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2026-03-28T17:59:35Z

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In der [[Universelle Algebra|universellen Algebra]] ergibt sich das Problem, dass nicht alle (universellen) Algebren als [[direktes Produkt]] direkt irreduzibler Algebren dargestellt werden können. Als Lösung bietet sich das sogenannte '''subdirekte Produkt''' an, eine bestimmte Art einer Unteralgebra eines direkten Produktes. Der erste Darstellungssatz von [[Garrett Birkhoff]] besagt dann, dass sich jede Algebra als subdirektes Produkt subdirekt irreduzibler Algebren schreiben lässt.

== Definition ==
Es seien <math>A_i (i \in I)</math> Algebren vom selben Typ, das heißt von derselben [[Algebraische Struktur|algebraischen Struktur]], und <math>I</math> eine Indexfamilie.
Eine Unteralgebra <math>B \subseteq \prod_{i \in I} A_i</math> heißt subdirektes Produkt der <math>A_i</math>,
falls <math>\alpha_j(B) = A_j</math> gilt für alle <math>j \in I</math>, wobei
<math>\alpha_j: \prod_{i \in I} A_i \rightarrow A_j</math> die [[Projektion (Mengenlehre)|kanonische Projektion]] bezeichnet.

== Subdirekte Irreduzibilität ==
Eine Einbettung <math>\varphi: A \rightarrow \prod_{i \in I} A_i</math> heißt ''subdirekte Darstellung'' von <math>A</math>,
falls <math>\varphi(A)</math> subdirektes Produkt der <math>A_i</math> ist.

<math>A</math> heißt ''subdirekt irreduzibel'', falls für jede subdirekte Darstellung ein <math>j \in I</math> so existiert, dass <math>\alpha_j \circ \varphi : A \rightarrow A_j</math> ein [[Isomorphismus]] ist.

== Motivation ==
Dass eine Algebra im Normalfall nicht als direktes Produkt direkt irreduzibler Algebren dargestellt werden kann, zeigt folgendes Beispiel: Eine [[boolesche Algebra]] <math>B</math> ist genau dann direkt oder subdirekt irreduzibel, wenn <math>\mathrm{card}\, B \leq 2</math> gilt.
Eine [[Abzählbare Menge|abzählbar]] unendliche boolesche Algebra ist gegeben durch <math>B = (X, \cup, \cap, ', \emptyset, \mathbb{N})</math> mit [[Trägermenge]] <math>X := \left\{M \subseteq \mathbb{N} \,:\, M \mbox{ endlich} \mbox{ oder } \mathbb{N} \setminus M \mbox{ endlich} \right\}</math>. Diese kann unmöglich direktes Produkt zweielementiger Algebren sein, da ein solches Produkt entweder endlich oder überabzählbar ist.

== Darstellungssatz von Birkhoff ==
Jede Algebra ist isomorph zu einem subdirekten Produkt subdirekt irreduzibler Algebren desselben Typs.
Die Darstellung als subdirektes Produkt ist nicht eindeutig.

== Beispiel ==
Oben erwähnte boolesche Algebra hat beispielsweise folgende subdirekte Darstellung:

<math>\varphi: X \rightarrow \left\{0, 1\right\}^{\mathbb{N}}</math> mit
<math>(\varphi(x))_j = \begin{cases} 1, & \mbox{falls } j\in x \\ 0, & \mbox{falls } j \not\in x \end{cases}</math>

== Literatur ==
* Thomas Ihringer: ''Allgemeine Algebra''. Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 10. [[Heldermann Verlag]], 2003 Lemgo

[[Kategorie:Universelle Algebra]]

Subdirektes Produkt - Versionsgeschichte

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