfarbige Kugeln, und zu jeder Kugel ein Kästchen in der passenden Farbe. Zu bestimmen ist die Anzahl der Möglichkeiten, die Kugeln so auf die Kästchen zu verteilen, dass jedes Kästchen genau eine andersfarbige Kugel enthält. Dafür gibt es genau

:<math>{!}6 = 6!\cdot\left(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}\right) = 265</math>

Möglichkeiten.

== Weitere Darstellungen ==

=== Rundungsdarstellungen ===
{| class="wikitable float-right"
|+ Vergleich von Näherungen der Subfakultät
|- style="text-align:center"
| style="width:8%" | <math>n</math>
| style="width:23%" | <math>\frac{n!}{e}</math>
| style="width:23%" | <math>\left[ \frac {n!}{e} \right]</math>
| style="width:23%" | <math>\frac{n!\!+\!1}{e}</math>
| style="width:23%" | <math>\left\lfloor \frac{n!\!+\!1}{e} \right\rfloor</math>
|- align="right"
| 1 || 0,37 || 0 || 0,74 || 0
|- align="right"
| 2 || 0,74 || 1 || 1,10 || 1
|- align="right"
| 3 || 2,21 || 2 || 2,58 || 2
|- align="right"
| 4 || 8,83 || 9 || 9,20 || 9
|- align="right"
| 5 || 44,15 || 44 || 44,51 || 44
|- align="right"
| 6 || 264,87 || 265 || 265,24 || 265
|- align="right"
| 7 || 1.854,11 || 1.854 || 1.854,48 || 1.854
|- align="right"
| 8 || 14.832,90 || 14.833 || 14.833,27 || 14.833
|- align="right"
| 9 || 133.496,09 || 133.496 || 133.496,46 || 133.496
|}

Es gilt
:<math>{!}n = \frac{\Gamma(n+1, -1)}{e}</math>

mit der [[Eulersche Zahl|eulerschen Zahl]] <math>e</math> und der [[Gammafunktion|unvollständigen Gammafunktion]] <math>\Gamma</math>. Eine sehr gute Näherung ist

:<math>{!}n \approx \frac{n!}{e}</math>.

Gerundet erhält man für <math>n \geq 1</math> sogar die exakte Formel

:<math>{!}n = \left[ \frac {n!}{e} \right]</math>,

wobei <math>\left[ x \right]</math> die <math>x</math> nächstliegende ganze Zahl bezeichnet. Wird in der letzten Formel vor der Division noch die Zahl Eins addiert, so erspart man sich die Unterscheidung, ob ab- oder aufgerundet werden muss. Stattdessen schneidet man den Nachkommateil einfach ab (siehe [[Gaußklammer]]) und man erhält für <math>n \geq 1</math>:<ref>{{Literatur |Autor=Mehdi Hassani |Titel=Derangements and Applications |Sammelwerk=Journal of Integer Sequences |Band=Vol. 6, Article 03.1.2 |Datum=2003 |Online=https://www.emis.de/journals/JIS/VOL6/Hassani/hassani5.html}}</ref>

:<math>{!}n = \left\lfloor \frac{n!+1}{e} \right\rfloor</math>.

=== Rekursive Darstellungen ===

{| class="wikitable float-right" style="text-align:right"
|+ Rekursive Darstellung der Subfakultät
|- style="text-align:center"
| <math>n</math>
| <math>{!}(n-1)</math>
| <math>n \cdot {!}(n-1)</math>
| <math>(-1)^n</math>
| <math>{!}n</math>
|-
| 1 || 1 || 1 || −1 || 0
|-
| 2 || 0 || 0 || +1 || 1
|-
| 3 || 1 || 3 || −1 || 2
|-
| 4 || 2 || 8 || +1 || 9
|-
| 5 || 9 || 45 || −1 || 44
|-
| 6 || 44 || 264 || +1 || 265
|-
| 7 || 265 || 1.855 || −1 || 1.854
|-
| 8 || 1.854 || 14.832 || +1 || 14.833
|-
| 9 || 14.833 || 133.497 || −1 || 133.496
|}

Die Subfakultät lässt sich auch über die beiden Formeln

:<math>{!}n = n \cdot {!}(n-1) + (-1)^n</math>

und

:<math>{!}n = (n-1)\cdot ({!}(n-1)+{!}(n-2))</math>

rekursiv berechnen. Der Term <math>{!}(n-1)+{!}(n-2)</math> entspricht dabei der Anzahl der fixpunktfreien Permutationen einer <math>n</math>-elementigen Menge, bei denen ein Element fest vorgegeben ist ({{OEIS|A000255}}).

=== Integraldarstellung ===

Die folgende Integraldarstellung verallgemeinert die Subfakultät um ihren Definitionsbereich von den natürlichen bis hin zu den komplexen Zahlen:

:<math>{!}z = \int_0^\infty \mathrm e^{-t} (t-1)^z dt</math>.

Hierbei ist <math>z \in \Complex</math> mit <math>\operatorname{Re}(z) > -1</math>.

== Unterhaltungsmathematik ==
Die einzige subfakultative [[narzisstische Zahl]], also die einzige Zahl, die gleich der Summe ihrer der Subfakultät unterzogenen (dezimalen) Ziffern ist, lautet<ref>{{Literatur |Autor=Joseph S. Madachy |Titel=Madachy's Mathematical Recreations |Verlag=Dover |Ort=New York NY |Datum=1979 |ISBN=0-486-23762-1 |Seiten=167}}</ref>

:<math>148349 = {!}1 + {!}4 + {!}8 + {!}3 + {!}4 + {!}9</math>.

In anderen [[Zahlensystem]]en (hier im Beispiel mit der Basis 5) ist dies u. a. bei 9 der Fall:

:<math>9 = 1\cdot5 + 4 = {!}1 + {!}4 = 0 + 9</math>

Insbesondere ist 5 die kleinste Basis, zu der eine Zahl mit dieser Eigenschaft existiert.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==

{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|id=Subfactorial|title=Subfakultät}}
* {{OEIS|A000166}}

{{SORTIERUNG:Subfakultat}}
[[Kategorie:Permutationstheorie]]

Subfakultät - Versionsgeschichte

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